1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 96
Текст из файла (страница 96)
е. не находя предварительно однопзраметрнческого семейства частных решений. Вспомним, что по теореме Существования решение дифференциального уравнения определено однозначно в окрестности точки (л,у), если в зтоа окрестности возможно привести дифференцяальное урзвнеяие к виду у'=у(л, у), гда У(х, у) есть непрерывно дифференцируемая функция. Отсюда вытекает, что в точке, через которую помимо частного решения (т. е. крнэоа семейства) проходит еще и особое решение, приведение дифференциального уравнения к такому виду невозможно. Поэтому з окрестности такой тонки (х, у) уравнение Р(х, у, у') =О не может быть разрешено' однозначно относительно у'.
Однако теорема существования неявной функцлн (гл. Ш, 5 1) гарантирует существование такого явного выражения вида у'=/(х, у), если в рассматриваемой точке Р,,-ЕО, Стало быть, необходимое (хотя отнюдь не достаточное) условие существования в точке (х, у) особого решения выражается уравнениен д хт Р(х, у, у') = О. у Исключив у' из этого уравнения и заданного дифференциального уравнения, получим уравнение, связывающее только х и у, которому должно удовлетворять особое решение, если оно существует. Длиные выше примеры нлаострируют это правило, Так, из длфференциального уравнения у'(у" + 1) = 1 примера б) дифференцированием по у' получаем второе уравнение у'р'=О. Йсключеиие нз этих двух урзвнений величины у' дает уравнение у =1 илн у*= ~ 1, т.
е. обнаруженные выше особые решения. Пусть область 0 однозначно покрывается однопараметрическим семейством кривых Ф(я, у)=с. Отнесем каждой точке Р области 0 направление касательной топ крнвоп семейства, которая нроходит через эту точку. Тогда получится поле направлении, описываемце дифференциальным уравнением у'= — 4;л. Еслн же квкдой точке Р У отнесем направление нормали привод семейства, проходящей через нту точку, то получатся другое иоле направлений, описываемое дифференциальным уравнепнен Решения этого дифференциального уравнения назывзются орлгогональными лтраеялзориями исходного семейства кривых Ф(х, у)=с. Кривые данного; семейства и его ортогональные траектория пересекаются всюду под прямыми углами.
Отсюда ясно, что если семейство кривык заданосвоимдяфференцнальным уравнением у'=Дх, у), то дифференциальное уравнение а1 а к сввдвния нз оыцвй твогнн гаавнвний пкгвого погадка 467 семейства ортогональных траекторий можно написать сразу, не нуждаясь в предварительном интегрировании дифференциального урав- неняя, определяющего заданное семейство кривых; искомое диффе- ренциальное уравнение ортогональных траекторий есть, очевидно, 1 у= у(х у) В данном выше примере а) семейства окружностей х'+уа — г'= = 0 находим из дифференциального уравнения х+уу'=0 этого семейства дифференциальное уравнение его ортогональных траекто- рий у'= †. Следовательно, ортогональные траектории составляют у х пучок прямыт„проходюцих через начало координат [см.
и' 1, при- мер б)[. Рассмотрим теперь семейство софокусных парабол (гл. П1, $2, в конце и" .1, стр. 148, ср. рнс. 36 на стр. 167) у' — 2р(х+~ )=0 при р)0. Дифференциальное уравнение этого семейства таково: — х+ $' х'+у' у Следовательно, дифференциальное уравнение ортогональных траекто- рий будет '-(-х+ $ х*+ут) у а общим решением 'этого уравнения является семейство парабол у' — 2р(х+$=0 со значениями р '0; это тоже семейство софо- кусных парабол, имеющее к тому же общие фокусы с исходным семейством. 3. Интегрирующий множитель.
Запишем дифференциальнве урав- нение у'=у(х, у) в следующем виды Ыу — У(х, у) Ых = О, гле Их †дифференци независимой переменной, а Ыу †дифферен- циал искомой функции. Если умножить это уравнение на любой отличный от нуля множитель Ь(х, у), то получим дифференциальное уравнение 'вида а (х, у) Ых+ Ь (х, у) ау = О, равносильное исходному, и задача заключается в том, чтобы найти все те функцнн у(х), для которых дифференциалы а~х и г(у удовлетворяют этому дифференциальному уравнению тождественно относительно х, 488 гл. ш.
сведения о дийяеавнцилльных и авиациях ,Р Существует случай, когда общее решение можно сразу написать. Это тот случай, когда выражение адх+Ьсгу является родным дифференциалом некоторой функции Р(х, у), т. е кргда существует дг" дс такая функция Р(х, у), что а= — и Ь=, При этом условии дх оу' дифференциальное уравнение аг(х+Ьг(у=О можно записать в виде ЫР=О, где гК обозначает полный дифференциал функции Р(х, у). Ясно,что общее решение этого уравнения есть Р(х, у)=с; ив этого неявного уравнения можно выразить у как функцию от х, содержащую еще и постоянную интегрирования с.
Согласно гл. Н, й 1, стр. 378, необходимым и достаточным условием того, чтобы выражение аЫх+Ьг(у было полным дифференциалом некоторой функции Р(х, у), является выполнение критерия интеда да грируемости — = — (если притом эти частные производные непреду дх рывпы). Если этот критерий выполняется, то криволинейный интеграл выражения аагх+Ьду не зависит от пути интегрирования и, при фиксированной начальной точке Р, этого пути, представляет собой функцию Р(х, у) конечной точки Р(х, у), и при помощи этой функции с и получается данное выше общее решение Р(х, у)=с.
Однако, как правило, коэффициенты а(х, у) я Ь(х, у) дифференциального уравнения адх+Ь|(у=О не удовлетворяют критерию интегрируемости. Не выполняется, например, этот критерий для дифференциального уравнения агх+ У Ыу= О. В таких случаях можно пох пытаться помножить дифференциальное уравнение на множитель р(х, у), выбранный с таким расчетом, чтобы после умножения новые коэффициенты ра и рЬ удовлетворяли условию интегрируемости.
Тогда общее решение дифференциального уравнения будет иметь вцд ~ (ра Ых+ рЬ Ыу) = с, х где путь интегрирования Е криволинейного интеграла можно выбрать таким образом, чтобы врзможно более упростить вычисления; д итоге решение задачи приведется к обыкновенному интегрированию. Выражение р(х, у), обладающее описанным выше свойством, нашгваегся интегрируюгаим мнолсцтелем дифференциального уравнения. Для уравнения дх+ — Ну=О таким множителем является р(х, у)=х. у действительно, после умножения на х урэвнение примет вид хггх+ +уггу=О, в котором левая часть есть полный дифференпдал функх'+у' х'+у' ции —, Игак, И =О„откуда х'+у'=2С, т.
е. общее а1 аз, Сведения из овщвй твоеин гнавнвиий паевого поездка 459 решение дифференциального уравнения представляет семейство окружностей с общим центром в начале координат, в согласии с результатом примера а) в и' 1. Как видно из его определения, интЕгрируюший множитель удовлетворяет дифференциальному уравнению д д Ь вЂ” (ра)=Ь вЂ” (рЬ) или ар.„— Ьр., (а — Ь„)р,=О, ду дх а это уже дифференциальное уравнение с чагткымп пропэзодлыли (см. т. 1, стр. 596). Стзло быть, нахождение интегрирующего множителя есть задача отнюдь не более легкая, чем задача решенвя исходного дифференциального уравнения; однако во мцогик случаях удается найти интегрирующий множитель по сообрюкендю, кзк, например, в приведенном выше примере. Впрочем, интегрирующий множитель сохраняет преимущественно теоретический интерес, и мы не имеем возможности входить здесь в дальнейшие подробности.
4. Теорема существования и единственности решения. Займемся теперь доказательством формулированной в и'1 теоремы существования и единственности решения дифференциального уравнения у'= =г(х, у). При этом можно допустить без потери общности, что речь идет о том решении у(х), для которого у(0)=0. В самом деле, если поставить вопрос о реШении у(х), удовлетворяющем более общему начальному условию у(ха) =ум то можно ввести вместо х и у новые переменные (=х — х, и т1=у — уы и тогда получится для с и ч1 дифференциальное уравнение лч — — У'(1- хь +уз)=А6, 1) того же типа, что и первоначальное, но уже с начальным условием 1(О)= О. Для доказательства можно' ограничиться достаточно малой окрестностью точки х=О, ибо, когда будут доказаны существование и единстйенность решения для такого интервала, окружающего точку х=О, то можно будет затем применить это доказательство к доста'точно малой окрестности граничной точки первого интервала и таким путем продолжить решение на прнмыка1ощий интервал и т.
д. Сперва убедимся в том, что двух различных решений дифференциального урзвнения, удовлетворяющих заданному начальному условию, быть не может. Лействительно, если бы существовали два решения у1(х) и уа(х), то нх разность в(х)=у1 — уа удовлетворяла бы уравнению в (х)=~(х, у,(х)) — ~(х, у,(х)). Применив к правой части теорему о среднем значении, получим р'(х) = (у, †)У„(х, .р)= р(х)У„(х, у), 460 Гл.ш. сведения о диФФезенцилльиых'уРАзнениях и где у есть некоторое знзчение, промежуточное между у~ н уз Функции у,(х) и уя(х) непрерывны в окрестности ~х~(а началакоординат, и при х=О обе они' обрмцаются в нуль.
Поэтому обе фуякции ограничены в этой окрестности, и существует такое число Ь, что )уг(х)((Ь и (уя(х))(Ь, а стало быть, и (р)~Ь при )х)(а. Обозначим через М какую-нибудь верхнюю границу величины (~„~ в области (х! =.а, )у)~Ь и через 0 наибольшее значение величины ~ р(х)( в интервале 1х(~а; предположим, что это вначеяие Р принимается при х=с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
