1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 95
Текст из файла (страница 95)
е. в каждой своей точке имеют касательную именно того направления, которое предписано в этой точке уравнением у'=Г'(х, у). Эти кривые называются интегральными кривыми дифференциального уравнения. [С геометрической точки зрения естественно и целесообразно не исключать из рассмотрения те точки (х, у) области О, в которых У(х, у) обращается в бесконечность; можно считать, что таким точкам дифференциальное уравнение (В) относит направление, параллельное оси.
у.) Нзглядному представлению кажется сразу ясным, что через каждую точку (х, у) области 0 проходит одна н только одна интегральная кривая дифференциального уравнения у'=у(х, у). Точное положение дела устанзвливается следующей основной теоремой существования: Если в дифференциальном уравнении у'=э (х,у) функция У непрерывна в области 0 и имеет в ней непрерывную производную ло У, то чеРез каждУю точкУ (хь, Уь) области 0 ЯРоходпт одна и только одна интегральная кривая, т.
е. суиьествует одно и только одно решение у(х) дифференциального уравнения, для которого у(х«)=уь Доказательство этой теоремы будет дано в пч 4, здесь же мы ограничимся рассмотрением нескольких примеров 1б' 452 гл. чь свндкння о диеенвннциальных гвавнкинях р а) Дано дифференциальное уравнение х У= — — ° У' За область 0 примем, например, полуплоскость у (О. В каждой точке (л, у) поля направлений элемент касательной перпендикулярен радиус-вектору этой точки. Отсюдз вытекает геометрически, что волуокружности с центрами в начале координат должны быть интегральйыми кривыми нашего дифференциального уравнения.
Это нетрудно проверить аналитически: из уравнений этих полуокружностей у = — )' Р— хх' эполучаем у' =, так что у"й~' дая них действительно у'= — —. у б) Поле направлений дифференциального уравнения У У'=— х имеет, очевидно, в кзждой своей точке направление прямой, соединявщей эту точку с началом координат. Отсюда ясно, что полупрямие, выходящие из начала координат, «вписываются» в зто поде н являются поэтому интегральными кривыми. И действительно, сразу видно, что функции у=сх удовлетворяют дифференциальному уравнению при любом значении постоянной е. В начале координат поле направлений этого дифференциального уравнения уже не определено однозначно (вернее сказать, оно вовсе не определено), и с этим связан-тот факт, что начало координат является для лнфференцнального уравнения «особой точкой>, через которую проходит бес конечное нножество интегральных кривых.
в) Легко проверить аналитически, что дифференциальное уравнение У вЂ” (учб б) У имеет своими интегральными кривыми семейство гипербол у = )' е'+ х«, а интегральные кривые дифференциального уравнения у'= — — (хж~б) У х составляют семейство гипербол е х' в обоих случаях е есть постоянная, различные значения которой'определяют отдельные кривые семейства; Сформулированная выше теорема существования показывает, чтр совокупность решений дифференциального уравнения первого порядка у' у(х, у) представляет собой однопараметрическое семейство функций вида у=р(х, с), содержащих, помимо хе еще и параметр с— нропзволзяую постоянную интегрирования (ср. т.
1, стр. 597). Таким параметром может, например, служить с=уз=у(0). Обычное интегрирование функции У(х) является только частным случаем иитегри- й а а. сввдяния из оашвй твовни гглвнвннй пвэвого поэядхд 433 рования нашего дифференциального уравнения, именно тем частным случаем, когда )г(х, у) фактически не содержит у.
В этом случае все линейные элементы поля направлений полностью определяются одной лишь абсцнссой х, и сразу ясно, что интегральные кривые получаются одна из другой параллельным перенесением по направлению оси у. Аналитически это выражается тем хорошо известным фактом, что при неопределенном интегрировании, т. е. при решении дифференциального уравнения у'=Дх), результат содержит произвольное постоянное слагаемое. Геометрическое истолкование дифференциального уравнения первого порядка подсказывает метод его нриблинеенного графического решения, т. е. графического построения ийтегральных кривых. Этот метод совершенно подобен частному случаю графического интегрирования функции Дх) (т. 1, гл. Н, й б) и заключается в том, что интегральную кривую заменяют ломаной линией, каждое звено которой имеет направление, приписанное дифференциальным уравнением его начальной точке (или какой-нибудь другой его точке) Такую ломаную можно построить, исходя иэ любой точки области О.
Чем меньше выбранная длина каждого звена ломаной, тем точнее звенья ломаной «впйсываются» . или «укладываются» в поле направлений дифференциального уравнения, не только в своих начальных точках, но и на всем своем протяжении. Отметим здесь без доказательства важный факт, что построенная таким способом ломаная, при неограниченном уменьшении длин ее сторон, имеет своим пределом интегральную кривую, проходяшую через исходную точку ломаной. Для применения графического метода необязательно, чтобы функция У(х,у) была задана аналитически; достаточно, чтобы она была задана графически или таблицей. Практическое выполнение графического интегрирования делается систематичнее и легче, если для построения поля направлений пользоваться методом изоклин.
Для этого предварительно строят геометрические места точек, которым дифференциальное уравнение приписывает одинаковые направления, т. е. строят семейство кривых Дх, у)=с=сопя(. Эти геометрические места и называются изонлинами (крнвыми равного Наклона). Каждому значению постоянной с соответствует определенное направление, которое можно, например, нанести на вспомогательный чертеж рядом'с картиной изоклин. Проводимая интегральная кривая должна пересекзть каждую взоклину, имея в точке пересечения,направление, которое берут из вспомогательного чертежа; поэтому построение ломаной, аппроксимирующей янтегральную кривую, легко выполняется путем проведения параллельных прямых. .
На рис. 103 показано графическое интегрирование уравнения уха+у у'= . Изоклинами являютса здесь полупрямые, выходящяе иэ начала координат. Направления у'=с, соответствующие перену- 464 гп. ш. сввдиния о дивввявнциальных гвхвнвниях [я мерованным изоклинам, даны на вспомогательном рис.
102 под теми же номерами, Это дифференциальное уравнение можно решить в квадратурах (как однородное уравйение (см. т. 1, стр. 599) или путем йерехода Рис. !02. Рис. !03. к полярным координатамЬ но полученное аналитически общее решение отнюдь не столь ясно и не так легко поддается исследованию. 2. 11ифференциильное уравнение семейства кривых. Особые решения. Ортогональные траектории. Согласно теореме сунтествоваиия, каждому дифференциальному уравнению первого порядка соответствуег однопараметрическое семейство кривых.
Естественно возникает вопрос: обратимо ли это соответствиег вкругими словами: для всякого ли одиопараметрического семейства кривых в(х, у; с)=0 или у=9(х, с) существует свое дифференциальное уравнение гч(х, у, у')=О, которому удовлетворяют все кривые семействаг И далее, как найти это дифференциальное уравнение? При этом существенно, что дифференциальное уравнение семейства кривых уже не содержит параметра с этого семейства. Таким образом, это дифференциальное уравнение осуществляет аадание семейства кривых без испольэования параметра а! в а свидания из овшвй твовин увавнвний ивового повадка 4бб Такое дифференцизльное урзвнение легко получить фактически.
Лифференцируя пп х уравнение семейства ф (х, у с) = О, р.+~,у'=О. имеем (2) Если р„не равно тождественно нулю, то из уравнений (1) и (2) исключйм параметр с, и в результате получится искомое дифференциальное уравнение. Это исключение параметра с выполнимо во всякой области плоскости ху, в которой из уравнения (1) можно выразить параметр с через х и у. Пействительио, тогда достаточно заменить в уравнении (2) параметр с, входящий в р„ и ру, полученным выражением с=с(х, у), чтобы прийти к искомому дифференциальному уравнению семейства кривых. Рассмотрим несколько примеров. а) Возьмем семейство концентрических окружностей х'+у' — с'=О.
При дифференцирований этого уравнения по х параметр с исялючзется и сразу получается дифференциальное уравнение семейства х+уу'=О в согласии с примером а» из и' 1. б) Рассмотрим семейство окружностей радиуса ! с цевтрами на оси абсцисс; уравнение этого семейства (х — с)'+у'= 1. в) Уравнение у=(х — с)' семейства парабол, касающйхся оси х, дает при дифференцировании уравнение у'=2(х — с).
Исключение параметра с приводйтк дифференциальному уравнению (у') э = 4у. Внимательное рассмотрение последних двух примеров показывает, что соответствукицему дифференциальному уравнению удовлетворяют не только кривые своего семейства, ио и другие линии; в примере б) это прямые у= — ' — 1 и у=1, в примере в) это ось збсцисс у=О, что легко проверить подстановкой в дифференциальное уравнение.
Впрочем, зти факты непосредственно вытекают без вычислений из геометрического смысла дифференциального уравнения. В самом деле, прямые у=1 и у= — 1 являются огибающими семейства окружностей примера б), а прямая у=О является огибающей семейства парабол примера в), а так как огибающая в каждой своей точке касается одйой ив кривых семейства, то она в втой точке должна Дифференцирование по х дает (х — с) +уу'=О. Исключив с из обоих уравнений, приходим к дифференциальяому уравнению семейстаю у' (у + 1) = 1 4бб гл.
ч!. свидания о диоеиэннцилльных гэлвннниях [2 иметь именно то направление, которое предписано нолем направлений. Поэтому всякая огибающая семейства интегральных кривых тоже должна удовлетворять дифференциальному урзвненню, Такие решения дифференциального уравнения, которые получаютса .путем построения огибающеп однопараметрнческого семейства интегральных кривых, называются особыми решениям[с . Замечательно, что особые решения днтфференцнальлого уразнеииа [э (х, у, у') =О можно получить н не зная еще его общего решении, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
