1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 83
Текст из файла (страница 83)
в —,, яш; 011. ае -~- Ьз,/аз+ Ь-" /' аз -~- Ь' Френс (см. (21)) имеем — я1п ',; 0) „) Пример 10. Найти сопровождающий трехгранник Фрсне винтовой линии: вычислить ее кривизну и кручение. А В примере 9 этого параграфа было показано, что представление винтовой линии, когда за параметр принята переменная длина дуги, имеет вид в в Ьв х = асов,, у = авш... х =,, в > О. х/аз+ Ьз х/аз+ Ьз х/аз+ Ье 4 24. Векгаор-функции. Кривые 473 ,3 =',т,и) = 1 а . е — в)п н7ае -Ь У н7ае + Ь~ — сов ./а'-' + У 3 а в ь сов .7ае+ Ь2;/и-'+ У ~/а"- -1-У вЂ” яп 0 н7а'-' + У Ь . в . Ь е .
а вш ' 1 — сов ' е3+,, 1с. ъ7а'-' + У нгае + Ье ~/У + У н7ае -Ь У ъ/а'-+ Ье Дифференцируя это равенство, получим е1)о Ь е . Ь . в . Ь ,, сов, 1+,, яп — и. е)е ае -Ь Ь ~/ае ч У а -~- Ье н7а7+ Ье ое -~- Ье Отсюда, согласно третьей формуле Френе, и = Ь,71аз + бз). а П р и м е р 11. Найти радиус кривизны и эволюту эллипса хз,7а +уз/бе=1, а)б>0. а Запишем уравнение эллипса в параметрическом виде: П р и м е р 12.
Доказать, что при монотонном изменении радиуса кривизны на некоторой части плоской кривой его приращение равно соответствующему приращению длины дуги эволюты 1т. е. длине пути, пройденного центром кривизны по эволюте). А Уравнение эволюты кривой Г = 1г)в); 0 < в < о'), где в переменная длина дуги кривой Г, имеет вид р(в) = г(в) + Л(в)и(в). Поэтому Вр ~6 еИ ди — = — + — и+Л вЂ”, ов ав ав Вв где е)г — =т, Вв ди Л вЂ” = — Лбт = — т е)в х = асов1, у = бв)пг, 0 <1 < 2я.
Заметив, .что х' = — а вш Г, у' = б сов 1, хн = — асоМ, ун = — б в1п г, получим (см. (20), (33)) Л= —— 1 (о япе1 Ч- Ь сов 7)'7 (а яп Ь Ч- Ь сов 8)'"7 Ь абяпе Ь+ аЬ сове Г аб Отсюда, воспользовавшись формулами (34), получим уравнения эволюты а яп 1+Ь сов Г а — Ь з ~ = асовг — Ьсовб = сов б, аб а а в1пег-Ь бесов 1 Ь вЂ” а . в 7) = Ьяп1 — авшг = яп' и аЬ Ь Таким образом, эволютой эллипса нвляется астроида. А Гл.4. Применение производных н исследованию функций (так как Лй = 1).
Таким образом, — = — зл, откуда др сИ де дв '~е =!Т! (52) Обозначим через а переменную длину дуги эволюты кривой Г, отсчитываемой в направлении возрастания длины дуги е самой кривой Г. Тогда НП Йт де дв (см. (14)). Если, длн определенности, на рассматриваемом участке кривой Г ее радиус кривизны возрастает, т.
е. с(Л/де > О, то из (52) следует, что до дЛ дв дв т. е. а(в) = Л(е) + с, где с — — некоторая постоянная. Отсюда сразу и получается, что для указанных значений параметра я приращение длины дуги зволюты тра — а(е -~- з."ье) — а(в) совпадает с соответствующим приращением радиуса кривизны злЛ = Л(в+,Ьв) — Л(е), т. е.,Ьа = ГлЛ. а П р и м е р 13.
Если кру'чение кривой тождественно равно нулю, то кривая плоская. а Если у кривой Г = (г(я); О < я < Я), я --. переменная длина дуги, ее кручение во всех точках равно нулю: зс = О, то в силу третьей формулы Френе (см. (23)) имеем с1)З/с1я = О, т. е. бинормаль )3 кривой Г является постоянным вектором. Обозначим его через )Зо. Тогда для любой точки кривой Г будем иметь (т,)Зв) = О, или ( — (я), )Зо) = О, откуда — (г(в), )Зо) = О. Следовательно, (г(в),)Зв) = с, где с некоторая постоянная. Это означает, что концы всех радиус-векторов г(е) лежат на плоскости (г,,Зо) = с (здесь г = (х; у; х) текущий радиус-вектор точек плоскости, на которой лежит кривая Г), а ЗАДАЧИ 1. Построить годограф вектор-функции ( — со < 1 < +со): 1) х=соя1, у=язп1, э=1; 2) х=яш1, р=соя1, х=б; 3) х = 1.
у = 1, х = 1з; 4) х = Е р = 1з, х = 1з; 5) х = сз(1 — язп1), р = а(1 — саят), х = О, а > О; 6) х = 1з — 21+ 3, у = сз — 21+ 1, х = О; 7) х = аыпз с, р = Ьсояа1, х = Е 4 24. Вектор-функции. Кривые д75 2. Доказать, что годограф вектор-функции г = з!дд2у1+ (1 — соз2уо)3+ 2создр1с лежит на сфере.
3. Доказать, что годограф вектор-функции г = (адС" + ЬСС + сд ) д + (а С + ЬСС + сг)3 + (озС + ЬзС + сз) Сд лежит в некоторой плоскости, и найти уравнение этой плоскости. 4. Доказать, что если 1пп г(С) = а, то !нп ]г(С)] = ]а]. Верно ли д-одд, д-оде обратное утверждеддиеГ 5. Доказать, что вектор-функция г(С) = С1+ а!ддС3 является бес- конечно малой при С -д О.
О. Найти предел вектор-функции: 1) г(С) оо д+ ' 1 — 1с при С вЂ” д 0; 1+С 2) г(С) = — '1+ 3+1с при С вЂ” д дг. ьшд . !дд(дддл) . С вЂ” л л С Т. Доказать, что для того, чтобы вектор-функция г(С) имела при С вЂ” д Со предел, равный а, необходимо и достаточно, чтобы ее можно было представить в виде г(С) = а + сд(С), где ск(С) . - бесконечно малая при С вЂ” д Со вектор-функция. 8. Доказать, что если 1пп г(С) = а и 1пп Я) = Л, то д — оде д-оде 1дш С(С) г(С) = Ла. 9.
Доказать, что если 1пп гд(С) = а, 1шд гз(С) = Ъ и 1шд гд(С) = с, д.ода о-ода д-одо то: 1) 1пп (гд(С) + гд(С)) = а+ Ь; 2) !дш (гд(С), гз(С)) = (а, Ь): д-доо д-ддо 3) 1пп[гд(С), гз(С)] = [а,Ь]; 4) 1пп(гд(С), гз(С), гз(С)) = (а,Ь,с). 10. Доказать, что если скалярные функции Лд (С), Лз(С) и вектор- функции гд (С), гз(С), гз(С) непрерывны в точке Се, то в этой точке непрерывны и функции; 1) Лд(С)гд(С) + Лд(С)гз(С); 2) (гд(С), гз(С)); 3) [гд(С), го(С)]; 4) (гд(С), гз(С), гз(С)); 5) [гд(С)]. 11. Найти производную вектор-функцидл г(С) и написать уравне- ние касательной в произвольной точке ее годографа, осли: 1) г(С) = Сд+ С73+ Сз1о; 2) г(С) = сйпСд+ соя С3 — 1с; 3) г(С) = аз!ддзидС1+ Ьсозз идС4+ С1С.
12. Найти производную функций: 1) гд(С); 2) дддгз(С); 3) [[г(С), г'(С)], ги(С)]:, 4) (г(С), г'(С), ги(С)). 47б Гл.4. Применение производных и исследованию Яунннщг 13. Доказать, что если длина векторов г(7) постоянна в окрестности точки 1о и существует производная г'(1о), то векторы г(то) и г'(7о) ортогональны. Каков механический смысл этого фактаГ 14.
Доказать, что для того, чтобы во всех точках некоторого интервала векторы г(1) и г'(1) были ортогональны. необходизяо и достаточно, чтобы скалярная функция ~г(Г)~ была постоянной на этом интервале. 15. Доказать, что для того, чтобы дифференцируемая и не обращающаяся в нуль на интервале (а; о) вектор-функция г(г) имела постоянное направление (т. е. чтобы при любом 1 Е (а; 6) вектор г(7) был коллицеарец, например, с вектором гИа+ 6)7'2)), необходимо и достаточно, чтобы векторы гф и г'(7) были коллинеарны. 16. Пусть вектор-функция г = гф имеет в точке 7о производную.
Будет ли дифферепцируема в этой точке фуцкцин ~г(с) ~ Г Верны ли в этой точке равенства ~г'( = ~г~' и (г, г') = ~г( ~г1'Г 17. Доказать, что если г = хз Гх, у, з, 1) 1 + хз(х, у, з, 7) ) + хз(х, у, з, 7) )с, где хы хз, хз ". непрерывно дифференцируемые функции своих аргументов, а х, у, з - —. непрерывно дифференцируемые функции от Ь то дг дг дг дх дг с7у дг с7е — = — + — — + — — + — —. с7с дс дх М ду сзс дз сзс 18. Построить годографы вектор-функции г71) = (аашс, — а соей Ы ) и ее производной.
19. Пользуясь определением производной вектор-функции, доказать формулы: 1) (гг + ге)' = г', + г!; 2) (Уг)' = 7"'г+ Уг', 1" — — скалярная функция; 3) (гг,гз)' = гзг',гэ) + (тыг! ); 4) [гыгз)~ = ~г',гз) + ~тыгз); 5) (тыгз,гз)' = (г'„гз,гз) + (тыг!,гз) -Ь (ты ге,г! ).
20. Доказать, что если г = асозизг+Ьззпизй где ы, а и Ъ постоянные, то: 2 1) [г, — ] = ~иза,Ь), :2) —, +щзг = о. 21. Доказать, что если г = ае"' + Ье ', где ы, а и Ь --- постоянные, то дг — — из г=о. 7707 22. Доказать, что если вектор-функция г(1) дифференцируема в точке 7о, то она и непрерывна в ней. 424. Вектор-функции. Криеие 477 23. Пусть вектор-функция г(1) удовлетворяет дифференциальному уравнению ги = [г',а], где а постоянный вектор. Выразить через а и г': Ц [г', ги]з; 2) (г', г", ги'). 24. Пусть для дважды дифференцируемой на отрезке [а; 6] вектор- функции г[г) во всех точках этого отрезка выполняются условия [г[1), г'(1), ги(1)) = О, [г[1), г'(7)] ф о. Доказать, что тогда годограф вектор-функции г[а) лежит на некоторой плоскости.
25. Доказать, что если у дважды дифференцируемой на отрезке [а;.В] вектор-функции г[1) во всех точках этого отрезка векторы г'[г) и го[1) отличны от нуля и коллинеарны, то годограф вектор- функции г[г) является отрезком примой. 26. Доказать, что годографом векторфункции г[1) = а+ 1Ъ+ гзс, б Е й, где а, Ь и с постоннные векторы, причем векторы Ь и с не коллинеарны, является парабола. Что будет представлять собой годограф, если векторы Ъ и с коллиноарныГ 27.
Доказать, что годограф вектор-функции г[7) = а+ сов1Ь+ + в1пге, 0 ( б ( 2я, где а, Ъ и с постоннные векторы, причем векторы Ъ и с не коллинеарны, является эллипсом. 28. Доказать, что траектория материальной точки, движущейся под действием центральной силы, является плоской. 29. Траектория движения точки задана в цилиндрических коор- динатах. г(1) = [р сов во; рв1п уо; з), где б — время, р[б), у[1), в[о) — известные функции. Найти: 1) косинус угла о между радиус-вектором движущейся точки и вектором ее мгновенной скорости; 2) величину ускорения в случае движения по цилиндру р = ро. 30.
Траектория движущейся точки задана в сферических коорди- натах. г[С) = (рсоа:р сов д; рв1п но сов д; рвшд), где й . время, р(1), уо[1), В(1) — известные функции. Найти величину мгновенной скорости. 31. Пусть т —. масса точки, Р = Е[1) действующая на нее сила, г = г[1) -- закон движения точки, а = а[7) --- ее ускорение, И' = И'ф " кинетическая энергия [1 ". время, т — постоянная).
Из закона Ньютона Е = гпа вывести формулу Л!7 = (Е, дг). 32. При условиях предыдущей задачи доказать формулу дХ = = МФ, где 1ч' момент количества движения точки относительно произвольно выбранного начала координат О, М вЂ” момент силы Р относительно точки О. (Боличесщвом движения материальной точки называется вектор, равный произведению ее массы на скорость. Если |78 Гл.д. Применение производных и исследованию |Х|уннни|| какой-либо вектор Ь приложен к точке Р, то моментом вектора Ъ относительно точки О называется вектор [ОР, Ь1 ) 33. Привести пример дифференцируемой вектор-функции г(с), а < Х < 6, для которой не существует такой точки с Е [а; 6], что г(6)— — г(а) = г'®(6 — а) (т. е. показать, что для вектор-функций в этом смысле неверен аналог формулы конечных приращений Лагранжа).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
