1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 94
Текст из файла (страница 94)
Полагая 8=0, получим л(0)=ах(0), так как а(0)=0 и х(9) у'=О, заключаем, что а=О. Следовательно, всегда а=О. [Что движение происходит в одной плоскости, проходящей перла притягивающий центр, вытекает сразу ив векторного уравнения (9), покалывающего, что если постоянный вектор с~о, то радиус-вектор г всегда пврпевдикучярен вектору с. Умножив уравнение (5) сквлярно на г, пллучилл уравнение плоскости орбиты сг=о. Эта плоскость определяется иачлльиым положением г, и начальной скоростью г;. ее нормальный вектор с=[г,г,]. Если же с=о, то из уравнения [9) следует, что скорость г всегда коалинеарна г, и движение происходят по рвлиус-вектору, так что плоскость траектории становится неопределенной.] Теперь наша задача интегрирования уравнений движении привелась к решению системы двух дифференциальных уравнений парного порядка: — «в(хв+рв) — ™ — = С, хр — ух=а.
Введем теперь в эти уравнения вместо х и у полярные коораинаты г и 9 с помощью преобразования х=гсоа9, у=га!п9. Так как хв+9в=гв+гв9в и хР— уФ=гт9, 2 (Р'+ ~в9') — т~=С, гт9=А. (6) Первое из этих уравнений выражает закон сохранения энергии, второе в кеплеровский закон плошадей. Из т. 1, гл. лг, 9 3, п' 9 1 известно, что выражение —,гв9 равно производной по врежни от то для полярных координат г и 9, как функций времени ~, получзется следующая система дифференциальных уравнений: 3 3. НРНМКРы из мзханики точки площади сектора, описанного радиус-вектором движущейся точки, т. е. равно скорости изменения площади этого сектора.
Второе из наших уравнений утверждает, что эта скорость постояннз. Этот результат и назывзется пеевым законом Кеплера или законом ллощадеаг радиус-векпзор планеты описывает в равные промезкугпки времени равные площадж [Закон площадей сразу вытекает яз векторного уравнения (5); в силу геометрического смысла векторного произведения, из (з) получается, что 1, ° ! скорость изменения площади сектора равна —, ! (гг) 1= —, ! с (, т. е. ояа 2 2 постоянна.) Если «постоянная площадей» й равна нулю, то 6= О и 9=сопя(, т. е. материальная точка должна двигаться по прямой, проходящей через начало координат.
Этот частный случай мы не станем рассматривать и будем определенно предполагать, что 6 =,6 О. Займемся теперь определением геометрической формы орбиты, отложив покамест вопрос о зависимости движения от времени. Для этой цели рассматриваем угол 6 как функцию от г нли г кзк функцию от 6 и из уравнений (6) определим Ыгы(6 как функцию от г.
й Выполняем это следующим путем. Выражение 6= —, нз закона плот' вг дг А аг щадей и выражение г= — = — 6= — — „подставляем в первое нз = аг = «з — г' аз уравнении (6) и сразу получаем дифференциальное уравнение орбиты или Выражение в скобках в правой части можно преобразовать так: 2С ~и 1 1 ( 1 тн~з т'ф' 2С маз+ аз г г' !г яз! + ~~' + Л' Для сокращения введем следующие обозначения: Тогда дифференкизльное уравнение орбиты примет следующий внд: Ж'="6-(-'-Л Оно упростится, если ввести вместо г нову!о неизвестную функцию 1 1 Ви 1 Лг и= — — — так что р ! «з — гз вв ° 448 Гл. У1. сведения о диФФеРенцнАльных уРАВнениях !а Новая искомая функция и удовлетворяет дифференциальному урав- нению ~)=, /ет в аз) =р' ' да=У р' Это дифференциальное уравнение первого порядка с отделяюшимися переменными.
Оно интегрируется квадратурой  — В,= = агсз!ив ди ри (см. т. 1, гл. !Ч, стр. 242). Таким образом, уравнение орбиты полу- чается в следующем виде: 1 1 е и = — — — = — з1п ( — В,). г р р Угол Ве можно выбрать произвольно, так как безразлично, от такого неподвижного радиус-вектора отсчитывать угол 0. Примем Ве= 2, так что значению и = О соответствует значение В = — . Тогда 2' 1 1 е — — — = — — созВ и окончательно уравнение орбиты будет г р р г= — с —, 1 — е сова' Из аналитической геометрии известно, что это полярное ураенение кривой второго порядка, один из фокусов которой находится в начале координат. Полученный результат дает второй закон Келлера: планеты (и кометы) двизкутсд по коническим сечениялг, в одном из фокусов которых находится Солнце. Интересна связь между постоянными интегрирования де е 2Сае р ~., е*-1+ —,, 1Р Иться~ н константами, характеризующими вид орбиты.
Величина р иаэызеееся па- раметром конического сечения; у эллипса н гиперболы параметр р связан Ье с полуосями а н Ь простой формулой р = — , а' Эхспентриситет е () О) определяет вид и форму конического сечения: оно является эллипсом при е(1, параболой при е=! и гипербот1, если е) 1, 2Сае Из равенства е' = 1 + ,, сразу видно, что эти три различяве возит! Р можности можно поставить в связь с постоянной С, характеризующей энергию: орбита будет элл>щсом, если С~О, параболой, если С=О, н гиперболой, если С ) О.
% э. пРимеРы из мехАники точки 3) Пусть материальная точка в момент с=о помещена в силовом ноле в положении г, с начальной скоростью в. Тогда из соотношения С= — о —— тию 2 о го вытекает поразительный вывод, что [врн в~о] зид орбиты (эланпс, парабола ини гипербола) нисколько ие зависит от- направления начальной скорости н зависит только лишь от ее модуля о,. Теперь, когда найдена функция г(9)= ††~~††, можно уже определить протекание движения во времени. Из закона площадей год=А имеем э в Эо Таким образом определена ззвисимость от времени полярного угла 9, а следовательно, и полярного' рздиуса г, Третий закон Кеплера является простым следствием первых двух. Как известно, этот закон утверждает, что у эллиптических орбит отношение квадрата периода обраитения к кубу большой полуоси есупь величина постоянная, одинаковая для всех планет, и вполне определяется заданным гравитационным полем.
Обознрчим через Т период обращения и через а — большую полуось; тогдз То —, = сопя[ ао и эта постоянная одинакова для всех планет данной планетной системы и вполне определяется массой р, порождзющей гравитзционное поле, и постоянной тяготения Для доказательства воспользуемся законом площадей в проннтегрированном виде (см. выше): в ~ гэйд=,Ь(1- Я.
ао Возьмем интеграл слева по промежутку от до=О до 9=2в1 тогда в левой части получится удвоенная площадь орбитального эллипса, равная 2наЬ, а споава Ь вЂ” '~.= Т (период обращения). Следовательно, 2иаЬ=ЬТ. С другой сторон)а, постоянная Ь связана с полуосями а и Ь соотла Ьо ношением — = — (=р). Исключив иа этих двух равенств букву Ь, 'и' получим соотношение Т' Лно оа ТРА выражающее третий закон Кеплера 16 Р. Курант 460 гл. щ. сввдвпня о «неейвйнцидльиых гшзнпыияя Упражнения 1. Доказать, что при г — со скорость небесного тццц стремится в нушо, если оно движетсн по параболической орбите, и я паюхительному пределу, если его орбитой является гипербола.
2е. Планета движется по эллипсу. Построим на Ошыпой оси эллипса, яая на диаметре, вспомогательную окружность. Пусть Ре — перигелий, т. е. вершина эллипса, ближзйшая к Солнцу, Р— положеаж планеты в момент времени Г, Р' — точка вспомогательной онружноста, лежащая на одном с точкой Р перпендияуляре в большой оси и с тов же стороны от нее, что и Р. Обозначим через я=в(1) зхспентрнческув шомалию, т.
е. угол Р,МР, где М вЂ” центр эллипса. Дояазать, что ь и 1 связаны уравнением Кеплера я (т — Ге)~ лй (в — е аШ в), где Ге — момент прохождения планеты через перигелац. 3. Доказать, что материальная точка, притягиваемая к центру О силой, величина лоторой пропорциональна расстоянию от О, движется по эллипсу с центром О. 4. Доказать, что орбита материальной точки, оттацкцваемой от центра О силой, величина которой есть у (г), где у — заданная функция, имеет в полярных координатах (г, О) уравнение сцг 0 — О,= Г2с 2 1' 1 г' 1у —, + —, ь у (г) кг — —, 6. Доказать, что уравнение орбиты материальной тцчви, отталннваемой от центрз О силой, величина которой равна †„ есть — сое(тО + е) 2с 2с — с)ц (10+ е) й'1 прн в<де, при уц)де, $3. Некоторые сведении ив общей теорий дифференциальных уравнений первого порндхз Рзссмотрение общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений вышло бы далеко за рамки этой кнвти Однако мы здесь наметим хотя бы очерк элементов этой теория, и начнем с дифференциального уравнейия первого порядка.
где у= згг (1 — — ~, а е — постоянная ннтегрироваввц. и ле 6. Дозазать, что в орбите, описываемой в цеятрьтьном силовом воле вида у= — у(г) г', модуль силы притяжения (на единицу массы) есть дл ~у у= ~у1= —.т, де дг' где д есть расстояние от центра притяжения до ацсцтельной к орбите, а д — постоянная площадей. Пользуясь зтнм, доказать, что юрбнта может Овть яардиоидой г = = а(1+ сцв О), если сила притяжения нз единицу масси цропорциональна г '.
!1 Ф а. сввдвния нз овщвй твояин и*лвнвний пвявого погядка 4И 1. Геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка. Общий вид дифференциального урзвнения первого порядка есть Р(х, у, у')=О, (А) причем мы будем предполагать, что функция Р непрерывно дифференцируема по всем своим аргументам х, у, у'. Важно уяснить себе наглядно геометрический смысл этого урзвнения. В некоторой плоской области это уравнение налагзет условие на направление касательной к любой кривой у=у(хь проходящей через точку (х, у) этой области. Предположим, что в некоторой области 0 плоскоси ху урзвнение (А) можно однозначно разрешить относительно у', т.
е привести его к виду У=Ах, у), где функция г(х, у) непрерывно дифференцируема по х и у. Тогда дифференциальное уравнение (В), а вместе с ним и (А) приводит в соответствие каждой точке (х, у) области 0 определенное налравление [или линейный элемент; не говорят «элементарный вектор» только потому, что, в отличие от вектора, на этом линейнои элементе не выделено какое-либо одностороннее направление.] Таким образом, дифференциальное уравнение изображается геометрически в виде ноля нанравлений, и следовательно, задача решения дифференциального уравнения истолковывается геометрически как задача о нахождении таких кривых, которые, так сказать, вписываются в это поле напрзвлений, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
