1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Стало быть, теорема докиана для случая прямоугольной области. Для того чтобы обобщить полученный результат на любую одно- связную область О, требуется лишь продолжить построение функции У на такую более общую область. Заветны, что двумерная область называется односвязной, если всякая замкнутая ломаная, полностью лежащая внутри области, может быть стянута в одну точку путем непрерывной деформации, не выводяа1ей за пределы области. Эту наглядную картину стягивания з точку можно уточнить следующим образом.
Пусть вершины замкнутой ломаной П находятся в точках Ре(хм Уа)> Ра(хь у1), °, Р,Дх„,у„). Представим себе, что эти вершины движутся непрерывно со вреяенем, выходя из точек ЄЄ Рв..., Р„в момент с=0 и что зсе оня сходятся в одной и той же точке (Е, я) области () в момент времени с =-1. Другими словами, мы допускаем существование переменных точек Ра(1), Ра((),..., Р„Я, координаты которых (х,(1), у,(1)), (х1(с), у1(1)), ..., (х„(1),у„(С)) являются непрерывными функцяяии от 1 при 0==1(1 и к тому же Р,(0)=(х,(0),у,(0))=Р„..., Р„(0)=(х„(0),у„(0))=Р„ Р (1)=( (1),у (1))=(Е 1).", р.(1З=( .(1) у.(1))=(Е, чЛ Конечно, всякая замкнутая ломаная может быть стянута в точку, если никак не ограничивать пути движения ее вершин, но существенной чертой нашего определения односвязной области является требование, чтобы всякая замкнутая ломаная П (Х) этой области могла быть стянута в точку, да еще ири условны, чтобы многоуголаким П(г) с вершила,ии Р,Я, Р1Я, ..., Р„(с) оставался з области 0 В ! .
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 381 в продолжение всего процесса стягивания, «г. е. лри всех значе- ниях 1 из инглервала 0 =1(1. Наглядно ясно, что это определение находится в согласии с опре- делением односвязной области, данным в гл. П, э 1, п' 1. Действи- тельно, если область 0 многосвязна в смысле прежнего определения, то в ней есть «дырка» и многоугольник, содержащий эту «дырку», не может превратиться в точку, не пересекая этой «дырки», т.
е. не оставляя области О. Обратно, если область 0 не имеет «дырок», г. е. ие имеет внутренних границ, то всякий многоугольник, лежащий в этой области, может быть стянут в точку. Мы не станем приводить аналитического доказательства эквивалентности обоих определений, ибо оно потребовало бы обширного отступления, а для нашей цели достаточно нынешнего определения.
Итак, для того чтобы обобщить критерий интегрируемости на любую односввзную область О, надо построить в этой области, ана- логично прежнему, такую функцию 0(х, у), для которой У„=Р«(х, у) и У»-— — Гя(х у). Исходя из произвольной, ио фиксированной точки Р, области О, мы определим функцию У(х, у) как криволинейный интеграл (У(х, у)= ~ (Р,с(х+Р,су), Рг причем путем интегрирования служит любая ломаная области О, соединяющая постоянную точку Р, с переменной точкой Р(х, у). Если удастся показать, что определенное таким образом значение У(х,у) не зависит от выбора ломаной, соединяющей точку Р, с Р, то наше определение действительно дает построение функции У(х,у), удовлетворяющей условиям О,=Р1 и У„=ря.
Стало быть, надо лишь доказать, что наш интеграл не зависит от пути или, вместо этого, что интеграл ~(Г,Ых+-Р«с(у) вдоль любой замкнутой ломзной П, лежащей в области О, обращается в нуль. С этой целью стянем многоугольник П в какую-либо точку области О. Это значат, что мы строим в 0 замкнутую ломаную П(1) с вершинами Я«(Е), 01(С),..., Я„(1), которая при 1=0 совпадает с П, а при 1= 1 обращается в точку. Когда путь интегрирования обращается в точку (кривую длины нуль), то криволинейный интеграл, очевидно, равен нулю. Поэтому достаточно показать, что криволинейнып интеграл вдоль П(1) остается постоянным, когда Г изменяется от 0 до 1, и тогда станет ясно, что интеграл вдоль замкнутой ломаной П(г) равен нулю при любом значении 1 (0~1(1), и в частности при 1=0, т.
е. интеграл вдоль замкнутой ломаной П равен нулю. Рассмотрим теперь любое значение «параметра Й Так как замкнутая ломаная П(т) лежит в О, то можно на ней выбрать последовательность точек (не обязательно вершин) В«, Вь В«, ..., В = В«, 382 гл. ч. кьнволннвйныи ннтзгаалы. интегвалы по позигтности р настолько близких одна к другои, что каждый кусок ВгВ~„~ ломанои лежит внутри некоторого прямоугольника Йь содержащегося в О. Если г есть любое другое значение параметра, достаточно близкое к т, то замкнутая ломаная ПЩ настолько близка к П(ч), что на П(ь) можно выбрать точки Аэ Аь ..., А =А„для которых отрезки В~А~ и В~ 1Аг ь а также весь кусок А,Аы, ломаной лежат внутри прямоугольника Йь Тогда иа доказанного критерия интегрируемости для прямоугольной области вытекает, что криволинейный интеграл вдоль замкнутой ломаной А,Аг,,В~,ьВ~А~ равен нулю.
Обозначим эту замкнутую ломаную через Сб тогда (см. конец п' 3) ы-1 ф (Райх+Рабу) — $ (Райх+Рябу)= ~', ф (Рьбх + Ря бу) = О. ищ и (о с-ос, Поэтому для всех значений ь, достаточно близких к ч, интеграл вдоль П(г) равен интегралу вдоль П(т). Но интеграл вдоль П(г) можно рассматривать как функцию р(т) параметра 1 стало быть, эта функция ср(г)=сопз1, т. е. интеграл вдоль П(1) имеет одинаковое значение при всех значениях й Тем самым критерий интегряруемости доказан для любой односвязной области О. Отметим в заключение, что в пространствах трех и большего числа измерений действует аналогичный критерий, который и доказывается аналогичным методом. Мы удовольствуемся тем, что сформулируем соответствующую теорему для трехмерной области.
Если в трехмерной области О, внутри которой любая замкнутая ломаная может быть стянута путем непрерывной деформации в точку, задано поле непрерывной векторной функции Р=%(х,у, ), Ря(х,у, «), Рь(х,у, «)1, имеющей непрерывные ~летные производные дрь дР1 дрь дрь дрь дрь ду ' дг ' Ж' Ж' дх' ду' то необходимым и достаточным условием независимости криво- линейного интеграла (~Р бе = (Рь йх+ Ря бу+ Раб«) с от пути С, лежащего полностью в области О, является виполнение соотношений дрь дрь дрь дрь дрь ~Р~ дх дя или (в векторной записи) критерия го( Р= О.
383 э!. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИнтВГЗАЛЫ Рг (хг у) =— у х +у ' х Рв (х, у) =— х'+у' опрелелены и непрерывны всюду, кроме начала координат. Ик частные производные дг'г ! 2у' дР'в ! 2х' ду х'+у'+(х'+у')" дх х'+ув (х'+у")" тоже непрерывны всюду, кроме начала координат, и во всех этих точках удовлетворяют условию дР; дув у' — х' ду дх (хв + у')' Возьмем теперь интеграл (Рг дх+ Рв ду) вдоль положительно ориентированной окружности С: х =сват, у= ми Г с центром в начале координат. Имеем эв эв гв~гв. гг=~ г — г —,в г-,'- г гв = ~ =г,, э таким образом, кнтеграл вдоль замкнутой кривой С отличен от нуля н, стало быть, нэш криволинейный интеграл зависит от пути.
Это объясвяется тем, что окружность С невозможно включить в такую одноввяэмую область, з которой зыяолнялнсь бы все условна теоремы; дая того чтобы этя )сэовня быап выполнены, придется уже взять коэьцевидную область, содержащую окружность С, но не содержащую точки (О, О). Заметим кстати, что интеграл г)г(Ргдх+ гвду) имеет вдоль любой замкнутой кривой, окружающей начало координат, одно и то же значение, Если это условие выполнено, то криволинейный интеграл представляет собой при фиксированной начальной точке Р, пути С функцию ЩР~= У(х, у, л) его конечной точки Р, точнее, и ~(Р дх+Р г(у+Рэ ! )=У(х,у.
) — У(х„ув, зв) Рв или (в векторной записи) ~ )чй'= У(Р) — (У(Рэ) ггв При этом вектор поля Р=ягаб У. 8. Важность условии односиизностн, Для рсего исследования, проведенного в п 7, существенно, чтобы рассматриваемая область была односвяэной. Если область 0 не односвязнз, то не может быть уверенности в том, что функцию У возможно определить во всей области О однозначно путем интегрирования по ломаным путям. И действительно, мы покажем сейчас на примере, что в многосвязной области наш критерий интегрнруемостн не обеспечивает независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования, Функции 384 гл.
т. кгиволннвйныв ннтвггллы. интеггалы по поввгхности р э именно йж Это можно вывести из общей теоремы о разбиении (и 3, свойство 4, Рис. 83) следующим образом. Разбиваем кольцевую область между двумя такими крнвйми С и С' с помощью поперечяых линий Д;В~ на некоторое чисао одиосвяэных областей Сз и учитываем тот факт„что вдоль контура каждой иэ этих областей криволинейный интеграл равен нулю. Упражнения 1.
Вычислить интеграл ~ (с" а1п у ах+ е" сову Еу), где путь интегрирования с есть кривая, идущая от точки (О, О) до точки (1, ч). йч. Вычислить интеграа с" ех 1х'+У' , ( х соту + у э1п у) ау +,, (х мп у — усову) дх ), к'+у' где путь С есть замкнутая кривая, окружающая начало координат и не пересекающая сама себя. й й. Связь между криволинейным и двойным интегралом на плоскости — интегральные теоремы для плоских векторных полей 1.
Интегральная теорема Гаусса (теорема Остроградского для плоскости ')). )(ля функций одной независимой переменной мы в свое время вывели формулу Ньютона — Лейбница хз ~ у' (х) йх =1(хг) 1(ха) хэ устанавливающую связь между дифференцированием и интегрированием. Аналогичную формулу можно вывести и для функций от двух переменных — интегральную теорему Гаусса.
В этой формуле дифференцирование тоже погашается интегрированием в том смысле, что двойные интегралы вида '))г йхйу или Цйуйхйу о о преобразовываются в (одномерные) криволинейные интегралы вдоль граничной кривой С области О. При этом мы рассматриваем границу С области О как ориентированную кривую и направление обхода отмечаем анаком плюс или минус. Теорема Гаусса формулируется следующим образом: Если функции У(х, у) и й(х,у) непрерывны и имеют непрерывные часгнные производные в замкнутой области О, ограниченной кусочно гладкой кривой С, то ~Д (у„(х, у) + й (х, у)) йх йу = ф (у(х, у) йу — й(х, у) йх), (1) а +с ') См, сяоску яа стр.
408 (8 5, и' 1). (Прим, перев.) )) а Ф. связь мюкдг квнволннзйным и двойным ннтвгвалом 88ев )ришем интеграл в правой части есть криволинейный интеграл вдоль )раницы обласлш О, описываемой в положительном направлении, гм.е. тая, что внутренние точки области 0 остаются гаева. Для доказательства рассмотрим сначала тот случай, когда любая прямая, параллельная осн х нлн осн у, пересекает контур С не более чем н двух точках; к тому же предположим, что 8(х,у)=0 в О. Тогда г)г)г (х,у)бхду можно запн- У Ч~ свть как повторный интеграл ")Е,Ых, у) ахну=с)Я1„(х, у) бх, а еде внутренний интеграл (по х) бе- з,)у) рется вдоль тех отрезков прямых у=сопя(, которые лежат в областн О, а внешний интеграл берется г Ев па тому промежутку значеннй у, которому соответствуют точки облвстн 0 (рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
