1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Если, например, Ю является залгвнугпод поверхностью, то проекции ее различных частей Ю» накладываются частично друг нз друга и имеют различные ориентации. Проще всего обстоит дело, если поверхность или заданный кусок поверхности отображается как целое взаимно однозначно на некоторую ориентированную область В плоскости ио с помощью параметрического задания х=х(и, о), у= =у(и, о), г=г(и, о).
Тогда нет надобности разбивать поверхность Ю на части, и для определения интеграла по поверхности можно воспользоваться данным выше его параметрическим представлением, которое остается в силе. 3, Физическое истолкование интеграла по поверхности. Понятие интеграла по поверхности тоже можно истолковать физически, применяя его к изучению стационарного движения несжимаемой жидкости, на сей рзз в пространстве, причем объемную плотность жидкости примем рваной единице.
Рассмотрим векторное поле скорости течения жидкости и в соответствии с этим будем писать о вместо Р: (Р)=(э ( .у, ), о ( ... г), (х,у, )~, 406 Гл. 7. кРиВОлинейные интеГРАлы. интеГРАлы пО пОВеРхнОсти р Тогда скалярное произведение оп дает в каждой точке поверхности 8 проекцию о„скорости жидкости на направление положительной нормали к поверхности, Выражение опьЗ»=(о[(х», у»Р г„) сова»+о»(хм угь г») совр»+ + оь (х», у», г») соз Я л э» приближенно равно количеству жидкости, протекающей через элемент поверхности ЛЯ» с отрицательной стороны на положительную, причем это количество может, конечно, оказаться н отрицательным. Поэтому интеграл по поверхности Ю ~~опЮ=~~(о,гудал-~- иуг (х+тФхйу) дает общее количество жидкости„протекающее в единицу вреиени черев поверхность 8 с отрицательной ее стороны на положительную.
Отсюда видно, какую важную роль играет при математическом описании движения жидкости различение между положительной и отрицательной сторонами поверхности. В гидромехвнике интеграл Депг(О Ю принято называть потоком вектора о через поверхность О", этот термин подсказан объясненным выше физическим смыслом этого интеграла. По аналогии с этим в любом векторном поле Р(Р) поверхностный интеграл ))спс[Ю называют по!пиком вектора полк через поаерх- $ ность Я с отрицательной на положительную ее сторону. В частном случае силового поля вектор гг указывает своим направлением направление так называемой силовой линии, а его модуль дает величину силы в каждой точке поля.
Поверхностный интеграл ))Рм ь[8 нлзыг вают тогда силовым потоком. Е 6. Интегральные теоремы Гаусса н Грива в пространстве 1. Теорема Гаусса' ) в пространстве. С помощью понятия интеграла по поверхности можно теперь распространить на трехмерное пространство теорему Гаусса, доказанную для плоскости в $2, и 1. Суть теоремы Гаусса для плоскости заключается в том, что двойной интеграл по плоской области преобразуется в криволинейный интеграл вдоль граничной кривой этой области. Рассмотрим теперь замкнутую трехмерную область 0 в пространстве хуг и предположим, как ') Эта теорема, кьк и теорема Гаусса нл плоскости, есть частный случай общей теоремы Остроградского, дающей преобразование и-кратвого интеграла по области 0 пространства и измерений в интеграл по (и — !)- мерной гиперповерхности, Ограничивающей область [г. (Прил!.
перел.) И за. ннтвгадльныв твоввмы глкссл и гяинл в пяостганствв 409 всегда, что ограничивающая ее поверхность Ю может быть разбита на конечное число настен, из которых каждая имеет непрерывно изме. кающуюся касательную плоскость. Кроме того, мы предположим сна. чала, что всякая прямая, параллельная какой-либо координатной оси и имеющая с областью 0 общие внутренние точки, пересекает ее граничную поверхность точно я двух точках; впоследствии мы освободимся от этого последнего допущения.
Пусть дана вектор-функция точки (векторное поле) )г(Р) (В1(х, у, я), Га(х,у, г), Вя(х, у, г)~, где функции Р,(х,у, г), Ра(х,у,л), Ра(х,у х) непрерывны вместе со своими частными производными первогопорядка в области 0 и .на ее границе. Рассмотрим сначала тройной интеграл по области 0: ~ ~ ~ дг", (х, у, г) с Спроектируем область 0 на плоскость жу; ее проекциеи будет некоторая область В этой плоскости. В наждоп точке (х, У) области В восставим перпендикуляр к плоскости жу; согласно сделанному выше допущению, он пересечет граничную пОверхность в двух точках. Обозначим аппликату точки входа в область 0 через я= ая(х, У) и аппликату точки выхода из нее — через я= г1(х, у). Тогда любои объемный интеграл по области 0 можно представить в следующем виде: ))) у(х, у, а) Ых Иуда = Ц~ Их Иу ') Д(х, у, а) Ы а в яя Так как в нашем интеграле У=-~-'-,то интегрирование по я можно дР, выполиитас д па = Рв (х, у А1) — т а (х, у, ха) дР, дя так что Если поверхности 8 присвоена положительная ориентация относительно области О, то область В плоскости ху, рассматриваемая как проекция той части г = 2а(х, у) поверхности 8, которая состоит из точек входа, имеет положительную ориентацию, а та ее часть г = = г,(х,у), которая состоит из точек выхода, имеет отрицательную 410 ГЛ.
7. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ИНТЕГРАЛЫ ПО ПОВЕРХНОСТИ !1 ориентацию. Поэтому два интеграла по области В можно объединить в виде одного интеграла по всей замкнутой поверхности Ю, и в итоге получится следующая формула: ~~~ 'д',"" д ддд*- — ф~д.<*.д,*д~ ь. ~Колечком, надетым на символ двойного интеграла, цтмечЕНО, что он распространяется на замннугную поверхность, а стрелкой показано, что поверхность 8 ориентирована по своей внутренней нормали.) Эта формула остается, очевидно, справедливой, если поверхность 8 содержит цилиндрические части с образующими, параллельными оси г; действительно, эти части вносят в поверхностный интеграл вклад, рваный нулю, так как их проекции на плоскость ху состоят из линий.
Аналогичные две формулы получаются для тройных интегралов по области 0 от функций — и †. Сложив все три формулы, дрд дрд дх ду придем к обшей интегральной формуле + — + дд~дд,д,д,.д дд,д,д,*д, дд,д,,д,*д~ = — ф (р,(ху, г)дудг+рь(х, уд г)дгдх+рь(х,у, г)дхду), которая и выражает интегральную теорему Гаусса.
Пользуясь обоаначениями стр. 406, можно формулу Гаусса записать и в следующем виде: ~~~~дд, ьдд, ьдд,~д = — ф (рг сова'+ рь соа р'+ра соа () аг8. л Напомним, что мы поверхность 8 ориентировали положительно относительно объемной области О, так что а', р', Т' — углы внутренней нормали и' с положительными направлениями осей координат.
Формулу Гаусса нетрудно рзспространить на более общие области. Достаточно потребовать, чтобы область 0 можно было разбить с помощью конечного числа поверхностей с непрерывно изменяющейся касательной плоскостью на конечное число частичных областей тячеек) Оь, обладающих нужным нам свойством, что всякая прямая, параллельная какой-либо из осей координат и проходящая через внутреннюю точку ячейки Оь, пересекает границу последней точно в двух точках.
Для всякой ячейки Оь теорема Гаусса верна. Выпишем формулы Гаусса для всех Оь и сложим их. Тогда мы слева получим тройной интеграл по всей области О, в правой же части некоторые ц в в. интвгвлльныв твоввмы глксся и гвинд в пвоствлнствв 411 из слагземых поверхностных интегралов соединятся в интеграл по зоей поверхности Ю, другие же (взятые по тем поверхностям, с помощью которых выполнено разбиение области 0) взаимно уничтожатся. Наконец, как и в плоском случае (стр. 386), достаточно потребовать, чтобы граничная поверхность области 0 состояла из конечного числа частей, имеющих однозначные проекции на все три координатные плоскости, причем, однако, допускаются такие цилиндрические части, проекциями которых являются линни. В теореме Гаусса для пространства, как и для плоскости, удобно пользоваться единичным вектором внешней нормали н вместо нормального вектора а', направленного внутрь области.
При внесении в интегральную формулу н'= — и надо будет изменить знак в правой части, и формула Гаусса примет следующий вид: Ц)( — "'-%- ")" '- = ф(гол сола+тоасозР+г"асозТ)Ю где теперь и, р, 7 — углы, образуемые внешней нормалью а с осями координат. Нетрудно получить векторную ззпись формулы Гаусса, подобно тому, как это было сделзно для плоскости. Вспомним, что функции тот(х,у, з), гов(х,у, г), Гв(х, у, х) были заданы как проекции на оси координат вектора поля к'= темь с'а ов) На основании гл.
Ц, $7, п'7 имеем дг, дда дде — ' + — ' + — ' = б! ч Р. дх ду дл С другой стороны, тот соз а + гов соз р + гов соа 7 = Гп = г ш т. е. подынтегральная функция поверхностного интеграла равна проекции вектора поля на направление внешней нормзли. Таким образом, получаем векторную запись теоремы Гаусса: Ц~ еггее еее*=Де ее=Дега. В качестве частного случая теоремы Гаусса можно получить формулу для объема области ег, ограниченной замкнутой поверхностью, ориентированной по внешней кормалк. Положим Г, =О, да О, Е, ж тогда йчР ! н Р'„дд=лсоатдо =лдхду, откуда объем е= ~11 ~е ~ - ~ е ~е. 412 гл.ч.кэиволинейные ннтегэалы.
интегэллы па повеэхностн р Аналогично получаем еще лва выражения для этого объема: 1/= Ц хауФг= Д ульях. 3 3 Замечательно, что круговая ээмэяа букв х, у, э не приводит в этих форму« лэх к изменению знака, между теи как в соответствующих формулах длв площади плоской фигуры В взаимная замена х и у влечет за собой перемену знака интеграла. Это связано с тем, что на плоскости ху взаимная замена осей х и у изменяет направление вращения на плоскости, между тем как в пространстве круговое замещение положительных направлений осей координат, т.
е. замена х на у, у нэ э н э на х, не превращает правой системы координат в левую. 2. Физический смысл теоремы Гаусса н пространстве. Наглядное толкование пространственной теоремы Гаусса получается, как и на плоскости, при рассмотрении поля скоростей п(Р) стационарного течения несжимаемой жидкости плотности 1. Масса жидкости, протекающая через малую площадку границы О изнутри наружу, приближенно равна о„Ю, где еэ есть проекция вектора-скорости н на направление внешней нормали и в какой-либо точке этой площадки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
