1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Впоследствии ($3, стр. 393) будут даны еще и другие физические истолковзния криволинейного интеграла. 3. Криволинейный интеграл в поле градиента. Интегрирование полного дифференциала. Особенно важен тот случай, когда вектор поля Р=(Рь Рэ Рзьг является градиентом некоторой скалярно» функции точки У(х, у, «), т.
е. существует такая функция У(х,у, «), что Р=йгаб У нлн Рт — — У, Рз= Уу, Рз= Уь Если Р= йгад У, то скалярную функцию У часто называют яоюенциальной функцией нли, короче, яоьтенциалом векторного поля Р. (Физики называют обычно функцию У силовой функцией, а потенциалом Ь'онн называют силовую функцию с обратнын знаком: тг= — У] Значение криволинейного интеграла в векторном поле зависит вообще не только от положения начальной и конечной точек пути интегрирования С, но и от всего хода кривой С.
Однако если вектор поля является градиентом, Р=йгаб У, то имеет место следующая теорема: Криволинейный интеграл в поле градиента равен приращению потенциальной функции при переходе от начальной до конечной точки пути интегрирования С и не зависит от выбора кривой С, соединяющей вти точкгь Это значит, что мы получим одно н то же значение криволинейного ннтегрзла при любом выборе пути интегрирования С, соединяющего заданные начальную и конечную точки, пока кривая С остается полностью в области определения потенциальной функции У(х, у, «). )Аействительно, если Р =йгаб У, то ') Рог= ~ игаб Уйг=~(У„ах+ Утйу+ У,й«)= с с с — ( <Ь,Ь-Ь Ь,ЬЧ-ЬЛ1а= ~ фа. 376 гл.
ч. квиволннвйныв интвггллы. ннтвгяллы по поввяхностн 1а Стало быть, можно выполнить интегрирование в явном виде, и в итоге получится'. ) рйг= У(х(р), у(р), г(р)) — У(х(я), у(я), г(а)), с что и требовалось доказать. Это относится, например, к полю тяготения, порождаемому одной единичной точечной массой; мы уже знаем (гл, Н, $ 7, стр. 112), что напряженность этого поля является градиентом потенциала 1/г. Стало быть, работа силы тяготения при перемещении материальная точки из данного начального в данное конечное положение се зависит от пути перемещения.
Подынтегральное выражение криволинейного интеграла является в этом случае полным дифференциалом функции У(х, у, г) (гл. И, $4,п 4): Гйг=р,йх+Р,ау+Рвах= У„йх+ У с(у+ У,ах=аУ, Поэтому результат интегрирования можно записать в следующем виде: ) йУ= У(х(р), у(Р), г(р)) — У(х(а), у(а), г(а)), с и естественно толковать его как интегрирование полного дифференциала У„йх+ У йу+ У,бг. Крайне важно понять и усвоить, что утверждение «криволинейный интеграл не зависит от пути» равносильно утвермсдению «криволинейный интеграл по любой замп ннутой кривой равен нулюь, Действительно, если разбить замкнутую кривую (рис.
84) какими-либо двумя ее точками А и В на две дуги АтВ и АпВ, то из ра- А венства нулю криволинейного интеграла по замкнутой кривой АтВпА следует равенство криволинейных интегралов от Рис. 84. точки А до тачки В по двум различным путям АтВ и АпВ. Обратно, если интегралы от А до В по двум различным кривым АтВ и АпВ равны между собоя, то отсюда вытекает обращение в нуль суммы ~ + лаз Вел а эта сумма н есть интеграл, взятый по всей замкнутой кривой АтВпА.
6. Условие независимости криволинейного интеграла от пути иитегрировзния. Как мы уже подчеркивали, независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования или равносильное этому обращение в нуль интеграла по замкнутой кривой представляет собой исключительное свойство, характеризующее специальный класс векторнмх полей. Если, например, ориентированная замкнутая кри- ч 1.
конволинейныз интаголлы вая С ограничивает на плоскости ху положительную площздь, то, согласно и'2, криволинейный интеграл фхбу или !у(хйу — уйх) по этой кривой С не равен нулю. Основная задача теории криволинейных иитегрзлов и состоит в том, чтобы показать, что данное в предыдущем номере достаточное условие независимости от пути является также и необходимым, а затем привести это необходимое и достаточное условие к виду, удобному для практического применения. Этот вопрос о неаазисимости криволинейного интеграла от пути интегрирования мы сначала исследуем для плоского векторного поля, но уже сейчас заметим, что в случае трех и большего числа измерений результаты получаются совершенно аналогичные. При этом мы будем предполагать, что в плоском векторном поле Р= !Рг(х„ у), Ро(х, у)) функции Рь(х, у) и Ро(х, у) непрерывны др1 дрв и имеют непрерывные частные производные ф и — * в некоторой области 0 плоскости ху.
Тогда справедлива следующая те о р е м а: Криволинейный интеграл ~ Р йг =- ~ (Рг йх+ Ро йу), взятый вдоль с с линии С, лежаиьей в области О, не зависит от выбора этого пунш интегрирования С и вполне определяется положением начальной и конечной точек этого пути в том и только в том случае, если выражение Р1 йх+ Ро йу является полным дифференциалом некоторой функции У(х,у), т.
е. если в 0 суяьествует такаяфункиия У(х, у), что дО д =Рт(х у)' д = Ро(» У) или Р= Огай У д0 (*) всюду в области О. В предшествующем номере мы уже доказали достаточность этого условия, т. е. доказали, что при его выполнении интеграл действительно не зависит от пути интегрирования. Остается доказать необходимость условии (*).
Лля этого заметим, что если интеграл не зависит от выбора кривой С, то, при фиксированной начальной точке Р, этой кривой, интеграл является (однозначной) функцией координат ее конечной точки Р(ч, я). Обозначим эту функцию точки Р через У(о, и). Функция У(Е, ч), очевидно, дифференцнруема по ч и ~„ причем во всякой внутренней точке области О У.„($1 ч!) = Игп — „! У(о + И, и) — У(Е, в)) = ! л о" 1( 1 л о" ~ д =Нш-( ~ Рйг — ~Рйг1=йпи ~ Рйг )с+со л 1 = и-- ) (Р.йх+Р.
у); л-о " сл 378 гл. т. кьнволннвйныв ннтвгэ»лы. ннтвгэалы по поввьхности р здесь С обозначает любую кусочно гладкую кривую, идущую в области С от точки Рь до точки Р($, 4, а С» — любую кусочно гладкую кривую области О, идущую от точки Р до точки Рь(1 + й, т)Ь Так как прн достаточно малом й прямолинейный отрезок РР, лежит в О, то з качестве пути интегрирования С» можно выбрать этот отреаок РРь выражаемый параметрическими уравнениями х=с, у=ч1= сопя(, $(К($+н. Следовательно, 1+» У ($, т1)= 11ш — „р,(С, фйв=рь($, т1). 1 » о" Таким же способом получается чь» Уч("'1)= "ш а » 0» Действительно, стало быть, У„(х, у) = Рь н У, (х, У) = Ря и необходимость нашего условия доказана. Хотя этот результат доказан пока только для внутренних точек области О, но, в силу непрерывности всех участвующих в этом вычислении ф)»акций, он справедлив и для всех точек границы области О.
7. Условие, при котором вектор поля явлиетси грвдиентем— условие интегрируемостн выражения Р, ах+ Рябу. Нельзя, однако, считать, что только что докззанная теорема решает проблему до конца, так как мы еще не располагаем общим способом, позволяющим распознать, является ли вектор Г поля градиентом нли нет. Мы установим теперь критерий, дающий возможность решить этот вопрос по виду функций Рь(х, у) и Рь(х, у).
Если область О односвяэна, то вынолнетю соотноьяенпя дг"1 дрь ду дх ео всех точках области 0 является необходимым и достаточным условием того, чтобы вектор ноля с =1Рь Р»1 был градиентом некоторой скалярной фгнкции У(х,у) и чтобы, следовательно, зыралсение Рь йх-1-Рябу было полным дифференциалом этой функции Напомним, что мы дР, .дс, заранее предположили, что ' и ' непрерывны во всей области О. Соотношение (1) принято называть условием или критерием интегрируемости дифференциального выражения Рйг =Р, йх+ Рь йу. 3УЙ э ь кгиВолинейные интвггалы Необходимость условия (1) вытекает из следующих соображений. Если Р=йтад У, то У,=Р1 и У„=Рь Так как И„„=-Р— дР мэ 3у и У„= — непрерывны, то порядок дифференцирования безразли- дР; чен (гл. П, $3, н~ 3) и У„э= У' так что — '= Досглаточлослгь условия (1) будет доказана тем, что, пользуясь этим условием, мы фактически построим в области О нотенциальную функцию У(х,у), для которой У„=Р1(х,у) и Ц='Рэ(х,у).
Рассмотрим сначала простой случай, когда наша область есть прямоугольник гг(а~х =р, у(у -.3) со сторонами, параллельными осям координат. Проведем в области 1т ломаную Р,РР (рис. Яб) от постоянной точки Рэ((ь ть) до переменной точки Р(1, т1) таи, что отрезок Р,Р' ломаной параллелен оси у, а Р'Р параллелен оси х; промежуточ- 'ар л ная вершина ломаной есть Р'($ат я). Отрезок Рар' выражается параметри- 1 чески уравнениями х = Ц = сона1, р м ,л а1 у=1, причем тй(Г(~, так что Ых=О, Иу=Ж, а отрезок РР— Рис. 65. уравнениями х= 1, у = т1= сопИ, причем (а~с =.(, так что т(х=Ф, ну=О.
Поэтому криволинейный интеграл вдоль ломаной Р,РР выразится так: Рог= ') (Р1ох+Ряну)= ~ Ря(альт)Ю+ ~ Р1(Г, т1)1К РОРР РаР'Р ча Ее Определенная таким образом функция и(1, ч) = ~ Р, (1 Г) (Г+ $ Р, (Г, ~) а я является искомой функцией. 1(ействительно, дифференцируя по 3, сразу получаем У1(1, 'э)=Р1(Е> т1). йалее, У,6 1)=Ра(ъ 1)+д Р1(( 1)йг. д г 330 гл. ч.
кяиволинвйныв интвггалн. янтвтил пы по поввяхностн и Так как частная пронвводная ' 'Ч, по условию, непрерывна, то дР~ (б ч1 дч можно дифференцировать под знакам иНтеграла в правой части: 6 Уч(Е, 'я)=Ра(Ев т1)+ ьт д~' ' Ю ггя(чо,т)) 1 ~ дЕ ас О ьг ( др~ дР;1 последнее — в силу условия — '= — 1. Следовательно, ду дх/' Уч(Е, ч1)=Р (Ем я)+Р (Е, т1) — Р (Е ч)=Р,(Е, ч). Таким образом, действительно вектор поля Г=йгад У. На основании предыдущего номера криволинейный интеграл не зависит от пути; поэтому можно пблЬжнть вообще У(Е, и)=$(Р1бх+4ия сну) с где С вЂ” произвольная кусочно гладкая линия, лежащая в данном прямоугольнике )Е и идущая от постюянной точки Ря до переменной точки Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
