1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 84
Текст из файла (страница 84)
34. Доказать, что для того, чтобы диффсренцируемая на интерва- ле (а; 6) вектор-функция г(1) была постоянной (т. е. г(6) = с, а < Х < < 6, с постоянный вектор), необходимо и достаточно, чтобы про- изводная г'(1) тождественно равнялась нулю на интервале (а; 6). 35. Составить параметрическое уравнение развернутой окруж- ности, т. е. траектории конца туго натянутой нити, сматыва|ошей- ся с неподвижной круглой плоской катушки. 36. Прямая ОА, не перпендикулярная оси О, равномерно враща- ется вокруг нее с постоянной угловой скоростью щ. Точка ЛХ дви- жетсн по пряыой ОХ,; 1) со скоростью, пропорциональной расстоянию ОЛХ подвижной точки ЛХ до точки О; 2) с постоянной скоростью.
В первом случае точка ЛХ описынает коническую спираль, а во нтором -- коническую винтовую линию. Написать параметрические уравнения этих кривых. 37. Доказать, что уравнения х = созг, у = |йпг, — г|(2 < Г < г(2, х=ф(2 — Х), у=1 — 1, 0<1<2, являются параметризациями одной и той же кривой. 38. Доказать, что уравнения х = а сов й у = Ьщпй — 77 < Х < х, х = а(1 — 6 )7|(1+ Хз), У = 6(21)7(1+ |з), — сх| < Х < +ос, являются параметризациями одной и той же кривой.
Как точка дви- жется по этой кривой, когда параметр Х растет от -со до +ооГ 39. Показать, что кривая х = е"' соз Ь у = е" з|п г, з = е" лежит на конусе | з = х| + уз. 40. Показать, что кривая х = 1,7(1+ Гз + 1'), у = Г',7(1+ Хз + 1'), е = 1'7'(1+ Гз + 1') является сферической кривой. 41. При каком условии на матрицу (а, ) (1,7' = 1,2,3) кривая х = а| | |р(1) + а| |9|(6) + а| зс(с) + Ь!, У = аз|<Р(Х) + аззйз(г) + аззс(с) + Ьз: з = аз||р(с) + азеф(1) + аззХ(Х) + Ьз 424. Вектор-функции. Кривые 479 является плоской кривойГ 42.
Доказать, что проекция криной Вивиани х = Лгйпа1, у = Ляшгсоя1, з = Лсоя1, О < 1 < 2я, на плоскость переменных х и з является дугой параболы. 43. Найти проекцию кривой х = е~ гйп1, у = е'соя1, х = 1, — оо < < 1 < -Ьоо, на плоскость переменных х и у. 44. Доказать, что проекция винтовой линии х = асоя1, у = аяш1, з = 61, — со < 1 < +со, на плоскость переменных у и з является синусоидой. 45. Доказать, что при переносе начала координат в точку 0~ = = (О; 0; ДЬ) и повороте осей абсцисс и ординат вокруг новой оси апплиьат на угол В представлению винтовой линии х = асояг, у = аяш -.=Ы МанКНОПРИДатЬ НИД Х1=аСОЯГЫ У1=аЯШГЫ З7 =бГЬ Эта ПОКазывает.
что винтовая линия способна скользить сама по себе. 46. Найти уравнение касательной к кривой: 1) х = е', у = е ', з = гз при 1 = 1; 2) х = е' соя1, у = е' гйп1, з = е' при 1 = О. 47. Составить уравнение касательной к кривой х = а(1 — яш1), у = а11 — соя1), х = 4а я1п(г/2) при Г = к/2.
Какой угол образует эта касательная с осью ОзГ 48. Найти уравнение касательной прямой и нормальной плоскости кривой х = г~, у = 1', з = Гз в произвольной ее точке. 49. Найти касательную к кривой Вивиани (см, задачу 42), параллельную плоскости у = О. 50. В каких точках касательная к кривой х = 31 — 1Я, у = Зг-', з = = 31+ 1з параллельна плоскости Зх + у + з + 2 = ОГ 51. Найти нормальную плоскость кривой з = хз + уз, у = х, перпендикулярную прямой х = у = з. 52. Найти касательную к кривой хз + уз = 10, уз + за = 25 в точке (1;3;4). 53. Найти косинусы углов с осями координат у касательных к кривой хз = 2аз., уз = 2бз.
54. К кривой уа = 2рх, зз = 2дх проведена касательная в точке, в которой х = (р + д)/2. Найти длину отрезка этой касательной от точки касания до плоскости х = О. 55. Доказать, что нормальные плоскости кривой х = а сояг, у = = аяшояш1, = асояояшу проходят через прямую х = О, з+ +угро = О. 56. Доказать, что касательные к кривой ха = Зу, 2ху = 9з образуют постоянный угол с некоторым определенным направлением. з"л. 4, Прииенение производных к исследованию функций 57. Координаты точек некоторой кривой удовлетворяют соотнощению (х + у + -' — а )(йх + Пуз+ йг ) = (хйх+ уйу+ все) . Доказать, что касательные к атой кривой касаются шара х- + уг + +ге = аз.
58. Доказать, что касательные к кривой х = а(вш1+ сов1), у = а(вт1 — сов1), г = Ле пересекают плоскость переменных х и у по окружности юг+ уз = = 4а'. 59. Написать уравнение касательной и нормальной плоскости кривой х, = й у = 12, г = 18 в точке (1;1;1). Какая кривая получится в пересечении касательных с плоскостью переменных х, 1зГ 60. Найти уравнение нормальной плоскости в произвольной точке кривой хи+ уз = 1, уз+ хг = 1 (у ф ~1).
61. Доказать, что все нормальные плоскости кривой Вивиани х = з = а вш й у = а вштсов й х = а сову проходят через начало координат. 62. Доказать, что если все нормальные плоскости пространственной кривой проходят через фиксированную точку, то кривая является сферической. 63. Доказать, что кривая х = е' сов й у = е' вш й г = е' пересекает все образующие конуса хг + уз = гз под одним и тем же углом. 64. Доказать, что кривые пересечения цилиндров уз+ гз = оз с поверхностью ху = а е пересекают все образующие атой поверхности, принадлежащие одной системе, под прямым углом. 65. Доказать, что кривая х = авбй у = бсовй г = бвшт лежит на поверхности параболоида и пересекает все его образующие одной системы под прямым углом. 66.
Кривая, называемая локсодролией, определяется уравнением сс = а 1п вя (я/4 — У/2), где у широта, а Во долгота точки на шаре. Доказать, что она пересекает меридианы шара под углом а, тангенс которого равен а. Сформулируем определение стереографической проекции плоскости на касающуюся ее сферу. Пусть в проРкс. 24.8 странстве й фиксирована декарто- в ва прямоугольнан система координат х, у, г и задан щар радиуса а/2 с центром в точке В = (О;0;о/2), касающийся плоскости переменных х и у (рис.
24.8). Его уравнение 4 ВХ. Вектор-функции. Криеме 481 имеет вид ха+уз+х =аж (53) Соединим прямой верхнюю точку шара, т. е. точку А = (О;0;а), с произвольно фиксированной точкой ЛХ = (х; у; 0) плоскости переменных х и д. Тогда точка ЛХ1 = (хс, ус, зс), в которой зта прнмая пересечет сферу (53), называется стереографической проекцией точки М на сферу (53), а точка М -- стереографической проекцией точки сферы ЛХ1 на рассматриваемую плоскость.
Стереографическая проекция устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и сферы с выколотой точкой А. Координаты точек ЛХ и ЛХ, связаны соотношениями хе + уе + ае ' хе + уе + ае хе + у- + ае 67. Доказать, что стереографическан проекция дает конформное отображение, т. с. что кривые на плоскости пересекаются под тем же углом., что и их образы на сфере. 68. Доказать, что кривая р = е е, расположенная на плоскости л переменных х и д так, что полярная ось совпадает с положительной частью оси х, при стереографической проекции (54) отображается на .чоксодромию. 69.
Доказать, что окружности на шаре при стереографической проекции переходят в окружности или прямые на плоскости. 70. Центральная проекция координатной плоскости переменных х, у на полусферу хз + дз + зз = 2ах, 0 < х < а, состоит в следующем.
Произвольно фиксированная точка ЛХ = (х, у: 0) плоскости переменных х и у соединяется прямой с центром указанной полусферы, т. е. с точкой .4 = (О;0;а). Точка М„в которой зта прямая пересекает полусферу, принимается за изображение точки М на полусфере. Доказать, что зта проекция не является конформным отображением, т. е. она не сохраняет, вообще говоря, углы между кривыми. 71. Найти производную длины дуги по параметру для: 1) цепной линии у = ас11(х,Еа), — а < х < а; 2) эллипса х. = асозЕ, у = Ьяпг, 0 < Е < 2л-, 3) гиперболы х = асЫ, у = Ь8ЕЕЕ, — оо < Е < +со; 4) астроиды х = асозз Е, у = аяпз Е, 0 < Е < 2я; 5) циьлоиды х = а(Š— 81пЕ), у = а(1 — созЕ), — со < Е < +со; 6) винтовой линии х = асоаЕ, у = аяпЕ, х = ЬЕ, — сю < Е < +сю; 7) кривой Вивиани х = ХЕ81п Е, у = ЛяпгсоаЕ, х = ХЕсозЕ, 0 < <Е<2я. 72.
Пусть плоская кривая Г задана в полярных координатах уравнением р = р(ср), где функция р(ср) непрерывно дифференцируелса на некотором отрезке Еа; Ь]. Доказать, что если ь = е(1о) есть длина дуги 482 Гл. ф Применение производных и исследованию фуннчи)1 кривой Г, отсчитываемая от ее начала, то 73. Найти производную длины дуги для следующей кривой, заданной в полярных координатах; Ц архимедовой спирали р = о)р; 2) гиперболической спирали р = а/)р; 3) логарифмической спирали р = асье, — со < )р < +со.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
