1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 91
Текст из файла (страница 91)
Простое рассуждение показывает, что телесный угол этого конуса йй = — а- п5, соэ 0 г где г АМ, а 0 есть угол между вектором МЛ и нормальным вектором поверхности Е в точке М. Эгот элементарный телесный угол будет положнтелы1ым или отрицательным, смотря по тому, каков угол  — острЫй или тупой. Истолковать поверхностный интеграл О=~~фйб 4ЗЯ дополнвния к главк ч геометрически как телесный угол и показать, что ~ (а — х) Иу да + (Ь вЂ” у) свл дх -[- (с — л) втх в(у [(а х)'+ (Ь вЂ” у)'+ (с — с)'[ Н где (а, Ь, с) н (х,у, л) — декартовы координаты точек А и М. 10. Доказать, сначала прямым вычислением, а затем с помощью интерпретации интеграла как телесного угла, что 11», Доказать, что телесный угол с вершиной (О, О, О),стягиваемый всей поверхностью однополостного гиперболоида х' у' л' .? — ! аа+Ь' са равен 1и.
Показать, что значение поверхностного интеграла Я= Г (а — х) ду да+ (Ь вЂ” у) а'с а'х -[- (с — с) дх с~у [(а х)а+(Ь у)а [ (с л)а[в!а Я (а, Ь, с) = Г (а — х) вту да + (Ь вЂ” у) дл Их + (с — л) ах в?у где )?а = (а — х)а + (Ь вЂ” у)'+ (с — л)*, как функцию точки А(а,Ь,с). Доказать, что координаты градиента этой функции Я (А) выражаются следующими криволинейными интегралами: дЯ ь (х — а) ал — (л — с) дх дЬ гсв в дй ?, (у — Ь) втх — (х — а) сву дс дв дЯ л, (л —.с) ду — (у — Ь) дл г не зависит от выбора поверхности Г при условии, что граничная кривая Г остается неизменной. Пользуясь этим результатом, доказать, что если ?„есть замкнутая поверхность, то Я = 4я нли О, смотря по тому, где находится точка А (а, Ь, с): внутрй объема, ограниченного поверхностью Е, илн вне его.
(Для этой цели произвести интегрирование по всей наружной стороне замкнутой поверхности Г..) 13». На поверхности взят кусок ее ?;, ограниченный красой Г. Рассмотрим поверхностный интеграл 4ЗЗ СМЕШАННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 7 Эти формулы, играющие важную роль в электромагнетизме, можно объеди- нить в одну векторную формулу пгаб Я =— Г ()Ра))а( )(а а где )8=АМ=(х — а, у — Ь, г — с) н )1= ~)8~. 14а. Проверить, что выражение — 4ху ах + 2 (х' — у' — 1) а)у (х'-)-у' — 1)'+ 4у' валяется полным дифференциалом угла, под которым иэ точки (х,у) вилен отрезок — 1~я~!, у=О. Пользуясь этим фактам, доказать с помощью геометрического рассуждения следующий результат: В плоскости ху дана ориентированная замкнутая крнван Г, не проходящая через точки ( — 1; 0), (1; 0). Пусть кривая Г пересекает отрезок — 1 < х < 1, у = 0 р раз, переходя из верхней полуплоскости у > 0 в нижнюю, где у»0, и и раз, переходя нз нижней палуплоскостн в верхнюю.
Тогда — 4ху а(х + 2(х* — у' — 1) Пу 9= (х+у — )+у 2я (р — л), Таким образом, если Г есть кривая г=2соа28, ОчС8~2 (в полярных координатах), то 6 = О, 15аа. Рассмотрим в плоскости ху единичную окружность С х' = саа у, у'= з)па, л'=0 (О» Е» 2ч). Обозначим через Я телесный угол с вершиной в точке Р(х, у, л), стягивае- мый круговым диском ха+уз»1, л=О, Пусть теперь точка Р описывает в пространстве ориентированную замкнутую кривую Г, ие встпечающую окружности С, причем кривая Г пересекает круговой диск х +уа»1, л=О р раз, переходя иэ верхнего полупространства а~О в нижнее, где л«сО, и и раз, переходя из нижнего полупространства в верхнее. Если переменная точка Р начинает свое движение с точки Р, кривой Г со зна- чением Я=Я„то, обойдя Г один раз (при этом движенйи телесный угол Я изменнется непрерывно), точка Р вернется в Р, со значением Я = Я,. Дока- зать с помощью геометрического рассуждения, что Я, — Яа — $ а Я = 4я (р — л).
г Перепишем найленное выше (упр. 13) векторное равенство так: (При этом положено лг РР', аач= аР', где г(Р' есть своеобразное обозначение: это адифференциал точки>, т. е. вектор-смещение точки Р'.1 доподнннии к глдвв ч Пользуясь последней формуаировкой, докаэатть что 1 »' — » к» Ф»' $ ~ ру„» У' — У ФУ ЛУ' с т' »' — » 4» и»' 1»' — «1 1»У Л»' — Л» Л~»1 + 1У вЂ” ЭЭ Ы» Л» — Л» Л» ~ -1- 1»' — »1 Ы» Л>» — Л~ Л»'1 (1» .»1» + (» — т)» + 1» — »)»)» = 4» (р — «1. (Этот повторный криволинейный интеграл, принадлежащий Гауссу, д»ет число зацеплений, которые кривая Г образует с окружностью С.
Следует заметить, что его обращение в нуль является необходимым условием отделимости кривых Г и С (реалйзуемых в виде двух нитей). Однако, пример, изображенный на рис. 95, показывает, что это условие является нелостаточным; на этом рисунке р = н = 1, однако кривую Г и окружность С невозможно отделить друг от друга.) 1бэ. В пространстве дана замкнутая с,/ кривая Г, на которой выбрано определенное направление обхода. Доказать, что сущестэует вектор и, обладающий следующим характеристическим свойством: каков бы ни был единичный вектор и', скалярное произведение ап' равно алгебраическому значению площади, ограниченной ортогональной проекцией кривой Г на плоскость П, перпендикулярную к вектору и'. (Заметые: Рис.
95. вектор п' определяет положительное на- правление вращения на плоскости П, а заданная ориентация кривой Г определяет направление обхода ес проекции нэ плоскость П.) В частности, проекция кривой Г на любую нзоскость, параллельную вектору а, имеет алгебраическую площадь пуль. (Вектор а можно назвать лектором нло»»(ади кривой Г.) ГЛАВА У! ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ Некоторые частные типы обыкновенных дифференцизльных урзвнепнй мы уже изучали в т. 1, гл. Х!, В рамках этой книги мы не имеем возможности развить общую теорию таких уравнений.
Мы дздим, однако, в этой главе хотя бы очерк основных сведений из этой дисциплины, отправляясь от некоторых примеров из механики. В 1. Дифференциальные уравнения движения точки в пространстве 1. Уравнения движения. И т. 1, гл. 'Ч, Я 4 и б и в гл. Х1 мы уже заннмзлись изучением движения материальной точки, но только движения специального типа: предполагалось, что опо происходит по заранее заданной кривой.
Теперь мы откажемся от этого ограничения и рассмотрим массу и, которую представляем себе сосредоточенной в точке Р(х, у, «), движущейся в пространстве. Радиус-вектор движущейся точки мы обозначим через г; координаты х, у, « точки Р являются вместе с тем координатами ее радиус-вектора, Движение материальной точки будет представлено математически, если удастся найти выражение радиус-вектора г пли координат х, у, « в аиде функций от времени 1.
Производную по времени 8 мы будем обозначать, как и раньше, точкой, поставленной над символом функции. Тогда вектор г=!Х,у, «) с модулем о=)/ха+уз+«Я представляет скорость, а вектор г=!х, Р, «) — ускорение точки Р. Мы не будем заниматься рассмотрением лрпнцилол механики по существу, и только примем за исходный пункт следующие определения и фзкты. Произведение вектора-ускорения на массу т мы будем называть вектором-силой или просто силой г'= !Л, 1; Л). Следовательно, тг=)ч. Это уравнение называется ньютоноаым оснолныла уравнением лглханики.
Оно равносильно трем координатным уравнениям: тх=Х, гну= У, т«=л. (!а) Уравнение (1) или система (1а) представляют собой покамест лишь определение термина сила. Оказывается, однако, что во многих случаях этот вектор-силу возможно определить без ссылки на подлежащее 436 гл. щ. сввдвния о див зазенцилльных иялвнзниях Примером такого силового поля является поле силы тяжести; оно заранее известно до постановки любой конкретной задачи на движение точки в этом поле.
Если направить ось л вертикально вверх, то сила тяжести Р=(0, О, — те) = — юейгай«, где есть постоянное ускорение силы тяжести. ругов пример дает поле тяготения, порождаемое массой Ьч сосредоточенной з начале координат и притягивающей по закову Ньютона. Если г=!г(=)' хэ+у'+л' есть расстояние притягиваемой точки (х,у, л) массы ю от начала, то л этом случае силовое поле задается выражением 1 г' г Р = 1йю ига д — = — 1ялп — = — тию— г г' гз (ср. стр. 112), и уравнение движения з этом поле будет г г = —.и— гю нли, в координатах, х Я= — 1л —,.
г''' У= 1П„ У Вообще, если Р=г(Р)=)Х(х,у, «), У(х,у, «), Е(х,у, «)) есть заданное силовое поле, то уравнение движения в этом поле будет тг=г". Координатная запись этого уравнения тУ=Х, ту= г', т«=«. (1а) образует систему трех линейных дифференциальных уравнений второго порядка для трех неизвестных функций х(1), у(1), «(1).
Основная задача ыехзники точки состоит в том, чтобы определить из этих дифференциальных уравнений действительное движение материальной точки, если в лначальный момент», скажем при 1= О, заданы положение движущейся точки, т. е. ее координаты х(0)= хэ, у (0)=уэ, «(0)=«ь н ее скорость, т. е. величины У(0)=хв, у(0)=Уэ, «(0)=«ь или, как говорят, если заданы начальное полажение и начальная скорость. Эта задача называется задачей реиения или интегрирования системы (1а) при заданных начальных условиях. Применение слова интезриролиние в смысле процесса решения диффереяциальиых уравнений объясняется тем, что этот процесс является з известном смысле обобщением обычного йнтегрирозэяий функций (ср.
т. 1, стр. 597). изучению конкретное движение, так как в пространстве, на основании физических соображений, заранее задано некоторое силовое поле. Тогда основные уравнения механики можно уже рассматривать не как определения, а как дифференциальные уравнения, которым должны удовлетворять радиус-вектор и координаты материальной точки при всяком ее движении под воздействием заданного силового поля. э1 з ь див ввознцнлльныв и*явнвння движзния точки 437 2. Закон сохранения энергии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
