1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 93
Текст из файла (страница 93)
к Через двойной такой промежуток времени (от начала движения) 2Т=— 2с, к 2а,с, падающая масса достигнет точки с координатами х,= — ''=2х, г,=О т. е. вернется на горизонтальную прямую у=я=О, проходящую через начальное положение. Теперь нетрудно решить следующую задачу: под каким углом к горизонту надо бросить материальную точку с заданной начальной скоростью о, = Г'а[ + с', ) О, чтобы получить возможно большую дальность полета 2а,с, — ? Прн этом предполагается, что а,~О и с,геО.
Существование такого угла очевидно, см. примеры гл.!П, Э 6. Поставленная задача равносильна задаче нахождения максимума функции у(ао с,)=ас, при дополнительном условии а',+с[=а[)0. Правило множителей Лагранжа дает для определения неизвестйых а, и с, систему уравнений а,+2ус,=О, с,+2уа,=О, - а,'-(-с',=аэ„ из которых получаем а, =с, '). Таким образом, углам метания, обеспечивающим наибольшую дальность полета, является угол в 45'. 2. Малые колебания около положения равновесия.
В й 1, п' 3 мы исследовали вопрос об устойчивости рзвновесия. Теперь мы поставим задачу о движении материальной точки вокруг положения устойчивого равновесия, соответствующего минимуму потенциальной энергии. Эту задачу можно решить приближенно следующим путем, Ради крзткости мы ограничимся изучением движения в плоскости ху при допущении, что параллельно оси г не действуют никакие силы. ') Кстати, этот результат непосредственно вытекает из очевидного соотг,'+ с', ношения [а,с,[~ — '', в котором знак равенства имеет место в том 2 и только в том случае, если [а, [= [с, (. 442 гл. чь сввдвния о диээвяанциальныя ювавнвниях !а Будем считать, что положением угтойчивого равнОвесия является начало коордииат, и представим погеициаль~ую виергию У в окрестиости начала по формуле Тэйлора в следующею виде: У= Уь+рх+~7у+ 2 (ах + 2Ьху+ су )+..., (1) ! где р=У„(0, 0), у=У„(0, 0), а=У„„(0, 0), Ь=У„(0, 0), с~ = У,(0, О» а У, есть произвольное постояииое, которое можно положить равным нулю.
Так как начало координат соответствует минимуму потеишаальиой энергии, то р= У,(0 0) = 0 и д= У,(0 0) = =О. Стало быть, в выражении (!) отсутствуют члены нулевой и первой степени. В соответствии с тем, что ивчало координат дает минимум функции У(х, у» группа чаеиов второй степеии Я (х, у) = — (ах'-~- 2Ьху + су') образует положительно определенную квалратичиую форму (ср. стр. 222» к тому же мы предположим, что в достаточно малой окрестности положения равиовесия потенциальную энергию У можно с достаточной точиостью вамеиить этой квадратичиои формой ь)(х,у» При сделаииых предположениях уравиеиия движения прииимают следующий вид: те= — агаб Я тх = — ах — Ьу, му = — Ьх — су.
или переводит положительно определенную квадратичиую форму 2Я(х,у)=ах'+2Ьху+сую в вырамеиие вида 2Я=аР+~па, где ч и т! — новые прямоугольные координаты, а, а и р — положительные постояииыв. (Дело в том, что уравнение Я(х, у) 1 представляет эллипс, а при подходжцеи выборе угла р член с произведеиием ху можно уничтожить.) В этах новых коордииатах уравиеиве движеиия те= — йгай ц эививалеитио следующей системе диффереициальиых уравиеиий: тч = — ач, ж11 =ы — ~та где (, л — новые коордииаты радиус.
вектора г. В этой системе переменные отделены: первое уравнение содержит только (, второе— Эти уравнения легко будет решить, если предварительио повернуть систему координат иа подходящий угол р. Из аиалитической геометрии известно, что, при надлежащею выборе угла поворота у осей координат, преобразование х=."ьс соя~а — т!51п~, у са1п<~+7~соз<~ 443 З З. ПРИМЕРЫ Ив МЕХАНИКИ ТОЧКИ только т» причем оба уравнения однотипны. В т.
1, гл. Ат, $ 4, и' 3 мы уже нашли общее решение уравнения тэкого типа. Имеем (=А,з!п "у — (! — ст), т)=Азэ!п у — (2 — с,), Га Гр ю — У ш где с» с» А» Аз являютси постоянными интегрирования, которые дэют возможность конкретизировать пропесс движения при произвольно заданных начальных условиях. Форма решений покзэывает, что движение подруг устойчивого положения равноиесия представляет собой наложение (суперпозипию) гармонических колебаний по двум «главным направлениям» вЂ” по оси ! и по оси 4 с кРуговыми частотэми зт, — и У вЂ”, Общее исследо- Ут Уш ввние этих колебаний„ которого мы здесь проводить не будем, показывает, что результирующее движение может иметь весьма рээнообрлзные формы. Приведем лишь несколько частных случаев тэкик составных колебаний. Сначала рассмотрим движение, определяемое уравнениями $ = э!и (с+ е), Ч = мп (т — с).
Исключив время б получим уравмение траектории (4+ 1!)' Мп' с + (6 — Ч) ° соаэ е = 4 з)пэ е стм' е; траектория оказалась э.тлипсом. Оба составляющих колебания имеют одинаковую круговую частоту 1 и одинаковую амплитуду 1, но разность фаз 2с. Вели придавать этой разности фаэ все значения от 2с = 0 до 2е = -«л-, Рис. 93. Рис. 97. Рис. 96. то получаются эллипсы всех возможных эксцентрисптетов е от л=! при с=о, когда эллипс вырождается в отрезок прямой .'— Ч=О между точками ( — 1; — !) и (1; 1), до е=О при с= 4, когда зллвпс переходит в окружность (э+»'= !.
Таким образом результирующее движение может иметь разнообразные формы от колебания вдоль прямой до вращения по окружнасти (рис. 96 — 98). Рассмотрим теперь движение, определяемое уравнениями 8=э!пб .!=э)п2(à — с). Теперь частоты составляющих котебаипй уже ие равны и фигуры колебания получаются значительно более сложные. На рис, 99-10! изображены фигуры 444 Гл. ш. сведения о диФФеРенциАльных УРАвиениах (3 колебания для с=о, с= — и с= —, В первых двух случаю материальная и 4' точка пробегает раз за разом замкнутую кривую в одном июм же направлении, а в третьем случае оиа колеблется туда и обратно вдоль дуги параболы Ч= 2Р— 1.
Рнс. !ОО. Рис. 101. Рис. 99. Все кривые, служащие траекториями движения при сюжснии всевозможных гармонических колебаний по двум взаимно перпевжкулярным направлениям, носят общее название фигур уиссалсу, 3. Движение планет. В рассмотренных выше задачзх дифференциальные уравнения движения получались !либо сразу, либо после некоторого преобразования) в таком виде, что каждзя координата удовлетворяла своему отдельному дифференциальиоиу уравнению, решая которое, мы определяли эту координату как функцию времени. Теперь же мы поставим и решим важнейшую задачу такого типа, когда систему уравнений движения уже не ух(ется разбить простым путем на отдельные уравнения для каждой из искомых функций, и интегрирование такой системы требует более сложных вычислений.
Мы выведем закона Кеплера о денжеиш планегн из закона всемирного тяготеют Ньютона. Пусть в в(чапе координат покоится масса Р !например, Солнце), порождающая гравитационное поле, в котором сила, действующая на едииииу массы, дана как вектор-функция точки 1 г У()э)=1 йгаб — „= — 'П вЂ”,.
Каково движение материальной точки (планеты) масси т под воз- действием этого силового поля? Уравнение движения г илн г = — Т(ь— г* эквивалентно в координатной записи системе ТР у го! з л= Т'р. х ТР ьг 445 $ З. ПРИМЕРЫ ИЗ МЕХАНИКИ ТОЧКИ Для того чтобы решить эту систему дифференцизльных уравнений, запишем сначала для искомого движения уравнение, выражаюгдее закон сохранения энергии: —,~ (е -[-у'+й') — ТР" =с, э э тнлс где С есть число, остающееся постоянным в продолжение всего движения и вполне определяемое начальными условиями. Из уравнений движения (2) можно вывести следующую систему уравнений, которые, как и уравнение энергии, уже не содержат вторых производных, з содержат лишь первые производные: уй — гР = ст, г.с — хй ст хР— у л = св.
Для вывода, например, первого из этих уравнений умножим третье уравнение системы (2) на у, второе уравнение на г и из первого результата вычтем второй; получится уй — лР= 0 или — (у2 — лР)= О, откуда интегрированием получим уз — гу=сь Аналогично выводятся остальные два уравнения. Уравнения (4) можно также вывести векторным путем. Для этого помножим векторное уравнение движения г=у слева векторно иа г; подучим [гг] = О, так как вектор у коллннеарен г.
Леваке убедиться, что [гг] раино производной по времени от вектор-функции [ст]; действительно, ее — [гг] = [гг] + [гг ] = [гг ]. Стало быть, — [гг] = О, откуда ' йе [гг] с, (5) где с=(сн с„с,) есть произвольный вектор, не зависящий от времени. Ясно, что система уравнений (4) есть лишь координатная запись уравнения (5д Из этого вывода ясно, что уравнение (5) справедливо не только для ньютонова, но и для всякого центрального силового поля, т. е. такого ноля, в котором сила коллинезрна радиус-вектору точки. Вектор [гг] называется моментом снорпсти, а век~оп т [гг] — моментом количества движения относительно начала координат.
Соотношения (4) дают возможность значительно упростить нашу задачу. Не ограничивая этим общности, выберем систему координат таким образом, чтобы в начальный момент (скажем, при с=О) материальная точка находилась в плоскости ху и чтобы ее скорость в этот же момент тоже лежала в этой плоскости, так что л(0)= О н 2(0) = О. Поэтому при ( = 0 выражения уе — гР н гх — хл обращаются в нуль, а так как эти выражения, согласно уравнениям (4), не зависят от времени, то при сделанном выборе системы координат уравнения (4) принимают следующий вид: уй — гР=О, гх — х2=0, х~) — ух=с,=н.
446 гл. щ. сввдвния о диввзпвнцнлльных звавнвниях ~а Из этих уравнений прежде всего вытекает, что все движение происходит в плоскости а=О. В самом деле, так как мы естественно исключаем из рассмотрения возможность столкновения плаивты с Солнцем, то можно предположить, что три координаты х, у и г никогда не обращаются одновременно все в нуль. Поэтому при л=О, когда г(0)=0, по крайней мере одна из двух других координат не обращается в нуль; пусть, например, х(0) ~ О. Иэ равенства гх — ха=0 вытекает, что откуда при всех значениях Ф имеем а=ах, где а — постпянная.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
