1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 97

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 97)

Тогда ~ Ф' (х) ~ = ~ <р (х) У„(х, Р) ~ ~ РМ. Следовательно, П О = ~ р ($) ) = ~~ <р' (х) бх ~ ч:. ~ ( ~ 0М ( аРМ. з Число а можно выбрать настолько малым, что аМ(1, потому что, если ~~„(х, у))(М в некоторой области Й: (х(~а, (у) (Ь, то это неравенство остается в силе в любой области, получающейся из )с з результате уменьшения числа а. Но если аМ(1, то изнеравенства Ра=аМР вытекает, что Р=О. Это значит, что в таком интервале )х!( а оба решения равны: уг(х)=уя(х). Руководящей идеей этого доказательства является известный факт, что если подыктегральиая функция ограяичсиа, то значение интеграла имеет тот же порядок малости, что и промежуток интегрирования, когда этот зромежуток стремится к нулю. Перейдем теперь к доказательству сугнествовзния решения.

Мы построил это решение с помощью лгеигода итерации или последовательного лриблиэеения; кстати, этот метод очень важен и для приложений, в частности для численного решения дифференциальных уравнений, Решение п1тлучзется при этом в виде предельной функции последовательности приближенных решений уз(х), ут(х), уэ(х),... В качестве исходного или нулевого приближения берем уэ(х)=О. Первое приближение мы строим в соответствии с дифференцнзльным уравнением так: рг(х)=~16, О)б(1 о с его помощью получаем второе ириближеняе уя (х) = ~,у'(1, уг(3)) г(с о и, продолжая так шаг ва шагоы, 'Ртроим вообще по (и — 1)-му приближению и-е приближение р.(х)=).г6 у л($))б(.

з и а а. сввдвния из овщвй твогии гэавнвний пвввого погадка 461 Если в интервале ~х! = а эти приближающие функции сходятся равномерно к предельной функция у(х), то можно выполнить предельный переход под знаком интеграла, н для предельной функции получится уравнение у(х)=~У6 З(1))А о дифференцирование этого уравнения по х даст у' =Дх, уЬ так что предельная функция у(х) действительно является искомым решением. Итак, надо только доказать равномерную сходимость последовательности функций уа(х), у,(х), уа(х), ...

Это доказательство мы проведем для достаточно малого интервала (х~я= а. Введем вспомогательную функцию р„(х)=у ,(х) — у„(х) и обозначим через О наибольшее значение абсолютной величины ~р„(х)~ этой функции в интервале 1х(м.::а. Имеем э,',(х)=у,',+~(х) — у„'(х)=г(х, у ) — г"(х, у„~). Применив сюда теорему о среднем значении, получим Т„'(х)=(У„ — У «)Ут(х, У„ «)= Р„ ~(х)гт(х, У, «(х)), где р„ « есть некоторое промежуточное значение между у « н у Пусть в прямоугольнике )х) =-.

а, )у ~ (Ь выполняются неравенства )у (х, у)((М, ~у(х, у)) =Мэ Предположим еще, что функцииу„(х) удовлетворяют в интервале ~х~ =.а неравенству )у„)(Ь. Тогда, в силу определения функции у„,«(х), в этом интервале к ~у„+з (х)~= у((. у„(1))Л (~х!М~(аМ«. Поэтому мы выберем верхнюю границу а для ~х~ настолько малой, ,чтобы было аМ«~Ь.

Тогда в интервале ~х!~а непременно будет !у„««(х)~(Ь. Так как для у«(х)=0 очевидно, что ~у«(х)~ =.Ь, то во всем интервале ! х ! =. а при всех значеняях и будет 1у„(х)1~ Ь, Следовательно, можно в равенстве р . (х)= $ 4т (( Уя(1)) Рл(1)й о оценить интеграл справа, пользуясь неравенством ф(М, и тогда для 0 «(наибольшего значения величины ~у„««(х) ~ в ийтервале !'х ~ =:.а) получится соотношение Оя««( а М Ом Теперь, если нужно, уменьшим еще а настолько, чтобы было 462 гл. ш. сведения о диеевгянциальных гялвняниях аМ !у<"1, где р — фиксированная положительная правильная дробь, например 4=3/4.

Тогда П„,г(д0„(!у"О!ь рассмотрим тенерь ряд <р,(х)+еь(х)-1- ра(х)+...+е„(х)+..., л — ! п-я частичная сумма которого есть ~ !1ь(х)=у„(х). Абсолютная величина общего члена этого ряда, 1е,„(х)~«= Р, д" '. Стало быть, абсолютные величины членов нашего ряда не превышают при 1х ~ «=а соответствующих членов сходящегося геометрического ряда с положительными постоянными членами. На основании'критерия, данного в т, 1, гл. ЧП1, 2 4, и' 2, стр.

4оЗ, частичные суммы нашего ряда, т.е. функции у„(х), сходятся в интервале )х(~а равномерно к предель. ной функции у(х). Отсюда видно, что существует такой интервал )х!( а, в котором дифференциальное уравнение у'=1(х, у) имеет одно и только одно решение, удовлетворяющее ааданиому выше начальному условию.

Остается покааать, что это решение можно шаг аа шагом продолжить до границы (замкнутой ограниченной) области О, в которой определена функция У(х, у). Проведенное выше доказательство показывает, что если решение у(х) уже продолжено до некоторой точки х=(,,то его можно продолжить вдоль оси х за эту точку еще ва некоторый отрезок длины а, но а зависит от координат с, у(1) той точки интегральной кривой, до которой было доведено ее построение. Поэтому можно опасаться, как бы эта величина а не убывала с каждым шагом столь быстро, что продолжение решения окажется аоз. можным лишь в очень небольшой области, сколько бы шагов ии предпринимать.

Покажем, что такая ситуация невозможна. Допустим, что (У есть замкнутая ограниченная область, лежащая целиком внутри О. Тогда можно найти столь малое Ь !О, что для всякой точки (х,, ур) в 0' весь квадрат ха — Ь~х =-х,+Ь, уа — Ь =.у~уа+Ь лежит в О. Пусть в области О выполняются неравенства ,'Ут(х, у)!~М и !Дх, у))~М!, 'тогда нетрудно убедить-' ся, что все условия, наложенные Ня а в данном выше доказательстве, непременно будут выполнены„если нрннять аа а наименьшее ив чисел Ь, 1Д2 М) и Ь1М!. Это значение а уже не аависит от точки (х„у,); стало быть, мы можем с каждым шагом продвигаться на постоянный отрезок а, и поэтому последовательное продолжение решения может быть доведено до границы области О'.

Но ведь 0' есть любая вамкнутая область, содержащаяся в О1 следовательно, решение может быть продолжено до границы области О. 6. Системы дифференциальных уравнений первого порядка и дифференциальные уравнения высшего порядка. Значительная часть проведенных выше рассуждений распространяется на сисгеиу дифференциальных уравнений первого порядка, в . которой число б1 э а. сввдвния иа оащвй теоэнн тялэнвний фбЗ уравнений равно числу неизвестных функций одного аргумента Мы рассмотрим здесь достаточно общий пример системы двух дифференциальных уравнений с двумя искомыми функциями у(х) и г(х» у'=у(х, у, г), г'=я(х, у, г).

(1) И здесь мы предполагаем, что функции у и я непрерывно дифференцнруемы. Такую систему дифференцизльных уравнений тоже' можно изобразить наглядно в виде ноля направлений, но в пространстве хуш каждой точке (х, у, г) той области пространства, в которой заданы функции у и я, наша система предписывает определенное направление, направляющие косинусы которого относятся друг к другу как йх: йу: бг = 1: у: я. С геометрической точки зрения задача интегрирования нашей системы состоит в том, чтобы найти такие пространственные кривые, которые, так скзэать, «вписываются» в это поле направлений. Анзлогично теории одного дифференциального уравнения, и здесь имеет место следующая тяеорелга суиввствованця и единственности: через каждую точку области О, в которой функции У и я непрерывно дифференцируемы, проходит одна и только одна интвгральная кривая системы (1).

Таким образом, область 0 покрывается двупараметрическим семейством пространственных кривых; это семейство кривых дает общее решение системы (1) в виде двух функций у=у(х; сь ся) и г=г(х; сь сл» содержащих, помимо независимой переменной х, еще двз произвольных парзметра с, и с,, которые появляются в качестве постоянных интегрирования. Доказательство теоремы существования можно провести тем же методом итерации (последовательного приближения), что и в и' 4. Особая важность систем дифференциальных уравнений первого порядка проистекает от того, что всякое дифференциальное уравнение высшего порядка, скажем, порядка я, можно заменить системой и дифференциальных уравнений первого порядка с я неизвестными функциями.

Например, дифференциальное уравнение второго порядка у =ч(ту У) (2) мояшо заменить системой двух дифференциальных уравнений первого порядка. Для этого надо производную у' принять за новую искомую функцию в, и тогда наше дифференциальное уравнение запишется в виде системы двух уравнений у'=ж л'=Ч(х, у, г). (3) Эта система равносильна данному дифференциальному уравнению второго порядка в том смысле, что всякое решение уравнения (2) является также решением системы (3), и обратно. 6. Иптегрировздие с помощью степенного ряда (метод неопределенных коэффициентов).

В ззключенне этого параграфа сообщим один общий метод, который часто применяется с успехом для решения 464 гл. ш. сввдвния о дноэвэвнциальных ээазнвниях 1В дифференцизльных уравнений. Это метод интегрирования с помощью степенного ряда. Предположим, что в дифференциальном уравнении у' = г (х, у) функция г(х, у) разлагается в степенной ряд по обоим аргументам .х и у и, стало быть„имеет производные любого порядка по х н по у, Тогда естественно искать решения дифференциального уравнения тоже в виде степенного ряда у=с,+стх+с,х'+..., определяя коэффициенты этого ряда с помощью заданного диффе- ренциального уравнения Первые л чванов этого ряда представляют собой аппроксимирующий многочаен степени л искомого решения. Таким образом, этот метод является аналитическим аналогом приближенного графического метода интегрированна, намеченного а н' 1.

Эту программу можно выполнить двумя путями. а) Дифференцируем наше гипотетическое решение по хс У'=сг+2 с,х-1-3 с,х -~-... и этот производный ряд пишем вместо левой части данного дифференциального уравнения. В правой части пишем разложение функции у'(х, у) в степенной ряд, причем вместо у подставляем ряд с + стх+ + с,ха+... Затем пряравниваем друг другу коэффициенты при одинаковых степенях переменной х слева и справа. Этот путь нахождения решения называется леешодом неопределенных коэффп)1иентоа; мы им уже не раз пользовалнсь для решения дифференшаальных уравнений в первом томе, гл.

Характеристики

Список файлов книги