1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Найти векторы г, и и 13 кривой х =1сйпт, у =1сое1, е =1е' в начале координат. 119. Найти вектор т, и и 13 в произвольной точке кривой, 1) х = соаз1, у = зш' 1, е = со821; 2) х = а(1 — гйп1), у = а(1 — сов 1), е = 4а соз(1/2). 120. Доказать, что кривизна кривой тождественно равна нулю в том и только том случае, когда кривая является промежутком прямой. 121. Найти кривизну конической винтовой линии х = 1соа1, д = Ьаш 1, з = а1 в начале координат.
122. Найти кривизну следующей кривой: 1) х = а сЬ1, у = а 8Ь1, з = 61; 2) х = Ь1 соз1, у = 1и 81п1, е = 1~/2; 3) х = 1 — зш й у = 1 — соа ~., е = 48ш(1/2); 4) х=е', у=с ', е=1у/2; 5) х = асЬ1со81, д = асЬ18шй з = а1; 6) х = а, д = а, е = а (с — СЬ1); 7) хз = 2ае, дз = 26е. сйс ' сйс ' 123. Найти кручение кривой: = .' .оай у = .'.1 1, 2) х = асйссоас, д = асЬс81пс, з = а1; 3) уз = т,, ха = з. 124. Найти кривизну и кручение кривой: 1) 2ау = хз, базе = хз; 2) х = асЬ1, у = азЬ1, з = а11 3) х = 2а61, у = аз 1и 1., х = Ьз1з; 4) х = 31 — 18, у = 31з, а = 31+ 18; у 24. Вектор-функции.
Кривые 487 5) кривой Вивиани х = Нсйп го у = Взшгсо81, з = Нсо81; есть ли на кривой Вивиани точки распрямления и точки уплощснияГ 125. Найти точки распрямления и уплощения, а так7ке дуги, на которых кручение сохраняет знак, для кривой: 1) х =1, у = зшу, з = 81п31; 2) х = со81, у = зшо, з = гз — 90 126. Исходя из определения главной нормали т как единичного вектора в направлении вектора дт7'из (т — единичный касательный вектор, в з -- переменнан длина дуги заданной трижды непрерывно дифференцируемой кривой без особых точек) и определения бинорыали,З = )т,м), доказать., что: 1) производная бинормали Д)о/йз коллинеарна с главной нормалью 2) если Дт)да = 1м, ИЗБ = — огм, то дм7ил = — 7ст + ог)1 (иначе говоря, доказать формулы Френе). 127.
Доказать, что для трижды непрерывно дифференцируемой кривой Г = (г(з); 0 < к < Я, з переменная длина дуги, выполняютсп соотношения 128. В предположениях предыдущей задачи доказать, что ( Н,З) (4~3 йрт й73) 83 1" (~7т 4т 4т) а~~ос 129. Доказать, что если в точке Мо кривизна 7с кривой Г не равна нулю, то й равна кривизне проекции Г на ее соприкасающуюся плоскость в точке ЛХе. 130. Доказать, что если все нормальные плоскости дважды непрерывно дифференцируемой кривой без особых точек и с кривизной, не обращающейся в нуль, параллельны постоянному вектору, то эта кривая плоская.
131. Доказать, что у кривой х = с'вшй у = е'со81, з = е' каждое ребро сопровождающего трехгранника Френе образует с осью г постоянный угол. 132. На бинормалях винтовой линии х = а свети у = исйп7, з = е' отложены отрезки одной и той же длины. Найти уравнение кривой, образованной концами этих отрезков. 133. Кривая называется линией откоса, если касательные к ней образуют постоянный угол с какой-либо прямой. Доказать, что дважды непрерывно дифференцируемая кривая с не равной нулю кривизной является линией откоса тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий; 1) все главные нормали параллельны некоторой плоскости; 488 Гл.д. Приненение производных к исследованию функций 2) все спрямляющие плоскости параллельны некоторой прямой; 3) в случае трижды непрерывно дифференцируемой кривой существует такая постоянная с > О, что зс(в) = ск(в); при атаги ~с~ = = с16оп где а -.
угол, о котором шла речь при определении линии откоса. 134. При каком условии центр кривизны винтовой линии х = = асов1, 9 = аззп1, х = Ь1 лежит на том же цилиндре, что и сама винтовая линияГ 135. Доказать, что у кривой х = асЫсовс, 9 = асЫвзпх, = а1 отрезки нормали от точки на кривой до оси х равны обратной величине абсолютного значения кручения кривой: 1Дзс~. 136.
Пусть Г = 1ЛХ(1); а < 1 < Ь) -- дважды непрерывно дифференцируеллая кривая без особых точек Ьо и )а; Ь), Ьо + йз1з й ~а; Ь) и Хо + +себе с )а:,Ь). Проведем через точки ЛХ(со), ЛХ(со+ з11,) и ЛХ(со+ + ззга) плоскость. Доказать, что если в точке ЛХ(го) кривизна не равна нулю, то при,11з — ь О и ззсз — ь О эта плоскость стремится (определите это понятие) к соприкасающейся плоскости в точке ЛХ(1о). 137.
Пусть к плоскость, проходящая через касательную прямую в точке ЛХ(во) дважды непрерывно дифференцируемой кривой Г = 1ЛХ(в); О < в < Я, в — перемспнан длина дути кривой Г, во Е Е [0,5) и и(йв) расстояние от точки ЛХ(во+ йв) до плоскости я. Доказать, что плоскость к явлнется соприкасающейся плоскостью кривой Г тогда и только тогда, когда аз — зо злвз 138. В предположениях задачи 136 проведем через те же три точки М(Хо) М(1о+ сх1з) и ЛХ)оо+ з11з) окружность.
Доказать, что эта окружность при Ь1з -э О и Ыз -ь 0 стремится к окруязности., являющейся границей круга кривизны в точке ЛХ(то) (эта окружность называется соприкасающейся окружностью в данной точке кривой). 139. Через четыре точки кривой можно провести сферу. Если они стремятся к одной точке, то при соответствующих условиях эта сфера стремится к некоторой предельной сфере, называемой соприкасающейся сферой. Найти ее центр и радиус.
140. Доказать, что вектор ускорения а движущейся материальной точки перпендикулярен бинормали траектории движения, и найти его разложение по касательному вектору и вектору главной нор- мали. Доказать, что ~ ~=~Я ('— ')', где о = (и), и = с1гзО11, Н -. радиус кривизны траектории движения. 4 24.
Вектор-функции. Кривые 489 141. Доказать, что для трижды непрерывно диффереццируемой кривой Г = )ЛХ[в); О < в < Я, где в перемеипая длина дуги: 1) справедлива формула с[в+ Ьв) — т[в) = (Ьв — — Й [в)Лв ) т[в) + (- к[в)Ьв + + — к'[в)Лв~)и[з) + — И[з)от[в)Дв~Яв) + о[Дев~) о18 — в О 2) если через с, я, Г обозначить координаты точки в системе ко- ординат, задаваемой ортами т[8), и[в), )в[в), то в окрестности точки кривой Лф[в) проекция кривой иа соприкасающуюся плоскость име- ет вид В = — к:[в)Се+о[Се), С -В О, проекция иа нормальную плоскость — вид и= р ",~ ) ц ~з+о[ц ~з), ц -вО, от[в) фО, у 2вк'-'[в) проекция ца спрямляющую плоскость вид ~= 1ив) [выз+оКЗ), 4 О 142.
Доказать, что если иа трижды иепрерывио диффереициру- емой кривой Г = (г[в); О < в < Я, в переменная длииа дуги, параметр в рассматривать как время, то при его изменении сопро- вождающий трехгранник Фреие будет двигаться вдоль кривой как твердое тело с угловой скоростью = окт+ к)3. Тем самым кривиз- иа численно равна скорости вращения трехгранника Фреие вокруг бииормали [причем это вращение всегда происходит от касательного вектора т к вектору главкой нормали и), а кручение.- его скорости вращеиия вокруг касательной. 143.
Доказать, что формулы Фреио можно записать в виде йт 4и е1)З вЂ” = [во,т], — = [ы,и]., — = [ы„З] ~Ь ' ' Ив ' ' Вв [вектор ео определен в предыдущей задаче). ОТВЕТЫ О. 1) 1+3+)с; 2) — 1 — 3/я+)с. 11. 1)1+2~;+Зуев, т Уз=[У-~озИ21о) =[и УзаУ[31ог 2) соз11 — 81п11; [х — 81п19)/созуо= — [у — созуо)(81пто: в+ 1=0; иы в1и 2ияв Уы сйа 2ояо 12. 1) 2[т,т'); 2) [г,г')/тУтз; 3) [[г,тн],гн]+ [[г,г'],гн']; 4) [г,г',т'и). 23. 1) [т') з [г', а] з; 2) — [т', а) [т', а]з. лво Гл.4. Приненение пуоизводнззх к исследованию функций 29. Ц сова = ( /Р~ ез)' рр'+-' Ф)е+(ряс+( ')е тсГР'-+ ' (д')е-Ь(ду')е-Ь(-")е 2) )гп) = 30.
)г'! = 35. х = а(сов1+1яп1), у = а(яп1 — 1совт). 36. Ц л = асье сов уо, у = аел"' яп уо, е = Ьеье; 2) х = ассоли, у = а1 япв, е = Ы,. 41. (а; ) вырожденная матрица. 43. р = ее (1= уз). 46. Ц (х — е)/е = (у — е ')/( — е ~) = (е — Ц/2; 2) х = у+ 1 = е. 47.
х + а(4 — к)/2 = у = е/ъ'2 — а;,о = л/4. 48. Если 1о ф О, то (х — 14)/(4ф = (у — 1;,)Д31о) = (е — вл)/2, 41лз(х — 1рл) + 31о+ (у — 1вв) + 2(" — во) =О, а если во=О, то х=у =О .-. касательная прямвя, е = О нормальная плоскость. 49. х+ ( — Ц™ез/2 = (0,5+ ( — Ц")Л, 2у — ( — ЦиЛ = Оз за,зз = 0,1. 50. ( — 2;12;14), ( — 2;3:,— 4).
51. 8(х+у+ е) — 5 = О. 52. х + Зу = 10, Зу + 4е = 25. «з .- =,ЕН, З= Гцс ° з= ззз, =,',зззз*. 54. (р+ д)/ъ'2. 59. (х — Ц/ъ/2 = (у — Ц/2 = (е — Ц/3, х+ 2у+ Зе — 6 = О, параоола у = Зхв/4. 60. х/хо — у/ус+ е/со = 1, хвзуоеа Ф О.
п.и е,[ЮС; з) Рзлзззз.. зз з),еЗз*з+з'.з'з 4) 3 $ ~ ззиз: Е з $ (зЗз)З б) з зз: т) ейзЫ. 73. Ц аь/Г+ уев; 2) а /К+ узв/уз~; 3) аевк,/1+ Ье. 76 Ц й Л- з 2~ад(1+4ав в)в!в. 2) й = Л вЂ” ' = О~х~/(1+ 9хл)в!-'; 3) й = 1/Л = ~япх~/(1+ совах)в~в; 4) й = 1/Л = 1/(с1зл(х/а)); 5) й = 1/Л = ~ сов(х/а) (/а. 77. Ц й = алЬл/(Ьлхв -ь алуа)взв = аЬ/(евхв — ав)все с = хвсв/аз П = — увсв/Ь4, где св = ав + Ьв, в = с/а — зксцентриситет; з) з= сз и($2 ззе ), з= — ( зз*у, з=зу( ззеез 3) й = 1/3 вй~'И~.
~ = х'~в(Заев — 2хв1в) П = уев(а'~в + 2хв~в) 4) й = ~х+ 2а~(а — х)в/а(2ав — хв)в'в, С = а(хв — 2ав)/(х+ 2а) х х(а — х)в, П = 2ау(х+ а)/х(х+ 2а). 78. Ц аЬ/(ив яп 1+ Ьв совв1)в~в 2) аЬ/(ай в1звс+ Ьв с1зв1)в~в. 3) 1/(4а ~ яп(1/2) ~ ) . 79. Ц с = — (Озв + 2) зв/2, П = 4(31л + Ц1/3, 2) с = ((ав+ Ь~)/а) с1зв1, ц = — ((ав + Ьв)/Ь) вЛиз; 3) с = тса+а(1 — япв), П= — 2а+а(1 — сову); 4) хе+уй = ав. 80. Ц 1/изГ1; 2) 3/(13тзГЗ); 3) ъг2/3; 4) 1/(Зт/6). в 84.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
