1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Следовательно, общая масса жидкости, протекающая в единицу времени через замкнутую поверхность 8 изнутри наружу, выражается интегралом Д о„г(8, взятым по поверхности 8. Стало быть, в фор- Ю муле Гаусса написанной для этого поля, стоящий справа интеграл дает количество жидкости, вытекающей из области 0 в единицу времени. Этот интеграл преобразовывается в тройной интеграл от дивергенции скорости по объему области О, Отсюда нетрудно выяснить физический смысл б(чяь Тан как, согласно условию, жидкость несжимаема„з ее движение стационарно, то теряемая областью О жидкость должна непрерывно возмещаться, а это значит, что внутри облзсти должны существовать «источники», производящие положительное или отрицательное количество жидкости.
Поверхностный интеграл в правой чзсти дает поэтому общую производительность (мопцэость, дебат) источников области О. Отношение этого поверхностного интеграла к объему области выражает среднюю производительность области О, а предел этого отношения при условии, что область 0 стягивается к своей точке Р, т. е. производная поверхностного интеграла по области, дает удельную производительность источникз в точке Р. Но эта производная ранив производной по области от объемного 414 гл. ч.
кяиволинейныз интвгаллы! интвгзллы по повзихности !а Это значит, что в векторном поле, лишенном источников, поток вектора через две поверхности, имеюшие обшую граничную кривую, имеет одинзковое значение или (в гидравлической картине) через две поверхности с обшей граничной кривой протекает в единицу времени одинаковое количество жидкости. Стало быть, количество протекающей жидкости не зависит от выбора поверхности, «натянутой» на граничную замкнутую кривую С оно может поэтому зависеть только от выбора контура С. Естественно возникает задача: как выразить этот поток вектора поля, или количество протекающей жидкости, через дзнные, определяющие контур С? Ответ на этот вопрос будет дан в следующем параграфе теоремой Стокса. 3.
Теоремы Грина. Как и в случае двух независимых переменных (ф 2, и' 4), из теоремы Гаусса в пространстве можно вывести две формулы, которые принято называть формулами или теоремзми Грина. Для их вывода применим теорему ! аусса (в ее векторной записи) к векторному полю Р=иягаг)о=(ие,„ие, ие,). Тогда в облзсти О 41чР= — (ие,)+ — !ио )+ — (ие,), 4 4 а а на ее граничной поверхности 8 Р =Ри=имягайе=иР м ПользУЯсь знакомым символом лапласиаиа )?Яв=е, +от, +е„ сразу получаем из теоремы Гаусса первую формулу Грина я(и„е„+ите + и»е) гухг!уг!г+ «))) иряег!хууг!г= Д гг))„еЮ. о а 3 Проделав те же вычисления для векторного поля Р= ватажки, получим пзраллельную формулу Я 1и„е„+иге»+и,е,) ихггУНз+))) ет?'и«!хг!Уг!л= Д е!?„иЮ о а Я Вычитая из первой формулы вторую, приходим ко второй формуле )трина: ')))!игуо — еу'и) гух оуЫл = Д (иу)„о — о0 и) гтя. о Ю 4.
Приложения теорем Гаусса н Грина в пространстве. а) Преобразование лапласиана к сферическим координатам. Если подставить во вторую формулу Грина и=1, то получится Ц~ «" ~ьь-Ь) они. а а. ннтвгихльныв твоявмы глксса и гимна в пэостианствв 415 С помощью этой формулы можно выполнить преобразование лапла. сизна ~уао к сферическим координатам (г, э, О) тем же способом, которым в э 2, п' 6 двумерный лапласиан был преобразован к полярным координатам.
Лля этого надо выбрать в качестве области 0 ячейку сетки сферических координат, ограниченную координатными поверхностями г и г+й, р и у+А, О и О+1. В результате получится Ч~п, ( (гап а1п О) + — ( —,т ) + (па э1п О)~, =г аюаг(Ог о,~а1п В аа Выполнение вычислений (аналогичное $2, и' 6) предоставляем читателю.
б) Силы объемные и силы поверхностные. Силы, действующие в сплошной среде, можно трактовать двояко: либо как силы, распределенные по объему, либо как силы, действующие на поверхность. Связь между этими двумя точками зрения устанавливается интегральной теоремой Гаусса. Мы рассмотрим только частный случай сил, действующих в жидкости постоянной плотности р= 1, если в ней существует скзлярное поле давления р(х, у, г). Это значит, что на всякую малую площадку, проходящую через точку (х, у, г), жидкость действует с силой, перпендикулярной к этой площадке и равной р(х, у, а) в расчете на единицу плошади. Рассмотрим некоторую область О, лежащую в жидкости и ограниченную поверхностью 8.
На элемент Ю этой поверхности 8, для которого а есть единичный вектор внешней нормзли, жидкость давит с силой НР= — рмг(Ю. Проекции этой свлы на оси координат получим, умножая ее скалярно на орты осей е„ е„ еа: г(К = — реем ИЯ, йря —— — реям Ы8, Йрв — — — рвам«Я а проекции результирующей силы Р рзвны соответственно Р~= — Яре,пг(Я, Р,= — Яре,пЫЮ, гча= — Д ре,мИЯ. Я а Ю Применим теорему Гаусса к каждому иэ этих поверхностных интегралов в отдельности.
Так как 61ч(ри~) =р„, п(ч(рея) =рж п1ч(рад =р„ то в итоге получим Р,= — ГЯ)р,г(хууг(а, Ря= — Яр,,г(хдуйа, Р„= — Яр,г(хг(уйа, о о о а следовательно результирующая сила, действующая на область О, кзк целое, есть г"'= — '))) игам р Их эи г(а. о 4!В гл.и.кяиволннвйныв интигадлы.
ннтвгвалы по повияхноети Полученный результат можно выразить следующим образом. Силы, действующие в жидкости из-за наличия скалярного поля давления р(х, у, я), можно рассматривать двояко: 1) как поверхностные силы, которые производят давление на всякую плацадку, ггроходжцую через точку (х, у, х) перпендикулярно к ней с поверхностной плотностью р(х, у, я), и 2) как объемные силы, действующие на каждый элемент объема с объемной плотностью — игабр. Упражнение 1Я. Преобразование хе=ха(р„рв, р,) 0 1, 2, 3) определяет криволинейную систему координат р„ рв,дввв. Известно, что зта система вортогонааьна», т. с. если положить аг» =и†, то выпали»ются хг ар»' следующие соотношения: аыав, + авва»в+ а»вава О, апам + авва»в + аыавв = О а„а„+ а„ав, + а„а,в О. а) Доказатгч что д (х„х„х,) где ег — — а'г+а'г+а'г (! 1, 2, 3).
6) Доказать, что дрг ! дх» ! — = — — = — а»г. дх» е! др! ег з) Выразить лапласиан И'и=и„„+ и„,,+ и,„, через Рв Рм Рв (с помощью теоремы Гаусса). г) Выразить и'и через фокальные координаты (го гь г,), определенные з упр.'6, гл. Ш, конец 6 3, стр. !76. аа 6. Теорема Стокса в пространстве 1. Формулировка и доказательство теоремы. Мы уже познзкомились в 5 2, и' 3 с теоремой Стокса для плоскости ху. Н этом параграфе мы рассмотрим теорему Стокса для любой кривой поверхности.
Пусть С вЂ” замкнутая кусочно гладкая ориентированная кривая в пространстве, а 8 — какой-либо кусок поверхности, ограниченный кривой С. Мы будем предполагать, что единичный нормальный вектор и изменяется нз Я непрерывно или кусочно непрерывно и в сочетании с ориентацией граничной кривой С образует правый винт. Далее, пусть в окрестности поверхности 8 задано векторное поле В(Р)=(Вв(х, у, л), В,(х, у, г), Вв(х, у, е)).
417 я э. теояемл стоксл в пэоствлнствв Теорема Стокса утверждает, что ')) и го1 ВЮ=~ тВ э(Я или )) (го1 В)„аЮ=~ Вэгэа, где длина дуги г кривой С возрастает в направлении ее ориентации, т есть единичный касательный вектор этой кривой, а В1 есть проекция вектора В на положительное направление кзсательиой. В координатной записи формула Стокса имеет следующий вид: ~ ~ ~~ддэ ддэ) й 1 + ~дВ, дВ1),~ й + (ддэ дВ,) й = $(Вэ Ых+ В, Ыу+ В, э(з).
(1) с Эта формула дает преобразование стоящего слева интеграла по ориентированной поверхности 8 в криволинейный интеграл по граничной кривой С этой поверхности, причем ориентация границы С согласована с ориентацией 8 по правилу правого винта. Содержание теоремы Стокса можно сделать сразу понятным с помощью следующего рассуждения. Начнем с того, что для любой плоскости теорема уже доказана.
Предположнй теперь, что 8 есть многогранная поверхность, составленная из плоских граней-многоугольников, так что и граница С есть многоугольник. Теорему Стокса можно применить к каждой из граней и все полученные формулы сложить. Тогда все криволинейные интегралы, взятые вдоль внутренних ребер многогранной поверхности 8, взаимно уничтожатся и мы получим формулу Стокса для многогранной поверхности. Для того чтобы доказать теорему для общего случая, остзется только совершить предельный переход от многогранной к любой поверхности Ю и от многоугольной границы к произвольному кусочно гладкому контуру С.
Однако строгое выполнение этого предельного перехода сложно и трудоемко. Поэтому мы ограничимся этим эвристическим замечанием и проведем доказательство с помощью прямого вычисления. Для краткости введем обозначение го1В= А =(Аь Аэ Аэ), так что дВ, дВ, дВэ дВэ А ( , ) э э А ( ) э э ду дя ' дэ дк ' Аэ(х у а)= — — —. дВ, дВ, дх ду' Согласно гл, 11, 5 7, и'7, б1чА=д1чго1В=О, 14 Р, Кгээээ 41В Гл. У. кРиВОлинейный интеГРАлы, интеГРАлы по позаРхности й т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
