1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 85
Текст из файла (страница 85)
74. Доказать, что граница ограниченной выпуклой фигуры на плоскости является спрямляемой кривой. 76. Доказать, что при объединении кривых их длины складываются: если Г = Гь)д Гз, то 5г = Яг, + Яге 76. Найти кривизну и радиус кривизны в произвольной точке: Ц параболы д = ахз; 2) кубической параболы д = хз; 3) синусоиды д = зш х; 4) цепной линии р = о, с1з (х/о); 5) кривой д = а1псоз(х))а). 77. Найти кривизну и центр кривизны в произвольной точке; Ц гиперболы хз/аз — дз/Ьз = 1; 2) полукубической параболы 3адз = 2хз; 3) астроиды хзрз + дзрз = озрз.
78. Найти кривизну кривой в произвольной точке: Ц эллипса х = а соз1, д = 5гйп1, ф < )г; 2) гиперболы х = осЬ1, д = 58Ь1, 1 6 Й; 3) циклоиды х = а(1 — гйпу), д = а(1 — соа1), 1 6 Я. 79. Найти эволюту кривой: Ц х = сз. д = сз; 2) гиперболы х = асЬ1, у = 58Ь1; 3) циклоиды х = а(1 — 8)пу), д = о(1 — соз1); 4) эвольненты круга х, = а(1 — 81п1), д = о(гйп1 — 1соз1). 80. Найти кривизну в точке ЛХо графика функции д = д(х), заданной неявно уравнением Е(х, д) = 0: Ц Р(х, д) = д' + р — хз, Лфо(ь)2; Ц; 2) Е(х, д) = рз + д — 2хз.
Ма(1; Ц; 3) Р(х,д) = д' + д — 2х', Мо(1: Ц; 4) Р(х,д) = хз — р — дз; Мо(ь)2; Ц. 81. Найти наибольшую кривизну кривой: Ц д = 1пх; 2) д = а1п(1 — хз/оз); 3) д = осЬ(х/о); 4)д=))1+.), .ЕЯ; 1)у= )':.-'Е, .ЕЛ; 6) д=1п сЬх, хЕ й: 7) р=(21пх — хз)/4; 8) р =ха)6+ 1)(2х). 82. Доказать, что радиус кривизны параболы хз = 2рд равен Л = 4 24.
Вектор-функции. Кривые = р/ соева, где а угол наклона касательной к оси абсцисс. 83. Пусть у = 2(л) — дважды непрерывно дифференцируемая на отрезке (а; Ь] функция и а = се(л) - угол, образованный касательной к ее графику с осью Ол в точке (л: Г(л)). Доказать, что если к(л) кривизна графика в этой точке, то 9(х) = ]е(а/в1в], а < х < Ь (в переменная длина дуги). 84. Пусть Г дважды дифференцируеман кривая без особых точек, лежащая на плоскости переменных х, у; о угол наклона ее касательной в некоторой точке к оси ац й* = еЬа/сЬ (в переменная длина дуги); Л* = 1/Й*; ((, и) координаты центра кривизны в той же точке кривой Г.
Доказать, что Г = у,— Й*я1по, и = у+Л*созй, а также, что уу с=л — —, Ио ' 85. Доказать, что если р = р(уо) - .. представление дважды непрерывно дифференцируемой кривой в полярных координатах, то для ее кривизны имеет место формула ]ре + 2р' — рри] (88) ,~'-') з/е 86. Найти радиусы кривизны кривых, заданных в полярных координатах: 1) лемнискаты рз = а' соз 2р; 2) кардиоиды р = а(1+ соз уо); 3) р = а созе ~р; 4) спирали Архимеда р = ар; 5) гиперболической спирали р = а/уо; 6) логарифмической спирали р = ае'к.
87. Что представляет собой эволюта окружностиГ 88. Составить уравнение эволюты: 1) трактриссы х = а 1п((а + ь/из — уз)/у) — АР— уз; 2) логарифмической спирали р = ехы: 3) кардиоиды р = а(1 + соз:р). 89. Доказать, что эволюта циклоиды является также циклоидой, отличающейся от данной только положением. 90. Доказать, что эволютой кардиоиды является также кардиоида.
91. Доказать, что эволютой астроиды является астроида, подобная данной, с коэффициентом подобия 2, повернутая относительно данной на угол к/4. 92. Найти условие для параметра а логарифмической спирали р = саы, при выполнении которого ее эволюта совпадает с самой спиралью. з84 Гл.д. Приненение производных и исследованию Яуннций 93. Доказать, что эволютами эпициклоиды х/а = (1 + Л) соа ЛХ вЂ” Л соа(1 + Л)1, у/а = (1 + Л) яп Л1 — Л яп(1 + Л)1., а > О, Л > О, — оо < 1 < +ос, и гипоциклоиды х/а = (1 — Л) соа ЛХ + Л соя(Л вЂ” Ц1, у/а = (1 — Л) яп Л1+ Л яп(Л вЂ” 1) й а > О, О < Л < 1, — со < 1 < +со, являются снова соответственно эпициклоида и гипоциклоида, получающиеся из заданных с помощью поворота и преобразования подобия.
94. Доказать, что для точек спирали Архимеда р = абаз при р -э — ~ +ос величина разности между длиной радиус-вектора и радиусом кривизны стремится к нулю. 95. Доказать, что в условиях задачи 94 центр кривизны псремсшастся по кривой, стремящейся к сонпадению с окружностью р = 1. 96. Пусть р = р(8з), а < из < Д, представление дважды непрерывно диффереццируемой кривой в полярных координатах, сз = = сс(8з) угол наклона ее касательной в некоторой точке ЛХ к полярной оси, а ф угол, образованный этой касательной с продолжением радиус-вектора ОЛХ точки касания ЛХ. Пусть прямая Огз' перпендикулярна прямой ОЛХ, прямая ЛХзт' -- нормаль к заданной кривой в точке ЛХ, а С - центр кринизны кривой в той же точке.
Доказать, что Л С дз)з СЛХ д 97. Доказать, что у кривых рп = а" сов псе, а > О, полярная нормаль (т. е. отрезок нормали от точки кривой до точки ее пересечения с полярной осью) в:п + 1 раз больша радиуса кривизны. 98. Доказать, что у кривых рп = опа1ппу, а > О, длина части радиус-вектора, заключенной внутри круга кривизны, равна 2р/(п+ 1). 99. Пусть г -" длина радиус-вектора точки данной дважды непрерывно дифференцируемой кривой, р длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на касательную в указанной точке прямой, и Л радиус кривизны. Доказать, что Иг/с1р = ВХг.
100. Доказать, что на эллипсе существуют, вообще говоря, три таких точки, что круги кривизны к эллипсу в этих точках проходят через данную точку эллипса. 101. Доказать, что центры кривизны в точках спирали Архимеда р = асс, лежаших на одном луче, расположены на эллипсе, полуоси которого нс зависят от выбора луча. 102. Пусть некоторая точка дважды непрерывно дифференцируемой кривой принята за начало координат, положительно направ- 4 ев'. Вектор-функции. Кривые ленная касательная к кривой в этой точке за ось х, а ось д направлена от точки касания к центру кривизны. Доказать, что в окрестности точки касания кривая имеет представление р = хзД2Л) + о(хз), х — ь О.
103. Доказать, что если в точке ЛХ(1о) кривой Г = 1ЛХ(1); а ( 1 < ( Ь) радиус кривизны имеет максимум, то существует такая окрестность ХХ точки Ьо, что часть кривой, соответствующая значениям параметра Ь 6 ХХ, лежит внутри круга кривизны в точке ЛХ(1о). 104. Доказать, что если в точке ЛХ(1о) кривой Г = 1ЛХ(1): а < Х < < Ь) радиус кривизны имеет минимум, то существует такая окрестность ЬХ точки Ьо, что часть кривой, соответствующая значениям параметра Ь 6 ЬХ, лежит вне круга кривизны в точке ЛХ(1о). 105. Найти параболу, соединяющую начало координат (О:О) с точкой ЛХ(1;О) так, чтобы дуга параболы ОЛХ образовала вместе с нижней половиной окружности ха + рз = 1 кривую с непрерывной касательной и непрерывной кривизной.
106. Найти параболу с осью симметрии, параллельной оси д, имеющую с синусоидой р = зшх в точке (я/2;1) общие касательную и кривизну. 107. Доказать: если фи) -- координаты центра кривизны днажды непрерывно дифференцируемой кривой х = х(1), д = р(Ь), а < <Х<Ь, то х жр Ь жц У~ од~ Ь~ и неи,~' 108.
Пользуясь свойствами эволюты, найти длины следующих кривых: 1) одной дуги циклоиды х = а(Х вЂ” зш в), д = а(1 — соэ1), О < Ь < 2л; 2) астроиды хз1з + рзХз = азХз между точками (а; О) и (О; а); 3) кардиоиды р = а(1+ созцо), 0 < р < 2л. 109. Написать уравнения соприкасающейся, нормальной и спрямляющей плоскостей для произвольной точки кривой; 1) винтовой линии х = а соа в, д = а яп т, з = Ьй 2) х = 1, д = вз, з = вз; 3) х = е', д = е ', з = ттГ2; 4) х = е' сов 1, у = с'яп 1, з = ее; 5) рз = х. хэ = щ 6) р =,р(х), з = ар(х) + Ь.
110. Найти уравнение главной нормали и бинормали к кривой: 1) х = асов 1, р = аяп1, з = ЬХ; 2) х = дз, з = х-', 3) =Ь'~4, д=Ь Хз., =1'Д. 111. Доказать, что гланная нормаль винтовой линии х = асоз1, д = а яп й х = Ы перпендикулярна оси е, а ее бинормаль об азует с этой осью постоянный угол, косинус которого равен аХтуаз + Ьз.
486 Гл.4. Применение праизваднах н исследованию фуннпиа 112. Доказать, что одна из биссектрис углов между касательной и бинормалью к кривой х = 31, у = 3сз, е = 2сз имеет постоннное направление. 113. По главным нормалям (но в противоположную сторону) вин- товой линии х = асоа1, у = асйп1, е = 66 откладываются отрезки длиной 1. Найти кривую, описываемую их концами.
114. Доказать, что прямая, проведенная из произвольной точки ЛХ кривой х = 1, д = гз, е = гз параллельно плоскости е = О до пересече- ния с осью е, лежит в соприкаса|ощейся плоскости кривой в точке ЛХ. 115. Написать уравнение соприкасающейся плоскости кривой х = = асо81, у = 681п1, е = е' при 1 = О. 116. Написать уравнение соприкасающейся плоскости в точ- ке (2: 1; 2) кривой, являющейся пересечением сферы хз -1- уз + ез = 9 и гиперболического цилиндра хз — уз = 3. 117. Доказать, что если ясо соприкасающиеся плоскости дважды непрерывно дифференцируемой кривой проходят через фиксирован- ную точку, то эта криван плоская. 118.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
