1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Это свойство интеграла можно ззписать и в следующем виде: ~ Дх) г(х = — ~ У(х) бх, -с +с где область интегрирования обозначена символом +С, если она пробегается по направлению от а к Ь, и символом — С, если она про. бегается по направлению от Ь к а. В теории криволинейных интегралов (на плоскости и в пространстве) мы тоже сочли необходимым приписать дуге кривой С, вдоль которой производится интегрирование, определенное направление обхода или ориентацию таким образом, что при изменении ориентации на противоположную значение интеграла умножается на — 1.
Ясно, что для интегралов по многомерным областям целесообразно ввести аналогичные соглашения об ориента- -ь' ции и знаке и дополнить ими данные выше определения кратных интегралов, а) 1(войной интеграл по ориентированной области на плоскости ху. В 'т. 1, гл. Ч, $2, п'1 мы ввели понятие ориентации плоской области О, связав эту ориентацию с направлением обхода границы С области, и условились приписывать площади области определенный знак — положительный или отрицательный, смотря по тому, положительно или отрицательно направление обхода ее границы С. Плоская область, границе которой присвоено определенное направление обхода, называется ориентированной областью (рис.
89); мы будем ее называть положительно ориентированной, если граничной кривой присвоено лоложительное налраеленае обхода, и отрицательно ариенлгированной з противном случае. В свое время мы выразили площадь области 0 двойным интегралом )) Ыхг(у. О В соответствии со скззанным выше, мы теперь припишем области определенную ориентацию, и если ее контуру С присвоено положительное нзправление обхода, то мы область будем обозначать через ч(10 гл. ч. квиволинзйныя интзгяллы.
инткгиллы по повввхности и +О, а ее граничную кривую — через +С; если же контуру присвоено отрицательное направление обхода, то область будем обозначать через — О, а ее граничную кривую через — С. Обозначая'абсолютную величину площади области через 1Р1 мы теперь введем дополнительное определение: Ц йхйУ=~Р(, ')') ИхЫУ= — 1Е!. +о -о С другой стороны, площадь области О выражается также кривояивей- иым интегралом: 1 à — =: "(* -~.).
с Полезно убедиться на конкретных примерах, что зти три выражения дают всегда положительный результат. Проверим, например, что — у дх по контуру +С квадрата О~х~!, 0(учц! есть поаожительное число. Действительно, на обеих вертикальных сторонах их=о; интеграл вдоль стороны у*=о тоже обращается з нуль; остается интеграл вдоль четвертой стороны, но на ией у= 1, а дх(0. В дальнейшем, если не сделано специальной оговорки, мы под областью 0 будем всегда подразумевать лололсительно ориелтированиую область. В соответствии с этим мы вводим для всякого двойного интеграла следующее определение: ЦУ(х, у)ИхЫу= )) У(х, у)с(хну= — )) у(х, у)дхбу. о +о -о Это определение в точности соответствует тем положениям, которые были ранее установлены для обыкиовениых иитегралов и для криволинейных интегралов, Оио представляет собой не доказанный факт, а только соглашение, оправдываемое соображениями целесообразности.
б) Преобразование двойного интеграла по ориент и ров а им ой области. Поясним геометрически пользу этого соглашения, При взаимно однозначном отображении области О плоскости ху иа область 0' плоскости ио мы видели, что площадь области 0 выражается в новых координатах интегралом ~ ~ д(х, у) о о при условии, что якобиаи †' положителен во всех точках облад(х, у) д(и, о) сти (У. А как же обстоит дело, если якобиан отрицателен во всей области О'Р Мы знаем, что при положительиом «кобиаие ориентация (т. е.
направление обхода границы у областей 0 и (У) одинакова, между тем как при отрицательном якобиане обе эти области имеют В К ИНТЕГРАЛ ПО ПОВЕРХНОСТИ противоположные ориентации, Поэтому в случае отрицательного якобиана формула (ь) неверна, если рассматривать двойной интеграл без учета ориентации области интегрирования. Однако эта формула сохраняет силу и е случае отрицательного якоблана, если под 0 разуметь область ориентярозанную (положительно или отрицательной а под 0' ту ориентированную область, в которую переходит 0 в результате данного преобразования. )(ело в том, что при отрицательном якобиане ориентация области изменяется и, в силу нашего соглашения о знаке двойного интеграла по ориентированной области, это обстоятельство погашает знак якобиана.
Ясно, что и общая формула преобразования ~ ~ Йх У)й."'"'У= ~ ~ У(х У)д-(и' — йийт' о о верна независимо от того, является ли якобиан — ' всюду полод(х, у) д(и, о) жительным или всюду отрацательныи в области интегрирования, если интегралы берутся по ориентированным областям и если наше преобразование переводит ориентированную область 0 в ориентированную область 0'.
Стало быть, справедливость формулы преобразования двойного интеграла во всех без исключения случаях достигнута только благодаря введению понятий ориентации области и интегрирования ло ориентированной области с соотзетствуюгцямлразилом знаков. Однако, формула преобразования может оказаться неверной, сгли якобван яе сохраняет постоянного знака в области интегрирования; в этом случае ие обеспечена однозначная обратимость отображения, Геометрическое определеияе ориентации можно дать еще и другим путем, без использования границы области. Рассмотрим сначала какую-либо точку Р области и припишем этой точке некоторое направление вращекия, которое можно, например„ представить как направление обхода малой окружности с центром в Р.
Область 0 называется ориентированной, если каждой ее точке отнесено в этом смысле направление вращения и если при непрерывном переходе от точки к точке направление вращвния сохраняется, в) Ориентация поверхности в пространстве. С помощью этой идеи можно также приписать ориентацию всякой связной поверхности или связному куску поверхности в пространстве хуг. Сначала приписывают направление вращения какой-либо точке Р этой поверхноети, окружая эту точку малым контуром, лежащим на поверхности и выбрав определенное направление обхода этого контура. Затем перемещают точку Р вместе с присвоенным ей направлением вращения непрерывно по поверхности; тзким путем можно отнести определенное направление вращения(или обхода) всякой точке поверхносТи (возможные исключительные случаи мы обсудим ниже).
Поверх- 402 Гл. у, кРиВОлинейные интеГРАлы. интеГРАлы по позеэхности П ность, снабженная таким путем определенным направлением вращения (обхода), называется ориентированной поверхностью 1рис. 90). Процесс присвоения ориентации поверхности в пространстве можно себе лучше уяснить с помощью следующих соображений. Кусок поверхности имеет, как правило, две разные стороны, которые удобнее всего различать, называя одну из них положительной, а другую— отрицательной. Какую иа двух сторон назвать положительной, а какую отрицательной, само по себе безразлично. Например,в качестве положительной стороны плоскости ху можно выбрать ту сторону, на которую указывает положительная ось г.
Положительную сторону поверхности 8 можно отметить, строя от каждая точки поверхности некоторып вектор, направленный в положительную сторону, например, нормальный вектор, если в этой точке существует единственная нормаль. Если этот нормальный вектор п Рис. 90. и ориентация поверхности, т. е. направление обхода, присвоенное начальной точке вектора п на поверхности, образуют правый винт 1ср. Гл.
1, 9 1, и'1), то поверхность называется положительно ориентированной, если же они образуют левый викт, то поверхность называется отрицательно ориентированной. Другими словами, поверхность называется положительно (отрицательно) ориентированной, если ее вместе с присвоенным ей направлением вращения можно перевести с помощью непрерывной деформации в положительно ориентированную плоскость ху и притом так, что направление ее положительной нормали перейдет в направление положительной 1отрицательной) оси г. Отсюда видно, что, приписав заранее определенный знак каждой стороне поверхности, мы подготовили естественный путь для присвоения знака ориентации этой поверхности.
Затруднения, которые начинающий, возможно, будет испытывать а этих рзссуждениях, коренятся исключительно в том, что здесь речь идет не о доказательствах, а об определениях или соглашениях, которые найдут свое оправдание впоследствии — в успешном упрощении дальнейших рассуждений. Присвоить куску поверхности 8 определенную ориентацию можно также и следующим путем, исходя из его пзраметрического представления х=хГи, и), у=у1и, и), г=г(и, и). Эти уравнения отображают некоторую определенную облзсть В плоскости ип на наш 498 э к интвгвал по поввяхности кусок поверхности В.
Если мы установим на плоской области В какую-нибудь ориентацию, то в ревультате отображения эта ориентация переносится на поверхность Я. Тем самым процесс ориентировки поверхности о' осуществлен. г) Поверхности, которым невозможно приписать о р и е н т а ц и ю. Необходимо отметить, что в пространстве существуют такие поверхности, которым принципиально невозможно прилагать никакой ориентации, так как на них нельзя отличить двух раздельных сторон.
Простейшая поверхность этого типа была открыта Мебиусом и называется листом ллебиуса (рис. 91). Эту поверхность легко изготовить ив продолговатой прямоугольной полоски бумаги. Для этого надо склеить оба узких конца полоски, повернув предварительно один ив концов на !80' вокруг длинной средней линии прямоугольника Этот лист Мебиуса обладает следующим свойством: если выйти ив какой-либо его точки, лежащей, например, на средней линии, н двигаться вдоль этой средней линии, то, совершив полный оборот, вернемся в исходную точку, но уже на протпаололожной стороне поверхности.
Если движущаяся точка, совершая это перемещение, непрерыв- Рис. 91. но переносит вместе с собой некоторую окружающую ее ориентированную замкнутую кривую, сохраняя ее ориентацию, то ясно, что воэвращение в исходную точку сопровождается изменением ориентации кривой на противоположную. Стало быть, на такой поверхности можно перейти с одной ее стороны иа другую, не переходя края, так что невозможно присвоить этой поверхности какую. либо ориентацию в описанном выше смысле. Такие поверхности, не поддающиеся ориентировке, исключаются ив расска!р ния в последующем изложении.
Нетрудно составить параметрические уравнения поверхности типа Мебиуса. Для этой цели возьмем в плоскости ху окружность х=г соя и, у=гали. Через точку Р окружности, соответствующую значению и параиетра, проведем в плоскости, содержащей ось я и радиус-вектор точки Р, 1 прямую образующую с осью г угол — и и с радиус-вектором точки Р угол 2 1 1 — я — — и. Направляющий вектор этой прямой 2' 2 и и и) 1= яю —, сочи, ип — а!пи, соа — ! 2 ' 2 ' 2~' в ее параметрические уравнения с параметром о таковы: и и, и х=гсоаа+и аж — сваи, у=г а!и и+па!и-ел-ааи, *=исоа —, Я) 2 404 гл. и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
