1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 99
Текст из файла (страница 99)
Выражение, стоящее в левой части, иазывается лииейиым (одиородиым) дифференциальным выражением и обозначается символом Е 1и]. ]В уравнении (А) предполагается, 'что а,(х) ие обращаеуся тождествеиио в нуль. Тогда (А) будет л.д.у. порядка гь Если ограничить независимое переменное х интервалом а»х» р, в котором коэффициент аь(х) нигде ие обращается в нуль в в котором все функции аь(х) (Ь=О, 1, 2, ..., и) и правая часть у(х) иепрерывиы, то уравиеиие (А) можно привести к виду и<">+р1(х) и< "+... +р„(х) и=Ях), (В) где рь(х)= — и у(х)= — являются в (а, р) известными иепреаь (х) т (х) е,(х) а,(х) рывиыми фуикциями от х. Введем в дополнение к и(х) еще и — 1 иеизвестиых функций и'=иг(х), ген=и,'=ив(х), ..., и'" "=и' ь=и ~(х).
Тогда л.д.у. (В) будет равносильно системе и диффереидиальиых . уравнений Ва Ваг Вин-ь х г х ь ''' ' х' Вх Вх дх' аи (С) — Я=-' = — рг(х)ип, — рч(х)и ь —...— р„г(х) иг— — р„(х) и+ г" (х) с и искомыми функциями 1г, иь ..., и„ь (Ср. й 3, п' 5, стр. 463.) В курсах диффереициальиых уравиеиий для втой системы доказывается следующая теорема существования и единственности; При сделанных выше предположениях относительно функций рь(ч) и,Р(х) существует одна и только одна система нецрерывных в (а, р) функций и(х), и1(х), ..., и„1(х), удовлетворяющих системе л.д.у. (С) и принимающих в произвольно заданнйй точке х=хь промежутка(а, ])) любые наперед заданные значения и=Ь, иь = Ьь ия = Ьь ° ° ° ~ ие-1 = Ьл ь Отсюда вытекает, что л.д.у. и-го порядка (В), а следовательно, и исходное уравнение (А) имеет в (а, ]1) одно и только одно рещение и(х), обладающее в этом интервале непрерывными производнылт до и'го гаццтдка включительно и удовлетворяющее начальным условиям и(хь)=Ь, и'(х,)=ьь и"(хь)=ьь ..., и1" ы(хь)=ь„ь а 4.
лннвйныи диееиэвнцнальныи знавнвння лювого поэядкд 471 В дальнейшем изложении при рассмотрении системы функций рт(х) всегда предполагается, что среди этих функций нет тождественного нуля. 2) Если и†1 функций рт(х), рэ(х), ..., р„ т(х) линейно зависимы в ззданном интервале, то присоединив еще одну функцию о„(х), получим вновь линейно зависимую систему функций.
Действительно, из существования тождества (относительно х) спут (х)+ стет(х)+... + с„т р т(х) ж О, где не, все ст равны нулю, вытекает тождество С4т4 (Х) + Сэта (Х) +... + С„4 таз (Х) + С»тх (Х) = О с коэффициентом с„=О, причем не все ст равны нуатю.) П р и м е р 1. Функции 1, х, х', ..., ха ' линейно независимы в любом интервале. Действительно, равенство с, + а,х+т ..
+а„,х" ' =О может выполняться при всех значениях х из рассматриваемого интервала лишь в том случае, если все коэффициенты ет многочлеиа равны нулю. «ах Пример 2. Функции е"т», е«а", ..., е" линейно независимы, если все числа «4 различны. Доказательство мы проведем методом полной индукции. Сначала докажем, что две фунъции е«'х и е"х при «,ф «, линейно независимы. В самом деяе, из предположения, что с,е«'х + с,е"'» =0 ах и, скажем, сафо, вытекало бы, что — = е '-' = — —, т. е.
функция, е' и««на с, Е«1» са очевидным образом зависящая от х, равна постоянной, что невозможно. Докажем теперь, что если утверждение, подлежащее доказательству, атх справедливо для я — 1 функций вида е ', то оно справедливо н для и таких функций. Предпоаожим противное, что ат» «ах «я»вЂ” с,е + с,е + ...
+ с„е " = О тождественно относительно х. Не нарушая общности, можно считать, что неравный нулю коэффициент сл содержится среди коэффициентов с„с„... ..., »л н Разделив это тождество на е ", получим е,е( ' ") + е,е( ' а") +... + са, е( "-' «") + »„=О.
Продифференцируем это равенство по х и тем самым исключим с„, а затем «л» помножим полученное равенство на е ", В результате получится новое тождество: «тх а.» а х («,— а„)с,е +(аэ — «„) сае -' +...+(«„,— ах) ех,е"-' =О ах ах «л-т» из которого вытекает, что п — 1 функций е ', е ', ..., е"-' тоже линейно зависимы, что противоречит предположению. Тэк как линейная независимость двух функций вида е ' была ранее доказана, то отсюда вытекает линейная независимость любо4о числа и таких функций. 472 гл.
щ. сведения о диеевгвнцидльнык тдлвнанняд (а Пример 3. Функции нпх, з)п2х, ..., ап лх линейно незавясимн в ин- тервале О(х~ж Доказательство с помощью интеграла Г 0 при жфл, з1п Юх в1п лх Вх = ( (зпря и л, мы предоставаяем читателю (ср. т. 1, стр. 247). [Замечание. Если система и функций линейно зависима в не- котором интервале (а, Ь) или (а, Ь], то онц очевидно, линейно вави- сяма и в любом частичном интервале, содержащемся в исдодном. Однако обратная теорема неверна: система функций-, линейно зави- симая, скажем на (щ Ь], может оказаться линейно независимой з более широком промежутке, объемлющем (а, Ь], как это показывают сле- дующие примеры. Прим ер А.
Система функций т,(х)=хи, т,(х) =л""кепх, где т— любое целое число, ие меньшее единицы, линейно зависима пра хцО, где т)+т,=о, она также линейно зависима при х~О, где т, — Ч,=О; между тем, з любом интервале, содержащем внутри себя начало х=о, этз функ- ции линейно независимы. Действительно, из гипотетического тождества ат, (х)+От,(х) си О вытекает а — 0=0 (при х(0) и а+0=0 (при с~О), так что это тождество возможно только при а=а=О.
((Упредеаензе сим- вола айп х см. т. 1, стр. 69.) П р и м е р Б. Система функций х"' при х(0, 0 при х(0, ф (х)= 0 прн х~ О, ф, (х) =( прн х~з, где ю ~ 1, целое линейно зависима при х ~0, ибо тан 0 ф, + 1 ° фа= 0 при х~О оиа тоже линейно зависима, так как там ! ° ф,+О фа — О. Однако з любом промежутке, окружающем начало х=О, функции ф,(х) и ф,(х) ли- нейно незавнснмы.] 3.
Необходимое условие линейной зависимости и функций. Если функции ф((х) имеют непрерывные производные до (и†1)-го порядка включительно, то справедлива следующая Т е о р е м а 1. Необходимым условием линсйной вависимосоди и 1()унн~ид ф((х) является выполнение тождеспдве <р! (х) <р,(х) (р,(х) ф,(х) .. ср„(х) тл (х) Щх) = г(в — !) (х) ф(л — !) (х) !р(и-!) (х) Функция' )Р(х) называется определилделем Вронского састемы я функций ф((х). (Мы предполагаем, что читатель знаком с элементамн теории определителей любого порцдка.) Эта теорема легко докззывается следующим образом. Если наши функции линейно зависимы, то существует тождество (относительно х) ~'„с(ср! (х) = О, а к линвйныв дивававнциальныв квлвнвння лювого поаядка 473 в котором не все коэффициенты с, равны нулю. Дифференцируя это равенство последовательно и — 1 раз, получим еще и — 1 равенств: ~"„с,~р~ (х) = О, ,'1"„с~~ф' — '1 (х) = О.
Все эти и равенств можно рассматривать как линейную однородную систему и уравнений, которой заведомо удовлетворяют значения неизвестных сь с„..., с„, не все равные нулю. Следовательно, определитель системы В'(х) должен обратиться в нуль. Итак, если л функций линейно зависимы в некотором интервале, то их определитель Вронского тождествеиноравен нулю в этом интервале. (Ясно, что невыполнение необходимого условия линейной зависимости и функций является достаточным условием их линейной невависимости, т. е. справедлива следующая Теорема 2. Если определитель Вронского йт(х) системы и функций не равен тождественно кулю в некотором интервале, то эти функции линейно независимы в этом интервале. Каждая из теорем 1 и 2 выводится из другой рассуждением от противного, Теоремы, обратные теоремам 1 и 2, не верны: линейная ненави.
симость системы функций в некотором интервале может сопровождаться тождественным обращением в нуль ее определителя Вронского в этом же интервале. Для того чтобы убедиться в этом, достаточно привести один противоречащий пример, а мы уже фактически встретились с двумя такими примерами (см. замечание в конце по2): 1) В и' 2, пример А. Функции т, (х) = хм и т,(х) = х"' зйп х при целом ю) 1, как мы видели, линейно независимы з любом промежутке, солержащем внутри себя начало х = О, а между тем их определитель Вронского тождественно равен аулы. 2) Там же з примере Б мы видеан, что функции (О приходо ~ (хинрих~О (целое и~1) линейно незазисимм з любом промежутке, содержащем начало х=о внутри себя, а вместе с тем легко проверить, что ик определитель Вронского тождественно равен нулю.
Можно также построить опровергающий пример системы любого числа и функций. Положим Г, (х)= 1, У,(х) =х, ..., Уя,(х) =х"-а, У„, (х)*=хм, У„(х)=хжзяпх С целым показателем ю)п — 3. Хотя зта система линейно зависима при х(0, гле О.А+ О.у,+...+О.у„,+1.у„, +1.у,=о, и линейно зависимы прн х)0, гле О А+О.Уа+...+О.Г„,,+1.У„,-).У„=О, 474 гл. ш.
свидания о диеввгянциальныя кзавнвниях 1е но в любом промежутке, окружающем точку к= О, она линейно незжисима. Однако определитель Вронского этой системы функций тождественно равен нулю, так кгк элементы последних двух его столбцов всегда проюрцнонааьны. Заметим, что у езуякций те(х), фе (х) и Уи(х) все провзволхые до (ит — 1)-го порядка включительно всюду непрерывйм я лишь ш-е преизводные имеют при х=О конечный разрыв. Выбирая показатель т достаточно большим, мы во всех трех контрпрнмсрах будем иметь системы функций, обладающих непрерывными производными до любого желтенького я)рядка.
Впрочем, возможно построить и такой контрпример, в котором и линейно независимых функций имеют в данном интервале производные любгго порядка и определитель Вронского, тождественно равный нулю.] [4. Необходимое и достаточное условие линейной независимости и решений л. д. у. и-го порядка бев правой части. Итак, мы не имеем решающего критерия линейной зависимости (иаи, напротив, неззвисимости) и функций. Однако если и функций и,(х), иэ(х),..., и„(х) являются решениями л.
д. у. и-го порядка й [а]=0, то такое необходимое и достаточное условие можно уртановить с помощью следующей теоремы. Т ео ре м а. Если реигения и,(х\, и,(х),..., и„(х) л. д: у. иго порядка Е [и]— : аэ(х) ион + а, (х) и<" " +... + а„(х) и = 0 (1) линейно независимы а интервале (а, 'р), то их определитель Вронского не обращаетен з нуль ни з одной точке этого интервала. Напомним, что (а, р) есть интервал, в котором все аь(х) непрерывны (й=О, 1, 2, ..., и) и аэ(х) нигде не обращается в нуль. 1(он азат ель ство. На основании принципа суперпозиция(п'1) функция сс (х) = се и~ (х) + с,и, (х) +... + с„и„(х) (2) является решением нашего л.
д. у. (1) при любых значениях постоянных сь св ..., с„. Возьмем теперь любое значение 1 из интервала (а, 'р) и найдем частное решение и(х), определяемое начальными условиями и (Е) = О, и'(д) = О, и' (1) = О, ..., иш-'1(6) = О. Согласно теореме существования (пи 1), л. д. у. (1) имеет одно и только одно решение, удовлетворяющее этим условиям, причем ясно, что это — тривиальное решение и(х)= О. Из линейной комбинации (2) оно получается при значениях сз — — с,=...=с„=О и только при этих значениях, в силу линейной независимости функций гге (х), и,(х),...
ии (х). С другой стороны, попытаемся выделить это же решение изформулы (2) шаблонным приемом нахождения неизвестных коэффициентов сн е,, с„по начальным условиям (3). Лля этого продифференпгруем (2) по х последовательно л — 1 рав, а затем'подставам во все полу- Э~ Э С Лнизйиыэ ДИЭЭЗгйНЦиАлЬВЫв эгавнвыий лювбгб пбгяпкА 47б ченные вместе с (2) и равенств Энайение х=Е. Тогда начальные данные (3) дадут для иском(як й коэффициентов е; следующую систему н лннейнык Еьайбйбдных уравнений: и (Е) = егиг (Е) й(Е) = с,и, '(Е) + саит (Е) +...
-]- е„сг„(Е) = О, +с,и,(Е) +...+с„и„(Е) =О, (4) иш-ы (Е) „иы-и (Е) + е,им †(Е) ]- ... + е„ит-ц (Е) = О. иа(Е)=Ьф', иь(Е)=Ьь", иь(Е)=дь", ..., и~" — ц(Е)=дат й (Ь = 1, 2, ..., и), (зпределитель этой системы уравнений эсть йу(Е), т. е. значение опре. делителя Вронского Б'(х) системы функций иь иэ . „, и'„з точке Е. Нам уже известно, что система уравнений (4) должна иметь единст' ° венное решение е~ — еа —— ...— — е„=О. Следовательно, яг(Е) ~ О. Так как Е есть произвольная точка интервала (а, ВЬ то определитель Вронского яг"(х) ~ О нигде в этом интервале, и теорема доказана.
Иэ этой теоремы вытекает, что для системы любых и частных решений л, и. у, (1) существует только две взаимно исключающие друг друга возможности: либо ее определитель Вронского 1р'(х) тождественно равен нулю в (щ р), и тогда наши и решений лкнейннй зависимы, либо 1э"(х) ие обращается в нуль ни в одной точке этогц интервала, и тогда нзши и решений линейно независимы, Другими слонами,'если и функций иг(х) иа(х), , и„(х) удовлетворяют какому-либо л, д, у. и-го порядка без правой части, то 1) тозкдественное обращение а нуль определителя Вронского этих и функций яаляеяся не только необходимы.к, но -п достаточным .услоэиеМ их линейной Эааисимоети И 2) отличие определителя Вронского ат нуля хотя бы э одной точке интервала (а, д) является не только достаточным, но и необходимым условием линейной независимости системы функций и,(х), иа(х), ..., и„(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
