1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (824751), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Углом между ориентированными кривыми, пересекающимися в некоторой точке, называется угол между их касательными в этой точке. 3) Пусть Г=(г(1); а<1<5) (12) (зз-з) г( г(В) г(а) (ь) Ркс. 24.3 — — кривая, т = (1;)[ — разбиение отрезка [а; Ь): а = 1о < Ьз < ... ... < 4„= Ь, Е, ломаная с вершинами в концах радиус-векторов г(1,), з = 0,1,...,п (рис. 24.3), о, ее длина: ь ох = ~ [г(4,) — г(1, з)[. 4) Величина Яг = ~в„где верхняя грань берется по возможным разбиениям т отрезка [а; Ь), называется длиной кривой (12), О ( Яг ( +ос. Если Ег < +ос, то кривая Г называется спрямллелзой. Теорема 1.
Если кривая (12) непрерывно дифференцируема, то оно спрямляема и ее длина Яг удовлетворяет неравенствам [г(Ь) — г(а) [ < Яг < (Ь вЂ” а) шах [г'(1)[. (13) (юь) Теорема 2. Если кривоя (12) непрерывно дифференцируела, то перемени я длина дуги з, отсчитываемая от начала кривой (или соответственно от ве конца), является возрастающей (соответственно убьзвающей) непрерывно дифференцируемой функцией параметра 4; при этом дз ~~1г! / дз ог — — ( соответственно — = — — ) . (14) дс [дг [ дг М) Если г(1) = (х(4); у(1); г(1)), то 5) Когда параметром непрерывно дифференцируемой кривой является переменная длина дуги з: Г = (г(з); О < з < Е), г(з) = (х(з):,у(з);г(з)), (1о) то — =1, аз (16) т.
е. вектор дг т=— дз (17) б г4. Вектор-функции. Кривые является единичным касательным вектором к кривой (15). Поэтому, если сояо, соя)3 и соя у направляющие косинусы положительного направления касательной к кривой (16), т. е. т = (соя о; соя В; соя у), то (3х бу дг — = сояо, — = соя)3, — = соя у.
(Ь ' (Ь ' (Ь Если кривая является графиком фупкпии у = 3'(х), а < х < Ь, и переменная длина ее дуги я = з(х) отсчитывается от начала графика (а; 3(а)), .то еп — 1 + о (*))'. Точка (х(1о); у(1о); г(то)) кривой (12) называется особой, если г'(3о) = о; если же г'(го) ф о, то . неособой. У всякой непрерывно дифференпируемой кривой (12) без особых точек существует ее представление г(з), 0 < з < 5, в котором за параметр з взята переменная длина дуги этой кривой. 3. Кривизна и кручение кривой. 1 П сть ) Г=(г(з); О<я<5) (18) дважды непрерывно дифференцируемая кривая, я переменная длина ее дуги и т = т(в) = (3г()(3з единичный касательный вектор.
Угловая скорость вращения касательного вектора т в данной точке кривой называется кривизной кривой в этой точке и обозначаетсн Й = к(з), т. е, дт 3е(з) = щ(я:т) = ~ — (з)~. (10) Обратная величина к кривизне называется радиусом кривизкы кривой в данной точке: 3г = Л(я) = 1)(к(з). (20) 2) Если У(зо) ~ О, во Е [а; Ь], .то единичный вектоР в напРавлении йт вектора — (во) (он перпендикулярен вектору' т = т(зо)) называетбз ся главныл( нормальныле вектором и обозначается и = )л(зо). Таким образом, дт — = Кгг. (21) Прямая, проходящая через точку кривой параллельно вектору гг, называется главной норм лью. 3) Векторное произведение ]т,(г] называется бинормальныле вектором и обозначается через,3, .т, е.
)3 = (т,и]. (22) Пряман, проходящая через точку кривой параллельно вектору )3, называется бикормалью. Если кривая (18) трижды непрерывно дифференцируема, то производная бинормального вектора,3 коллинеарна с вектором )л; множитель, на который надо умножить вектор ы, чтобы Гл. 4. Применение производных к исследованию функций получился вектор Н)З/йв, обозначается через -х: й)З вЂ” = — хы. Нв (23) 4) Коэффициент х = х(в) называется кручением кривой в данной ее точке. Для производной йс!~йв справедлива формула — = — 'кт + х)З. ды (24) дв Формулы (21)! (23) и (24) называются формулами Френе.
Для кривой Г уравнения й = й(в), "с = х(в) (25) г' [[г', гн),г') [г', гн) [[г', гн][ [!'![ [[[гй гн), г!)[ [[г!, гн)[ [г![~ кс[г'[с [[г!,гн)[' или, в координатном виде, (у'хн — х'ун)г -Ь (х'хн — х!хн)г; — (х'ун — у'хн)е й= (х/г Ч уа + с/г)ьр2 ! ! х у и и О х у х у и! и! и! (у'хн — х'ун)с + (с'хн — х!хн)! + (х'ун — у'хн)г Точки, в которых кривизна равна нулю, называются точками распря,пленил кривой, а точки, в которых равно нулю кручение, ее точкалси уплощенил. Плоскость, проходящая через данную точку кривой параллельно касательной и главной нормали (т.
е. перпендикулярно бинормали), называется соприкасающейся плоскостью. Плоскость, параллельная (в переменная длина дуги на кривой Г, к ее кривизна, а х кручение) называются натуральными уравнениялси кривой. Тетраэдр с вершиной в точке кривой Г, ребра которого имеют длину, равную единице, и направлены по векторам т. и и,З, называется сопровохсдающим трехгранником Френв. Иногда, для краткости, сами векторы и и )3 называются соответственно главной нормалью и бинормалью.
Если кривая Г = (г(с); а < с < Ь) триясды непрерывно дифференцируема (1 -- произвольный параметр), то в предположении, что знаменатели написанных ниже дробей не обращаются в нуль, имеют место следующие формулы: 4 24. Вектор-функпии. Кривые главной нормали и бинормали [т. е. перпендикулярная касательной), как уже отмечалось раньше, называется нормальной плоскостью, а плоскость, параллельная касательной и бинормали [т. е. перпендикулярная главной нормали), -- спрямляю!Пей плоскостью [рис. 24.4). Уравнение соприкасающейся плоскости в точке, в которой кривизна не обращается в нуль, имеет вид (г — го,го,гД = О.
(26) Рпс. 24.4 Здесь го = г(йо) = (хо, 'уо', зо) радиус-вектор данной точки кривой, го = г [го) = [хо'уо!ао), го = гп(го) = [хоп'уо'хоп), а г = [х:,у!е) текущий радиус-вектор соприкасающейся плоскости. В координатном виде уравнение [26) записывается следующим образом: х — хо хо П хо У вЂ” Уо Уо О уо х — хо хо П зо Бинормаль в точке [хо, .уо, зо) перпендикулярна соприкасающейся плоскости, и потому ее уравнение имеет вид х — хе у — уе е — хе ! О ! П ! О, ! О ! О ! П [27) уехе — й!Уо лехе — хесе хеуе — уехе Векторная запись уравнения нормальной плоскости имеет вид (г — го, г„') = О, 6) Точка, лежащая на главной нормали к кривой на расстоянии,.
равном радиусу кривизны Й в направлении вектора главной нор- а координатная--- (х хо)хо + [У вЂ” Уо)уо + [ хо)хо = О. Векторная запись уравнения спрямляющей плоскости имеет вид [г — го, [[го,го[,го]) = О. (28) Если же за параметр на кривой взята переменная длина дуги, то уравнение спрямляющей плоскости имеет более простой вид: [ г — го, „†, [ео)) = О, (29) или, в координатной записи, й'х и у йх (х хо) [ео) + [У Уа) — (ео) + [л — хо) †.,(ео) = О л г йе! еЬе Гл. 4.
Примененее пдаизвадныг к исследованию функций 466 если (С,г)) ее центр кривизны, то ~е ~е Для случая, когда кривая Г являетсн графиком функции у = 7(х), а < х < Ь, формулы дли ее кривизны Ь и координат с, и ее центра кривизны принимают вид Ь = ЬнУ(1+ у")'"., ( = х — (1+ у")улйун П = у+ (1+ у' ) У' (35) (Зб) ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ П р и м е р 1. Построить годограф вектор-функции г(Г) = а сов 11+ ая1п13 + 5114, 1 Е Й, (37) написать уравнение его касательной в произвольной точке и доказать, что она образует постоянный угол с осью г. а Для любой точки (х; у; г) годографа вектор-функции (37) имеем х = а соз 4, у = а а1п 4, г = Ь4., и потому при любом 4 Е )7 выполняетсп мали и, называется центром кривизны т кривой н данной ее точке (рис. 24.5).
Если через р = р(4) обозначить радиус- вектор центра кривизны кривой Г = т(с) В =(г(с); а<4(Ь), то р(1) = г(г) + Л(г)и(с). (30) Р(г) Круг, лежащий в соприкасающейся О плоскости с центром в центре кривиз- Рнс. 24.6 ны кривой в данной ее точке, радиус которого равен радиусу кривизны в этой точке, называется кругом кривизны кривой в рассматриваемой точке кривой. 7) Кривая, для которой вектор-функция (30) является ее представлением, называется эволютой кривой Г (коротко говорят, что множество центров кривизны кривой образует ее эволюту).
Если кривая Г1 является эволютой кривой Г, то кривая Г называется эввльвентвй кривой Гю Уравнение эволюты кривой Г можно записать в виде Га а1 Р(г) = г(г) + з (31) где, если г(4) = (х(4);у(г);г(1)), а ! а ! е Если кривая Г лежит в плоскости переменных х и у, то зс = О, а Ь = 1Ф = Ф'ун — нУ01((х' + у' )'~г); (33) у Ва. Вектор-функции. Кривые 467 равенство ха + уз = а-', т. е. все точки годографа вектор-функции (37) лежат на цилиндре, направляющей которого является окружность ха + уз = аз в плоскости переменных х, у, а образующая параллельна оси . Если параметр 7 интерпретиронать как время. то при равномерном движении по окружности проекции конца радиус-вектора (37) на плоскость переменных х, у его проекция на ось переменной з будет двигаться равномерно и прямолинейно со скоростью Ь.
Иначе говоря., аппликата точки годографа вектор- функции (37) растет пропорциоаально углу поворота ее проекции на плоскость х, у. Поэтому искомый годограф будет иметь вид, Риа. 24.6 изображенный на рис. 24.6, и он называется винтовой линией. Для уточнения изображения можно составить таблицу положений точек годографа для отдельных значений й например таблицу Для нахождения касательных к винтовой линии найдем производную вектор-функции (37): г Я = — а гйп 41+ а соа У 3 + Ь 14. Отсюда следует, что уравнение касательной к винтовой линии имеет вид х — ха у — уа в — аа — авшФа асов7а Ь а для косинуса утла ар, образованного касательной с осью х, справедливо равенство соя ~р = !"Щ , аз †Таким образом, угол уа постоянен, это означает, что винтовая линия пересекает под одним и тем же углом все образующие цилиндра ха + уз = ат, на котором она расположена.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
