1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 80
Текст из файла (страница 80)
б) Прямая, проходящая через конец ЛХв вектора г(Хо) в направлении вектора Ьг Рис. 24.2 (см. рис. 24.2), называется секущей годографа, а ее предельное положение при ЬХ вЂ” > 0 касательной к годографу в точке ЛХо. Если дог У'= о, то вектор Ьг/Ы, при любом знаке приращения ЬХ ~ 0 всегда направлен по секущей в сторону возрастания параметра й поэтому, если производная г'(Хе) ф о, то согласно (3) она направлена по касательной к годографу в точке ЛХо в сторону возрастания параметра Е В этом случае уравнение касательной имеет вид г = г(гв) + г'[1о)и, — ос < и < +ос. или, в координатном виде, х = хо + х(Уо)п, У = Уо+ У(7о)и; л = хо+ л(Уо)и, — со < и < +ос, где г(2о) = (хо, уо, .зо). Отсюда следует, что х — хо у †е †(4) х'Ю офИ ) е' 7о) 6) Для того чтобы вектор-функция, определенная в окрестности точки во, имела в этой точке производную, необходимо и достаточно, 458 Гл.4.
Применение производных к исследованию функций чтобы ее приращение схг в этой точке было представимо в виде схг = аЫ+ е(Ы)сх1, (5) где 1пп е(Ь1) = о. Из равенства (5) следует, что а = г'(го), т. е. Ъв-оо равенство (5) можно записать в виде тат = т'(го)ьг+ е(Ь1) Ъй (6) Бесконечно малая при 1 -в 1о вектор-функция се(1) называется бесконечно лсалой более высокого порядка, чем бесконечно малая при 1 — ~ 1о скалярная функция д(1), если существует бесконечно э(алая при 1 — ~ 1о вектор-функция е(1) такая, что сх(1) = д(1)е(1).
В этом случае пишут е(1) = о((1(1)), 1 — ~ 1 . Используя это обозначение, равенство (6) можно записать в виде Ьг = т'(Го) ЕМ + о(Ь1), Ы -+ О. 7) Линейная по аргументу Ь1 вектор-функция г'(1о)Ы называется дифференциалом вектор-функции г(1) в точке 1о и обозначается дг или, более подробно, дг(1о). Приращение аргумента Ь( в этом случае часто обозначают с(1, таким образом, с(г = г (са) дй Если вектор-функция г(х) имеет в точке 1о производную, то говорят также, что она в этой точке дифференцируема. Производные и дифференциалы высших порядков определяются для вектор-функций индуктивным образом. Производная г("( порядка и являетсн производной от производной порядка и — 1: (сй ( (и — и ) (01 ( 1 2 ) Дифференциал д"г(1) порядка п определяется как дифференциал по переменной 1 от дифференциала д" 'г(1) = г(п О(1) с1Р' ' порядка п — 1 при условии, что приращение аргумента 1 при взятии нового дифференциала совпадает со старым приращением аргумента, т.
е. Гг(1) = с((г(" и (1) д1п ') = г('О (1) д1 "з Из этой формулы следует, что г("((г) = (и, = 1, 2.....). дпг(1) д(п Если годограф вектор-функции есть траектория движущейся точки, а за параметр 1 взято время, то вторан производная го(го) является ускорением точки в момент времеви 1о. 8) Если вектор-функция г(1) имеет в точке го производные до порядка и включительно, то в окрестности этой точки справедлива Х 94. Вектор-функции. Кривые 459 формула Тейлора с остаточным сленолс в форме Пеано г(с) =г(Ио) й р (6 — Хо)+ "+, (с — со)" + г (Св) гсис(С ) + о((т — со) ) Х -+ то. 9) Если а и Ь векторы, то через (а, Ь) обозначается ска- лярное, а через [а, Ь] векторное произведение; скалярное произве- дение (а,а) иногда обозначается а .
Для трех векторов а, Ь и с через (а, Ь,с) обозначается их слсесианное произведение (а, Ь, с) = ([а, Ь], с). Для вектор-функций справедливы следующие правила дифферен(гс(с) + гз(Х))' = г',(с) + гз(с), (Х(1)г(Х))' = Х'(Х)г(1) + Х(1)г'(Х), ( (1) (1))'=(гс(Х), (Х))+( Ф '(1)), [гс (С), гл(С)]' = [гс (С)., гл(Х)] -С- [гс (Х), г„'(С)]. 10) Если вектор-функция г(Х) непрерывна на отрезке [а: 6] и диф- ференцируема внутри него, то существует такая точка ц Е [а; 6], что [г(6) — г(а)[ < ]г (с)[(Ь вЂ” а) (см. ниже пример 5). 2. Кривые на плоскости н в пространстве.
1) Кривой (или, более подробно, параметрически заданной кривой) называется множество Г в пространстве й, заданное как непрерывз ный образ некоторого отрезка [и; 6], т. е. 1 — сМ(с) ЕЙ, 1Е[а;6], где ЛХ(1) - - непрерывное отображение. В этом случае пишут Г=(ЛХ(т); а<1<6). (7) Если в пространстве й фиксирована декартова система коордиз нат х, у, з, то задание отображения М(1) равносильно заданию таких г(с), у(с), з(с), а < 6 < Ь, (8) называемых координатными функциями отображения ЛХ(Х), что ЛХФ = (*И)'уй):. (Х)) (9) Непрерывность отображенин ЛХ(1) означает непрерывность на отрезке [а;Ь] всех его координатных функций.
Отображение ЛХ(1) называется параметризацией или представлением кривой Г, а ото- бражение (8) при выполнении условия (9) - се координатным пред- ставлением. Переменная 1 называется параметром на кривой Г. Множество значений отображения ЛХ(Х) в пространстве й' на- зывается носителем кривой Г. Если одна и та же точка носителя кривой Г являетсн при отображении ЛХ(6) образом двух разных точек е60 Гл.«. Применение производных и исследованию Яунниий отрезка [а; Ь), то она называется точкой самопересечения (или кратной точкой) кривой. Обычно кривая и ее носитель обозначаются одной и той же буквой, а часто носитель кривой называется также кривой. Например, когда говорят, что график уравнения г'(х, у) = 0 на плоскости или пересечение графиков уравнений Рз(х,у, с) = О, Ез(х,у,х) = 0 в пространстве являются кривыми, то под зтим понимают, что зти множества являются носителями соответствующих кривых.
Если «=«(«д), аз <«д <Ьм (10) .-- строго монотонная непрерывная функция, то отображение ЛХ(«(«з)), а1 < «з ( Ьы называется представлением той же самой кривой (7), а функция (10) называется допустилзым преобразованием паралзетра. Таким образом, кривая является определенным классом недрерывных отображений отрезков в пространстве, связанных допустимыми преобразованиями параметра. Вектор-функцизо г(«) = (х(«); ««(«)с а(«)), а < «< Ь, (11) называют векторным представлением кривой (7), причем пишут Г = (г(«); а < «< Ь).
Таким образом, кривую Г можно задать в одном из трех видов: Г = (ЛХ(«); а < «< Ь): Г = (х(«), у(«), х(«); а < «< Ь), Г = (г(«); а < «< Ь). Иногда под кривой понимается также и множество в пространстве, заданное как непрерывный образ л«обого промежутка числовой оси (т. е. не обязательно отрезка, а возможно, интервала или полуинтервала).
Всякая параметризация кривой порождает на ней определенный порядок точек: если Г = (ЛХ(«); а, < «< Ь)., то точка ЛХ(«з) называется следующей за точкой ЛХ(«з), если «а > «з. Если на кривой задан порядок точек (для чего достаточно зафиксировать некоторую ее параметризацию), то она называется ориентированной кривой. Для ориентированных кривых допустимыми преобразованиями параметра являются только строго возрастаюшие функции (10). При таких преобразованиях параметра порядок точек на кривой остается прежним.
Если Г = (ЛХ(«); а < « < Ь), .то ориентированная кривая, заданная представлением ЛХ(а + Ь вЂ” «), а ( « ( Ь, называется кривой, ориентированной противоположно заданной кривой Г. Если координатные функции (8) отображения М(«) (см. (9)), или, что то же самое, координатные функции вектор-функции (11), дифференцируемы либо непрерывно дифференцируемы, либо дважды ХВХ. Вектор-функции. Кривые 4б1 дифферснцируемы и т. д., то кривая (7) называется соответственно дифферениируемой либо непрерывно дифференцируемой, либо дважды дифферениируемой и т. д.
Для дифферонцируемой (непрерывно дифференцируемой, дважды дифференцируемой и т. д.) кривой допустимыми преобразованиями параметра являютсн только дифференцируомые (соответственно непрерывно дифференцируемые, дважды дифференцируемые и т. д.) преобразования параметра, у которых производная не обращается в нуль. Точка ЛХ(а) называется начальной, а точка ЛХ(6) . конечной точкой кривой (7). Если ЛЦа) = ЛХ(6), то кривая (7) называется замкнутой. Если кривая лежит в некоторой плоскости, то она называется плоской, а если она лежит на некоторой сфере, то сферической кривой. Если на плоскости, на которой лежит рассматриваемая плоская кривая, задана полярная система координат р, д, то задание кривой уравнением р = р(~р), а ( че ( 6, называется ее представлением в поллрнь1х координатах.
Если воспользоваться формулами перехода от прямоугольных декартовых координат г, у к полярным х = рсоа р, у = р гйп се, то из представления кривой в полярных координатах можно получить ее параметрическое представление с параметром р: л = р(р)соз~р, у = р(фз1п р, а < д < 6. Если заданы две кривые Г1 — — )ЛХ1)1); а < 6 < Ь) и Гз = )ЛХзЯ:, 6 < 1 < с), причем ЛХ1(6) = Мз(6), то кривая Г=ЕЛХФ а<1<с), где МЯ= Л',,' ' 6 < называется вбьвдинением (суммой) кривых Г1 и Гз и обозначается через Г1 0 Гз. Пусть Г = )г)г):, а <1 < Ь) --. дифференцируел1ая кривая и г'(го) ф у- 'о (или г(Со) = ... = г1" П (1о) = о, г1'1(ьо) ф о), бо Е [а; Ь). Тогда прямая, являющаяся касательной к годографу вектор-функции г)г) в конце радиус-вектора г(го), называется и касательной к кривой Г в точке бо.
Так определенная касательная к кривой не зависит от выбора параметризации кривой. 2) Вектор г'(го) ф о называется касательным вектором к кривой Г, а его направление положительным направлением на касательной при фиксированной ее параметризации; оно соответствует возрастанюо параметра, поэтому вектор г'(1о) называют также касагпвльным вектором ориентированной кривой Г. Плоскость, проходящая через конец радиус-вектора г(ео) и перпендикулярная к касательной прямой, называется нормальной плоскостью (в соответствующей точке кривой), а каждан прямая, проходящая через конец указанного радиус-вектора и леяеащая в нор- лво Гл.4, Применение производных к исследованию функций мальной плоскости, называется нормалью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
