1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Если аначен[[е криволинейного интеграла положительно, то в обшей сложности жидкость вытекает яз области О, если же оно отрицательно, то имеет место приток жидкости в область О. Так как процесс — стзционарный, т. е. Ие зависит от времени, то общее количество жидкости в области 0 не может ни уаелнчиазться, ни уменьшаться; стало быть, в самой области О жидкость должна либо создаваться, либо уничтожаться. В таком случае говорят, что в области 0 существуют игл[пан[гни или стоки (отрицательные источникид и стационарность потока выражается в том, что наличные источники и стоки регулируют вытекание и приток жидкости так, что плотность ее в каждой точке области 0 остается неизменной.
Общее количество жидкости, вытекающее из области О и единицу времени, характеризует результирующую обильность али едебйть всех источников и стоков области 0; ато количество мы будем называть суммарной лроизаодятельноетью источнплоз области О. Она положительна, если преобладают источники, и отрицательна, если превалируют стоки. Отношение суммарной произаодительностй ц а а истолкования ннтвгвлльных твозвм для плоскости 395 источников к площади области можно назвать средней производительностью источников области О, а предел этого отношения, когда область 0 стягивается к ее точке Р, есть удельная производительность в точке Р.
Стало быть, удельная производительность источников есть производная по области от суммарной производительности. Из теоремы Гаусса вытекает, что дивергенция поля скоростей равна удельной производительности источников. Таким образом, теорема Гаусса дает возможность приписать наглядный смысл понятию дивергенции, которое было первоначально введено чисто формальным определением. Этот же гидромеханический смысл дивергенции можно получить с помощью следующего грубого рассуждения. Данный поток разложим на два потока, один из которых течет параллельно оси х со скоростью о,=о,(х, у), а другой — параллельно оси у со скоростью о, = о, (х, у), и рассмотрим прямоугольник с вершинами Р,(Е, Ч), Р«(Е+ И, ц), Рь (Е в+ И), Ра (Е+ И, в+ И). Если считать, что скорость о имеет на стороне Р,Р, постоянное значение о,(Е, ч), а на стороне Р,Р, постоянное значение о, (Е+ И, «), то результирующее количество жидкости, вытекающее из прямоугольника з положительном направлении оси х в единицу времени, выразится рззностью Ио, (Е + И, ч) — Ио, (Е, ч).
Отношение этого выражения к площади ИИ прямоугольника о, (Е + И, «)) — о, (Е, ч) лает приближенно дая потока, параллельного оси х, среднее превышение оттока жидкости над ее Притоком в расчете на единицу площади. Аналогично получим дая второго составляющего потока, параллельного оси у, среднее превышение оттока жидкости над ее притоком ое(Е я+И) с'а(Е Ч) И Таким образои, для результирующего потока средний избыток оттока жидкости над ее притоком (на единицу площади) приближенно равен о, (Е+ И, ч) — о, (Е, «)) оз (Е, «, + И) — о, (Е, «;) И + И а предел втой суммы при И 0 и И вЂ” О равен как раз известному нам до, дв, выражению + — = гй«е.
Вместе с тем зто рассуждение придает днвврох ду геиции тот же смысл, ко~орый выяснился ранее. Особый интерес представляет потоп, лишенный источников в рассматриваемой области О, т. е. в области О жидкость не создается и не уничтожается. Такой поток характеризуется условием б(ч вы О в областв О. Зйб Гл. ч. кРизолинейные интеглалы. интеГРАлы по пОВВРхности й Согласно теореме Гаусса, это условие вквивалентно утверждению что онйл О вдоль любой замкнутой кривой, лежашей целиком в области О.
2. Интерпретация теоремы Стокса в поле скоростей н в си- ловом поле. Теорему Стокса тоже можно пояснить с помошью плоского потока несжимаемой жидкости, характеризуемого полем скоростей о(Р)=»о~(х, у), оч(х, у)». Интеграл обе= оййл вдоль замкнутой кривой С мы будем называть циркуляцией вектора о вдоль этой кривой.
По теореме Стокса о йг = ~ ~ (го() о й8, а а ив этого равенства вытекает, что скалярная ротация, (гог)о, есть удельная циркуляция или плотность циркуляции в поле о(Р); ее называют также плотностью вихрей. В этих терминах теорема Стокса утверждает, что циркуляция вектора-скорости вдоль замкнутой кривой С равна двойному интегралу плотности вихрей по области О, ограниченной кривой С. И здесь особый интерес представляют такие векторные поля, В которых циркуляция вдоль любой замкнутой кривой равна нулю, так что по теореме Стокса плотность циркул1шии равна нулю всюду в области О.
Такие векторные поля или потоки называются безеих- ревыми или линеннылггг вихрей; они характеризуются соотношением (го$) о = О. Если стационарное плоское векторное поле лишено как источни- ков, так и вихрей, то оно удовлетворяет системе двух уравнений Йчо: — — + — =О (гог)ож — — — =О. доз 'дев доя дв, дх ду дх ду Заметим, кстати, что вта система уравнений особенно интересна, потому что оиа играет роль и в других математических науках, главным образом в теории функций комплексной переменной (ср.
гл.ЛН, стр. 554). Тем саиыы эта система уравнений устанавливает связь этих млтел»атичесяих дисциплин с гидромехлникой. Теорема Стокса допускает еше и другую механическую интерпре- тацию. Рассмотрим вместо поля скоростей силовое поле Г(Р)= = (Р1(х, у), Ря(х, у)». Тогда криволинейный интеграл Г Рйг= Г)(р, йх+Р,йу), с с распространенный на любую линию (замкнутую или незамкнутую) дает работу, производимую силовым полем, когда материальная точка в1 э а. истолкования интзгяальных твовим для плоскости 397 о писывает линию С.
Если кривая С вЂ” эамкнутав и представляет собой границу области О, то теорема Стокса сс =Ц< сесе утверждает, что работа, совершаемая полем при однократном обходе материальной точкой кривой С, равна двойному интегралу скалярной ротации силы ес по области О. Если работа силового поля всегда равна нулю, когда материальная точка описывает любую замкнутую кривую, то во всем поле (гоб Р= О или 3 — ' — с —— О. дг" дг", Обратно, если это условие выполнено во всем поле, то из теоремы Стокса вытекает, что интеграл Гбт = (еи» с(х+ Ре йу) = О вдоль любой лежащей в поле замкнутой кривой (ср.
$2, петит в конце п~ 3). Отсюда видно, в согласии с $1, что совершенная нолем работа не зависит от иути е том и толвно е том случие, если (гог) Р=О во асей области О. 3. Преобразование двойного интеграла. В качестве приложения теоремы Гаусса дадим адесь еще один вывод формулы преобразования двойного интеграла (гл.
1Ч, й 4, п' 1 и петит на стр. 392), Пусть замкнутая область 0 плоскости ху с граничной кривой С отображена взаимно однозначно на область 0' плоскости ио, ограниченную контуром С', с помощью преобразования х=х(и, о),у=у(и, о),— притом с сохранением направления обхода. Предположим еще, что обе области удовлетворяют условиям приложимости теоремы Гаусса; Для того чтобы преобразовать двойной интеграл ! = ) '),г (х, у) Фх с(у а в интеграл по области 0', преобразуем его сначала в криволинейный интеграл по граничной кривой С. Этот интеграл, приаодящийся к обыкновенному определенному интегралу, преобразуется сразу в криволинейный интеграл по контуру С' области О', а этот последний интеграл преобразуется по теореме Гаусса опять в двойной интеграл по области О'.
В итоге должна получиться формула преобразования двойного интеграла 1 по области 0 в интеграл по области 0'. Для того чтобы осуществить этот план, введем в качестве вспомогательной функции какую-нибудь первообразную А(х, у) для функции у(х, у) по переменной х, так что А„=Х(х, у). 398 гл. т. кяиволинвйныв интвгяалы. интвгяллы по повеяхности н Тогда, по теореме Гаусса, (=)) ((ц у(ц (у=~~А ( ау тА( у(цу. а с Подставим теперь в интеграл, стоящий справа, вместо х и у их выражения х(и, и) и у(и, о) через и и тт тогда интеграл вдоль границы С области О перейдет в интеграл вдоль границы С области 0' и, стало быть, 1= А(х, У)(уц а(ц+Уц((е).
Полученный интеграл по контуру С мы вновь преобразуем по теореме Гаусса (на этот рав в обратном направлении) в двойной интеграл по области (г( (Ау„((и+ Ау, в(о) = ~ ~ ((Ау,)ц — (Ауц),) ((и а(и. В силу равенств (Ауц)ц — — Ацуц+ Ауцц, (Ауц)ц — — А,уц+ Ауцц, а также Ац=Ацхц+А,у Ац=у(х у) Ац = Ацхц + Аууц подынтегральное выражение приводится к следующему виду: (Ауъ)ц (А уц)ц (хцуц хцуц1 г'(х (и е) у (и( е)).
Итак, получаем окончательно искомую формулу: 1= с))г г(х, у)((х((у=г)г),г'(х(и, а), у(и, е)) (хцу, — х,у,) Ыи((о. о а й 4. Интеграл по поверхности Теория интегрирования функций от трех аргументов включает в себя, кроме тройных интегралов (интегралов по трехмерной области) и криволинейных интегралов (интегралов по одномерной области), еще один, третий, тип интегралов — интегралы по поверхности. Прежде чем определить вто понятие, мы для большей ясности предпошлем некоторые общие соображения, которые вместе с тем помогут уточнить изложенные ранее идеи, в особенности те, что относятся к двойным интегралам.
1. Интегрирование по ориентированной области. Начнем с обыкд новенного определенного интеграла ) Дх) бх от функции одного а аргумента. Областью интегрирования является промежуток от х=а % В ИНТЕГРАЛ ПО ПОВЕРХНОСТИ 399 до х=Ь. На основании определения интеграла было установлено соотношение я ь ~,г (х) Ых = — ~ у (х) Ых, ь а которое можно выразить словесно так: области интегрирования С, т. е. рассматриваемому промежутку приписывается определенное направление или, как принято говорить, определенная ориентация. Если изменить ориентацию промежутка интегрирования на обратную, то значение интеграла умножается на — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
