1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 76
Текст из файла (страница 76)
(2) По этим формулам можно определить число шагов, достаточное для достижения заданной точности. Метод итераций (метод последовательных приближений) используют для нахождении приближенных значений корней уравнения с большой точностью. Этот метод состоит в следуюшем. Пусть уравнение 1(х) = О имеет на [а; 6] единственный корень ~. Для этого уравнения подбирают равносильное ему на [а; 6] уравнение ви а х =,р(х) (3) и значение хо Е [а;6] так, чтобы была определена последовательность х„= ~гр(хо г), и Е И, (4) и чтобы эта последовательность сходилась к корню ~. Достаточные условия сходимости процесса итераций таковы.
Пусть функция Чэ дифференцируема на [а;Ь] и [Чэ'(х)[ ( Ь < 1, х Е [а; Ь]. (б) *) Н этом параграфе всгэду, если не оговорено иное, речь идет только о действительных корннх уравнении. 838 Гл.д. Применение производных к исследованию функций ]5 — з:и] ~< ]хп — хп — з], и Е 51; Ь 1 — Ь (6) здесь и ниже Ь берется из условия (5).
Для оценки числа п итераций при заданной погрешности можно использовать формулу уи ]5 — хп] <ы ' ]хз — хо], п Е И. (7) При заданной погрешности з5 процесс итераций продолжают до получения оценки 1 — Ь ]х„— х„1] < з5, (3) тогда заведомо ]5 — хи] < 15. Вычисление приближений хп обычно происходит с округлением, и погрешность округления следует учитывать при нахождении погрешности приближения. В сходящемся итерационном процессе последовательность ]5 — х„] монотонно стремится к нулю.
Пусть функция уз удовлетворяет условию (5) и уз'(х) > О на [а;Ь]; тогда последовательность (4) монотонно сходится к корню 5. Если же уз'(х) < О на [а;Ь], то одна из последовательностей (хзл) и (хзь возрастает, а другая убывает. В этом случае корень 5 лезкит между двумя соседними членами последовательности хп и хи ьз для каждого и Е М, следовательно, установившиеся десятичные знаки приближения хи принадлежат и корню 5.
При выборе уравнения (3) следует учитывать, что чем меньше величина Й из условия (5), тем меньше итераций требуется для достижения заданной точности (как говорят, тем быстрее сходится процесс итераций). Ряд итерационных формул для решения уравнения р'(х) = О получают из формулы Тейлора для функции Г' или функции, обратной Г". Пусть функция г' дифференцируема на [а; Ь] и О < гсй < ] Г(х)] < Лды х с [а; Ь].
(9) Пусть 5 -. корень уравнения Г(х) = О на (а; Ь) (единственный в силу (9)); тогда при х Е [а; Ь] имеем Г(х) = Г(~) + Г'(0(х))(х — ~), откуда 5 = х — 1'(х), ('(0(х)), (10) Пусть хо Е [а; Ь] и х„= уз(х„.з) Е [а; Ь] для любого и Е Х.
Тогда уравнение (3) имеет на [а; Ь] единственный корень 5 и 1пп .т.п = 5. и — зос Для существования последовательности (4) при условии (5) достаточно выбрать хо с [а+ АЗ;Ь вЂ” фЗ], где с1 = Ь вЂ” а. Для оценки погрешности метода итераций используют нера- венства 423. Численное решение уравнений 439 где 0(х) лежит между 4 и х. Выбран хо Е [а; Ь[ и подставив в (10) х„1 вместо х, х„вместо С и какое-либо приближенное выражение вместо /'(0(х)), получим итерационную формулу вида (4).
Пусть в дополнение к указанному функция / дважды дифференцируема на [а; Ь) и 0 < тз ~( [/ (х) [ ( Мг, х с [а; Ь), (11) и пусть хо выбрано так, что /(хо)/'(хо) > О. (12) Подставлня в (10) /'(х) вместо /'(0(х)), приходим к формуле хи = хе — 1 — /(хи-1)//'(хи — ь) и 6 И, (13) определяющей последовательность (хи), которая монотонно сходится к корню ~. Формула (13) описывает леетод Ньютона (леетод касател ьн ых) . Для оценки погрешности (без учета погрешности округления) в методе Ньютона используют формулы [с — х„[ < [Д(х„)[/ты те с И, (14) (15) [ье — хи[ ( (" (хи — хи .1), и и И> 2т~ где т1 удовлетворяет условию (9), а Мз -- условию (14). Если хо выбрано так, что — К вЂ” хо[<1, Ме (16) 2т1 то процесс итераций сходится быстро, а если Мз/(2гп,) < 1, то число верных десятичных знаков на каждом шаге удваивается.
Заменяя в (16) /'(0(х)) на (/(х) — /(хо))/(х — хо), придем к формуле хп, = 'ги — ь (хл — ь хо), и и И, (17) /(хи — 1 ) — /(хе) или, что то же, хи = хо — (хи 1 — хо) и Е И, (18) /( ) /(хи-1) — /(хе) для построения последовательности, монотонно сходящейся к корню ~. Формулы (17), (18) описывают леетод хорд (леетод ложного положения). Оценку погрешности приближения по методу хорд можно получить по формуле (14), а также по формуле [~ — хи[ < [х„— хи 1[, и Е И.
(19) Упрощенный леетод Ньютона применяют, когда производная /'(х) мало изменяется на отрезке [а; Ь[. В этом случае в (10) заменяют ййа Гл.4. Применение производных к исследованию функций 1'(9[х)) на 1'[хо); тогда формула хп = х„ , — ~[хо-з)(~'[хо), и Е И, [20) задает последовательность, сходящуюся к корню ц. Погрешность приближений можно определять по формулам [14), [19). Комбинированный метод получается объединением метода хорд и метода касательных. В силу [9) и [11) производные 1'(х) и 1о[х) не меннют знаков на отрезке [и; Ь); пусть для Рис.
2зл определенности ~'[х) > О, ~п(х) > О. [21) ВыбеРем хо и хв из [а: 6[ так, что ~(х~о') < О, а ~(хд~) > 0 (Рис. 23.1); тогда х" < с < т,'„. Последовательность 1х'„) зададим по методу касательных, а последовательность 1х,"[) - по методу хорд: х„ = х„ , — 1[х„ ,)// [х„ з), п Е И, [22) о ,о о 1(хи,) ,Л хи=хо — з у[ о ) р[ з ) [хи —., — тп — з), ззЕ И. [23) и — 1 *п — з Тогда (24) 1пп х„= Впз х'„'=ц и х'„'<(<х'„, и — зсс п — зж 0<1 — х'„' <х'и — х'„', пЕ И. [25) При вычислениях значения х", можно округлять с недостатком, а значения х'„-- с избытком. Процесс прекращают, когда правая часть в [19) будет меньше заданной погрешности.
За приближенное значение корня часто принимают [х'„+ х',Я2. Аналогично строится последовательность и при других сочетаниях знаков 1'(х) и 1о[х). В каждом случае последовательность (хп) по методу касательных строят от начального значения хо, .удовлетворяющего условию [12). Указанные итерационные последовательности, построенные на основе формулы (10), сходятся быстро, если производная 1'[х) достаточно велика [см. [14), (15), (19)). Отправляясь от формулы Тейлора с остаточным членом более высокого порядка, чем первый, можно получать итерационные последовательности, сходншиеся более быстро, чем указанные. Порядком метода итераций называют число т такое, что для итерационной последовательности, сходящейся к корню ц, верна оценка [~ — х из[ < С[~ — х [', и Е И.
Метод Ньютона имеет порядок т = 2. 423. Численное решение уравнений ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ П р и м е р 1. Найти приближенное значение наименьшего корня уравнения: 1) 2хз — 8х+ 1 = 0; 2) е" з — х = О. а 1) Обозначим /(х) = 2хз — 8х+ 1. Зта функция возрастает при х < — 2/т/3 (/'(х) =6хз — 8 >0), /( — 2) =1> О, /( — 5/2) = — 41/4 <0. Значит, при х < — 2 есть решение уравнения /(х) = О, оно единственно и лежит на интервале (-5/2: -2).
Обозначим его 5. Для уменьшения интервала изоляции Е воспользуемся тем, что функция /(х) выпукла вверх при х < 0 (так как /н(х) = 12х, < 0). В таблице содержатся координаты трех точек А, В, С графика / (рис. 23.2). В силу выпуклости функции часть АВ графика лежит выше и левее отрезка АВ. Значит, если х' абсцисса точки пересечения отрезка АВ с осью Ох, то Е < х'.
В уравнение прямой АВ у+41/4 а+5/2 1 -Ь 41/4 -2 -~- о/2 подставляем у = 0 и находим х', = -92/45. По той жс причине корень Е лежит правее точки пересечения с Ох прямой ВС, т, е, Е > х" ,(рис. 23.2). В уравнение этой прямой у — 1 хж2 7 — 1 — 1-~-2 подставляем у = 0 и находим х" ,= — 13/6. Таким образом, найден меньший интервал изоляции; -13/6 < 5 < -92/45. За приближенное значение Е* корпя можно взять середину интерс погрешностью, меньшей половины длины интервала И 6< — ( — — + — ) = — <0062. 1г 92 13т 11 2 45 6 ) 180 2) Рассмотрим функцию /(х) = е' -' — х.
Она положительна при х < О, поэтому здесь данное уравнение решений не имеет. Наименьшее значение функция / принимает при х = 2 и /(2) = — 1 < О. Поскольку /(0) = е ' > 0 и посколысу / строго убывает на (О;2) (так как /'(х) = е' з — 1 < 0 при 0 < х < 2), данное уравнение имеет единственный корень на (О;2), и он наименьший.
За интервал изоляции для этого корня можно взять (О; 1), так как /(1) = е ' — 1 < О. Для 442 Гл.д. Применение производных и исследованию рзрннний уменьшения интервала воспользуемся возрастанием функции е* на (О: Ц и ое выпуклостью вниз. Записав уравнение в виде х = е' видим, что искомый корень — это абсцисса точки пересечения графиков у = х и у = е' 2 (рис. 23.3). В силу возрастания у = Ел 2 ЕЕ ГрафИК ЛЕжИт ВЫШЕ Прямой, проведенной через А(0; е' 2) параллельно Ох. Значит, корень 5 больше абсциссы точки пересечения этой прямой с у=х: о — 2 хз =е <5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
