1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 98
Текст из файла (страница 98)
ттП!, $6 и Доп. к гть Ч(11, $ б. Член с, останется произвольным в качестве постоянной интегрирования, а коэффициенты сь ст, са,... надо определять последовательно из полученных уравнений. б) Однако, часто оказывается более простым и наглядным следующий путь. Допустим, например, что требуется найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию у(0)=- = 0 или, на геометрическом языке, найти интегральную кривую, проходящую через начало координат.
Очевидно, с =О. Остальные коэффициенты легко, найти по известным формулам для коэффициентов степенного ряда (ряда Тэйлора): 1а1 са = — „урб (0). Сначала находим ст =у'(0) =у(0, 0), Для определения с, нужно иметь выражение для второй производной у" (х). Это выражение мы найдемт аз. сввдвния нз овщий твоэнн гвдвнвннй пвэвого повадка йбб дифференцируя наше дифференциальное уравнение по х: у" (х) =г„+ фу'. Подставив сюда х=О н уже известные значения у(0)=0 н у'(0)= =.г(О, 0), получим у" (0) и сэ=-~-уэ(0). Этот процесс можно продолжать неограниченно и определить один за 'другим дальнейшие коэффициенты см со... Можно показать, что этот процесс всегда дает решение, т; е.
сходящийся степенной ряд для у(х), если. степенной ряд для у(х, у) сходится абсолютно внутри некоторого круга с центром в начале координат. Доказательство мы здесь приводить не будем. Упражнении 1. У нижеследующих дифференциальных уравнений проверитгь что левая часть есть полный дифференциал, н проинтегрировать этн уравнения: а) (Зх'+ 6ху') ах+(6ху+ ау') ду = О; б) д~ е~эу ую 1 ~1~ '+у '-~.т + О.
2. Решить дифференциальное уравнение (ху' — у') дх -[- (1 — ху') йу = О, имеющее интегрирующий множитель, не зависящий от х. [3. Решить дифференциальное уравнение (х'у+у+1) а'х+(х+х') ау=о, имеющее интегрирующий множитель, не зависящий от у.) 4. Найуи общее решение дифференциального уравнения 2 у' Фх + (3 ху' — ! ) Ыу = О н с его помощью определить интегрирующий множитель этого уравнению 5. Дано семейство плоских кривых У(х, у, с) =О.
Исключив параметр с из этого уравнения н нз уравнения ух +1уу' = О~ получим лнфференциальное уравнение этого семейства Р(х, у, у') = О (ср.п'2). Пусть э(р) есть заданная функция переменной р; всякая крнзая К, удовлетворяшщая дифференциальному уравнению р(х,у, т(у))=О, называется шраеяшорией семейства кривых У(х, у, с),О. 'Сопоставление этого дифференциального уравнения с дифференциальным уравнением нашего семейства кривых показывает, что у = т(у') дает соотношение между наклоном 1" кривой К в любой ее точке н наклоном у' кривой семейства у(х, у, с)=О, проходюцей через эту точку. Самым 466 гл. щ. сввдвния о диаацввнцидльных ивлвниниях 1 в зжным является тот случай, когда ч (р) = — —, приводящий к дифференциаль- Р' ному уравнению Р(х, у,— —,) =О ! У' орглагонлльных триекгнарий нашего семейства кривых <ср. конец и' 2).
С помощью этога метода найти ортогональные траектории следующих семейств кривых; а) х'+у'+су — 1=О; б) у=сх*; х' у' в) + — ! (а) Ь)О, — Ьз(с с со); ле+с Ь'+е г) у = соз х+ с; д) (х — с)'+ у' = и'. Для каждого случая построить графики обоих ортогональных между собой семейств кривых. 6. Для пучка прямых у=сх'найти два семействз траекторий, у которых: а) угловой коэффициент касательной к траектории в два рази больше углового коэффициента прямой; б) угловой коэффициент касательной к траектории равен по абсолютной величине и противоположен по знаку угловому коэффициенту прямой.
л л(ифференциильное уравнение вида У = хр + ф (Р) Р = У было впервые исследована Ллера. )[ифференцируя па х, имеем [х + ф' (р) ) ° — = О. лгр Отсюда; либо а) р=с =сапа!, так что у =сх+ ф (с) есть общее решение дифференциального уравнения Клеро, представляющее семейство прямых; либо б) х= — ф' (р), что вместе с уравнением У= -РФ'(Р)+Ф(р) дает параметрическое предстзвление тзк называемого особого Решения Заметим, что кривая, определяемая особым решением, является огибающей семейства прямых, дающего общее решение.
Найти этим методом особые решения следующих уравнений Клеро: а) у=ху' — —; б) у=ну'+лт. (у')'. 4 6. Найти дифференциальное уравнение семейства касательных к цепной линии у =и с!г —. о 9. Лагранж исследовал более общее дифференциальное уравнение, линейное относительно пары переменных х и у, а именно у = хч (р) + ф (р), р = у'. (!) аз. свндении из овшеи тнории твлвнниий цврвого порядка 46Т Если т(р) =р, то получается как частный случай уравнение Клеро, которое уже было рассмотрено в упр.
7. Поэтому мы будем предполагать, что т(р) р не равно тождественно нулю. Лифференцируя уравнение (1) по х, получим р=у(р) + [хт'(Р) +ф'(и)] —. (2) Это дифференциальное уравнение, связывающее переменные х и р, можно привести к виду «х р' (р) ф' (р) (з) 4 т(р) — рт т(Р) — Р' х = со (р) + ю (р). Это уравнение дает совместно с исходным уравнением у=хт(р)+ф(у) параметрическое представление общего решения уравнения Лагранжа (!). Мы предположили, что т(р) — Р не равно тождественно нулю; но возможен случай, что уравнение у(р) — р=О имеет некоторое число корней.
Если у=а есть такой корень, то т(а) — а=О; сразу видно, что в таком случае р =а удовлетворяет уравнению (2). Подставив у=я в уравнение (!), получим у = хр (а) + ф (а), и нетрудно убедиться, что эта функция является решением уравнения (!) и что она не входит в состав общего решения. Итак, каждому корню уравнения т(р) — р=О соответствует особое решение уравнения Лагранжа, изображаемое прямой линией. Эти решения можно истолковать геометрически следующим образом. Рассмотрим в качестве вспомогательного уравнение Клеро у=хр+ф]р '(р)], где р '(р) есть обратная функция для р(р), т.
е. р ' [т(р)] нита. Отсюда видно, что общее решение дифференциального уравнения Лагранжа пред- ставляет собой семейство траекторий семейства прямых у=хс+ф[р '(с)] у = х р (С) + ф (С). или Так, например, х У= — +ф(Р) у=У Р есть дифференциальное уравнение эвольвент, т. е. ортогональных траекторий семейства касательных кривой, представляющей особое решение следующего уравнении Клеро; 11 у = хр+ ф ( — — 1, р =у'. в котором р принято за независимую переменную, а х за искомую функцию.
Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка; его общее решение (см. т. 1, гя. Х1, й 1, п 3) находится с помощью квадратур и имеет с.тедующий вид: 463 гл. ть свидания о ливвиэвнцизльных кэдвнининх 0 Пользуясь этим методом, провнтегрнрозать уравнение у=х(р+а) — — (р+а)', р=у'. 10.
Выразить, тле это возможно, решения следующих дифференциальных уравнений с помощью элементарных Функций: В каждом из этих примеров построить график семейства интегральных кри- вых и нз полученного чертежа обнаружить особые решения„если онн су- ществуют. 1!. В переменной точке М плоской кривой Г построить нормаль к этой кривой; отметить на нормали точку тт ее пересечения с осью абсцисс и центр кривизны С, соответствующий точке й(. Найти все кривые, обладаю- щие следующим свойством: Мятг ' МС = й = сопя!. Рассмотреть различные возможные случаи лри А ) 0 н А (0 н построить графики.
12э. Найти дифференциальное урэвненве трехпараметрического семей- ства всех окружностей ха+уз+2ах+2йу.~-с=О на плоскости. 13, Решить однородное дифференциальное уравнение у !я (ху' — у)' = (х' — у') ~ягся(п — ! х и найти также особые решения. (См. т. 1, гя. Х1, $1, и' 2.) 14". Найти решение дифференциального уравнения 1 у-+ — У+у=о, х удовлетворяющее начальным условиям у(0)=1, у'(0)=0 в виде степен- ного ряда. Доказать, что эта функция тожхественна функции Бесселя .7я (х), определение которой дано на стр.
245, упр. 4, 1б. Касательная в точке Р плоской крязой пересекает отрицательную полуось у в точке я; эта кривая обладает тем свойством, что ) ОР ) = =л ) ОТ О гле О в начало координат. Даказать, что уравнение кривой в по- лярных координатах имеет следующий вил: (1+ з(ц 8)' соз"+' 8 $4 яЛииейные дифференциальные уравнения любого порядка 1, Определение. Теорема существования и единстненности .решения.
Принцип суперпониции. Дифференцнзльное уравнение колебания, изученное в т. 1, гл. Х1, Я 3 — 5, и некоторые другие рас.смотреннйе в предыдущем примеры принадлежат к общему типу линейных дифференциальных уравнений; Лииегуиыля диффереигйиаль- и а с линвйиыа диеевввнцилльныв ггавнвния лювого повязка 469 ным уравнением (сокращеиио: л. д у.) для неизвестной функции и(х) называется уравнение вида аь(х)ийо(х)+а~(х)иг '1(х)+...+а 1(х)и'(х)+ +а„(х)и(х)=~р(х), (А) где коэффициеиты а„аь а„..., а„и свободный член (правая часть) о (х) — задаииые функции одной лишь независимой переменной х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
