1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 81
Текст из файла (страница 81)
86). Обозначим абсцнссу точки входа в область О прямой, параллельной ося х и имеющей ордннату у, черев хв(у), е абсцнссу точки ее выхода через х,(у), причем хе:л хй тогда внутренний интеграл будет гг О) 3 у ( уМх=йх (у) у) — у(х (у)*у) ло О) В качестве пределов внешнего интеграла надо теперь поставнть на- яненьшее и наибольшее значення ордннаты у в области Π— обозна- чзм их чеРез ))в и )Ее. Следовательно, о ')в (( у (х, у) Ых Ыу = $ .у(х, (у), у) с(у + ( у(хв (у), у) Ыу = фу(х, у) Ыу. о м с Ясно, что для частного случая я(х,у) = 0 это равенство равноснльно формулнрованной выше теореме Гаусса. Очевидно также, что пос- ледняя формула охватывает и тот случай, когда контур С, содержит прямолннейные отрезки, параллельные осн х, збо на каждом таком отрезке у= сопя(, а стало быть вклад этого отрезка в криволинейный интеграл в правой части равен нулю.
Пусть теперь У(х,у)ыО в О. Используя сделанное выше допу- щенне, что любая прямая, параллельная осн у, пересекает контур С не более чем в двух точках, путем совершенно аналогичных рассуж- аеннй придем к формуле Е1 Е~ ~~ 8„(х, У) с(х ЫУ = ~ 8(х, У) (х)) с(х — ~ 8(х, Ув(х)) е(х = а Ее Ео У Ув з $, Рнс. 86. — 8(х, у)бх. ! 3 Р. Кгявнг 386 ГЛ. 7. КРИВОЛИНЕйНЫВ ИНТЕГРАЛЫ. ИНТЕГРАЛЫ ПО ПОВЕРХНОСТИ и Наличие в правой части знака минус ие должно вызвать удивления, так пак оси х и у иа плоскости не вполне эквивалентны: ведь ось х переходит в ось у при положительном повороте иа угол —, э ось у переходит 2' л в ось х при отридагпелэлом повороте на -л . Сложение обеих полученных формул приводит к общей записи теоремы Гаусса: ) ~ Ю и+а о ут~ю=~(п ЛФ вЂ” т(.лт г О которая таким образом доказана для областей описанного выше вида Полученную формулу нетрудно распространить на все области, которые возможно раарезать на конечное число составляющих областей такого вида, что граница каждой из них пересекается прямыми, параллельными осям координат, не более чем в двух точках.
На рис. 87 показан пример такой невыпуклой области, составленной ив выпуклых областей. Для .:Р каждой из этих составляющих областей теорема Гаусса доказана. В результате сложения формул Гаусса, выписанных для всех этих частичных областей, получается интегральная формула (1) для суммарной области, так как криволинейные интегралы вдоль внутренних границ (разрезов) взаимно уничтожаются: ведь каждая из ннх описывается два рава в двух противоположных направлениях! Добавим без доказательства, что теорема Гаусса фактически справедлива для всякой области, имеющей кусочно гладкую границу ').
Доказательство можно получить путем предельного перехода. Еще одно замечание. Допущение, что область можно разбить на конечное число составляющих областей такого вида, что граница каждой из них пересекается прямыми, параллельными осям координат не более чем в двух точках, можно заменить следующим условием: границу области можно разбить на конечное число частей, каждая из которых имеет однозначные проекции нз обе координатные оси; при этом допускается, однако, чтобы проекция такой части на одну из осей координат состояла из одной точки, т. е. граница может содержать отрезки, параллельные осям.
') Такая область может и ие принадлежать рассмотренному только что классу областей.' граница области может, например, содержать такой кусок э 1 кривой у х'э1п — который пересекает ось х в бесконечном множестве точек. т) а а связь мвждг кяиволннвйным н двойным интвгяллом 387 В качестве примера применения теоремы Гаусса выведем с ее помощью знакомые иам формулы лля площади 8 области П (т.
1, стр. 317). Полагая у(х,у) =х и я(х, у) =О, сразу получим л=[[ *о=~* Полагая /(х,у)=0 и й(х,у)=у, имеем 3= — у их. [Если же положить Г"(х,у) =к, й(х,у) =у, то получится третья формула: 28 = (х ду — у дх). Читателю, конечно, ясно, что интегралы, выведенные аля площади (т. 1, стр. 317), фактически являются криволинейными интегралами.) По поводу знака см.
ниже 4 4, и'!. Х Векторная запись теоремы Гаусса. Теорема Гаусса принимает особенно простой вид, если воспользоваться обозначениями и понятиями векторного анализа. Скалярные функции 7(х,у) и й(х,у) мы будем рассматривать как координаты вектор-функции точки р' (Р) = Я (х, у), рз (х, у» = [у(х, у), й(х, у» в плоском векторном поле. Тогда подынтегральная функция двойного интеграла в формуле Гаусса ~„(х, у)+йг(х, у)= — + — =й р, дР, дР, дк ду т.
е. является дивергенцией поля с' (ср. гл. !1, $7, п'7). Для того чтобы получить векторную запись криволинейного интеграла в правой части формулы Гаусса, введем в качестве параметра на граничной кривой С ее длину дуги з, и притом так, чтобы з и возрастала при положительном направлении обхода. Тогда вектор т = [х, Я есть единичный насангельный венлгор кривой С, направленный в егорову возрастзния длины дуги з (это видно из сопоставления в т.
! стр. 307, 308 и 324). Ряс. 88. Вектор и = [ Р(в), — х(з)[ тоже имеет длину 1 и направлен по нормали к грзничной кривой. [Введем наряду с ортами е, и е, осей х и у третий орт е,= = [еь е,]. Тогда векторное произведение [йеа[= [(Уег+ уе,) е,[=Уе, — Яез=()), — Ф) =и.
Так кзк касательный вектор т направлен в сторону положительного обхода граничной кривой, то и есть единичный вектор внешней нормали по отношению к области О (рнс..88). Нетрудно сделать соот- !3' 388 гл. ч. кгиволинейные интягьалы. интигвллы по повагхностн й ветствующий рисунок для многосвязной области и убедиться, что для внутренних ее границ вектор л тоже будет направлен по внешней (к области) нормали.] Теперь подынтегральное выражение криволинейного интеграла запишется так: т (х, у) йу — 8(х, у) йх = (Р1 р — Р,Я) йз = Рп йз = Р„йз, где Рп есть скалярное произведение векторов Р и и, а Р„обозна. чает проекцию вектора Р на внешнюю нормаль и.
Отсюда получаем векторную запись теоремы Гаусса ~ ~гйчРао= ~ Рп йз= ) Р„йз. +с +с Словесно она выражается так: двойной интеграл от дивергенцли плоского векторного поля по за.нкнутой области О равен криволинейнолсу интегралу вдоль границы области (в положительнол налравлении обхода) от проекции вектора поля на внешнюю нормаль. 3. Теорема Стоке» для плоскости. Теореме Гаусса (теореме Остроградского для плоскости) можно дать еще одно, совершенно иное векторное толкование, носящее название теорелгм Стокса. Снова рассматриваем плоское векторное поле Р(Р) = =Я(х, у), Ра(х, у)), ио на втот раз полагаем 7(х, у)=Р,(х, у) и а(х, у)= — Р,(х, у), Тогда в формуле (1) Гаусса (стр.
384) подынтегральная функция двойного интеграла примет следующий виш 7 (х У)+й (х У)= д — д С выражением такого типа мы уже встречались при построении по. нятия ротора векторного поля (гл. И, й 7, и'7). Лля того чтобы применить сюда понятие ротора, продолжим поле вектора Р на трехмерное пространство, полагая вектор поля не вавнсящим от г, а его третью координату (его проекцию на ось л) постоянной: Р(Р) мР (х, У) (Р1(х, У), Ра(х, У), сопз1) Получим тогда го1 Р= 10, О, — ' — — М, дк ду 1' н подынтегральная функция двойного интеграла дрь дР, — — — =(гоь Р) дх ду будет проекцией вектора готР на ось в.
Это выражение удобно на. звать ек»лярной ротацией плоского вакторнога поля Р и обозначать и я к связь мвждг квнволннвйным н двойным интвгаллом 389 через (го1)Р, т. е. заключить символ ротора в круглые скобки: дра др, (го1) Р= — ' — — '. Подынтегральное выражение криволинейного интеграла в фор- муле (1) выразится теперь так: У(х, У)йу — й(х у)йх Р,й +Рябу=(Р,х+Р»Кйв=Рййз= Ря з' где на йв умножается скалярное произведение вектора поля на единич- ный касательный вектор граничной кривой нлн, что то же самое, проекция вектора поля на положительное направление кзсательной.
Теперь формула (1) приобретет следующий вид: ~ ~ ~ — „' — — ']йхйу= ~ (Р,йх+Р;йу) (2) о +с или 3 (го1) Рйв= 1 Р1 йз = 1 Рйц +с +с (2а) Эта формула и выражает теорему Стокса лля плоскости: Двойной интеграл скалярной ротации плоского векторного поля по замкнутой области равен криволинейному интегралу «аеагпеланой составляющей вектора поля вдоль граничной кривой, пробегаемой в полохсггтельном направленгиь Однако иожно использовать векторный характер ротора пространственного векторного ноля и, учитывая тот факт, что в формулу (2) входят только составляющие векторного поля, лежащие в плоскости ху, освободить теорему Стокса для плоской области от предположения, что область 0 лежит именно в плоскости ху. Тзкнм образом приходим к следующей более обшей трактовке теоремы Стокса для плоской области: Д (го1 Р)„й8= 1 Р1 йз= 1 Рйц о +с +с где 0 есть плоская область, лежащая как угодно в пространстве, ограниченная кривой С, а (го1Р)„есть проекция вектора го1Р на нормаль к плоскости области 0 (причем направление нормали должно быть согласовано с направлением обхода границы С по правилу правого винта].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
