1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Непрерывная периодическая функция в (х), удовлетворяющая этому соотношению при любом Й из интервала Ос" Й(1 и любом х)Й может быть только постоянной. Действительно, так как э(х) периодичиа с периодом 1, то т(1) у(2). обозначим это общее значение через ш тогда т1 — ) = — [т(1)+т(2)) а (,2) 2 /31 следовательно, н тр)=а. Далее оказывается, что т(ха)=а во всех дополнения к главе !т точках хь отрезка 1(х~2, получающихся при последовательном делении пополам всех частичных отрезков.
Так как эти точки хь расположены всюду птотно, то из непрерывности функции т(х) следует, что т(х) =о на всем отрезке 1~х~2, а в силу периодичности этой функции также и при любом х ) О. Таким образом доказано, что всякое выпуклое решение уравнения и(х+1) — и(х)=!ох, ограниченное в любом конечном интервале а(х~Ь, где а)0, может отличаться от функции 1пг (х) только постоянным слагаемым. Примечание 1. Нерааеягюао Шварца для ияшегралоа с ь ь ь )гу(х) я(х) ттх~ «)г (у(х))а ях ° )г (н(х))абх а а а можно вывести из алгебраического неравенства Шварца 4"")'.4 )4 ) доказанного в т. 1, стр. 2? — 28, рассматривая интегралы как пределы сумм. Другое доказательство.
Из основных свойств двойного интеграла вытекает соотношение ьь ь ь 0 ~ (( (У (х) я (у) — У (у) я (х) 1' тх Ыу = ~ У' (х) гтх ~ на (у) Фу + оа о а ь ь ь ь + $уэ (у) юг $ йа (х) (Кх — 2 $у(х) и(х) Фх )у(у) я(у) бу. Так как ) т(х) их=) т(у) гну, то правая часть равна о а ь ь (ь 1 ° 2 ~ Уа (х) гтх ~ яа (х) Фх — 2 ~ ) У(х) и (х) Фх~, а О я что и доказывает неравенство Шварца. Еще одно доказательство получается из неравенства ь О(г) (тэу(х) — оя(х)]а гКх =* я .ь ь ь = ра~ Уа (х) Ых+ да $ яа (х) Фх — 2ро ~ У (х) я(х) г(х, справедаивого при любых постояннык р и д. Надо лишь положить 1 1 Р Л вЂ” ~ а уэ(х)бх и — = ~ иа(х)Ых.
да [Интегральное неравенство, называемое обычно неравенством Шварцз, было впервые установлено академиком В. Я. Буняковским в 1859 г.) 41 а е. интвгвллы зйлаил !гамма-егнкций и вита-елнкций1 353 Прим е ч ание 2 (к не равенству (4)). Этот факт является частным случаем более общей теоремы. Если функции у»(х) (»=1, 2, ..., л) удовлетворяют условиям Г„(х) ~О и у„'(х) «у„(х — И)У„(х+И), т. е. если функции 1пу„(х) выпуклы, то и сумма ~у„(х) удовлетворяет зтнм ! у словиям. В самом деле, запишем Ху„(х) в следующем виде: » » 1, =1. У„(х)= тут " " Я„(х:И))7„(х+И). д»4 Г' у„(х — И) Г'у„(х+ И) ! Так как У, (х) «1, то г7л! — ~!гхй+м » г» 1» т.» (*!) «(Вгг,!7:-юг!,!*!-щ). Применив к правой части алгебраическое неравенство Шварца, получим с » » » ~у„(х) ~ « ~У„(х — И) ° ~У„(х+И).
! ! Аналогичную теорему можно доказать для интегралов вида (у(х, г) лг, » где функции у(х, Г) удовлетворяют при всех значениях параметра т условиям у(х, Г)= О и (у(х, ГЦ»«у(х — И,Г) у(х+И, Г). Гамма-функция является интегралом именно такого типа. 4. Представление гамма-!рункции в виде бесконечного произ- ведения. Ладим, следуя Гауссу и Венер!птрассу, равложение гамма- функции н бесконечное произведение. Сначала докажем, что Г (х) = 1ип 0„(х), где х (х+ 1) ...
(х + л — ! ) Это утверждение кзжется правдоподобным, потому что при целых значениях х= И 0„(И) =(И вЂ” 1)1 —" — ",... и при и-! со стремится, очевидно, к пределу (И вЂ” 1)1=Р(И). Нашей целью является доказать, что последовательность функций 0„(х) сходится при всех значениях х, ва исключением значений 12 Р. кур»лт а а. интвгяллы эйлвал !гамма.вгнкция и затя-вгнкцию Вбб а ее логарифм, и=1п 0(х), удовлетворяет уравнению и (х + 1) — и (х) = 1п х. )Хля того чтобы доказать, что при х)0 функция О(х) совпадает с функцией Г(х), по теореме Бора достаточно показать, что 1и О(х) является выпуклой функцией и что в какой-либо одной точке х функции !п 0(х) и 1п Г(х) принимают равные значения.
Замечаем, что 1п О(х) есть предельная функция последовательности «вЂ ! 1п0 (х) =1п(н — 1)1+х1пн — Я 1п(х+ч). а При любом значении Ь)О и любом значении х)Ь функции 1п0 (х) удовлетворяют условию выпуклости 1п 0„(х + Ь)+ !п 0„(х — Ь) — 2 !п 0„(х) = л — ! = Я [21п (х+ ч) — 1и (х+ Ь+ ч) — 1п (х — Ь+ ч)1 = О, а стало быть, в предельная функция 1п 0(х) выпукла.
Так как к тому же 1п О (1) = 1п Г (1) = О, то по теореме Бора 0(х)= — Г(х). Стало быть, мы получили для функции Г(х) разлоачсение Гаусса в бесконечное произведение .« Г(х)=1йп '"(л ) и«= — 1 й ! х (х -+ !) ... (х+ и — 1) л ° ° х ! Это представление гамма-функпии имеет принципиальное значение, так как его можно рассматривать как определение Р(х) не только для всех положительных аначений х, но также и для ваех нецелык отрицательных значений х. Полученное бесконечное произведение можно привести к несколько иному виду.
В выражение и' = с«!л л подставим вместо 1п и выражение 'пи=1+.2-+ з+" + — „— т+а 1 1 1 где Т вЂ постоянн Эйлерз (т. 1, стр. 444) а а -л О при н-л оо, 1 Тогда для 1г — получится следуюшее выражение: (х) 1 х! ( х ') -«-а--- — +! — =х Иш(1+ х) !с! [- — !!... (1+ — !! ° е «л-'! « =хек«Ише " "П (1+ — 1!е ч ! л о« ъ ! 12« 356 дополнвния к ГлАВе !ч — » .» —— Так как при и-эоо множитель е " "-ь1, то для функции 1 Г (х) — получается сходящееся бесконечное произведение Вейерш/прасса 1 из которого сразу видно, что — имеет нули (нулеаые точки) крат- Г (х) ности 1 при х=О, — 1, — 2,...
5. Функции 1пГ(х) н ее производные. Логарифмируя бесконечное произведение Вейерштрасса (конец предыдущего номера), получим для функции 1п Г(х) следующее выражение: 1п Г(х) —.— — 1и х — Тх — ~~ !г1п 11+ — ! — — 1, ч/ »1' Локажем, что ряд в правой части сходится абсолютно и равномерно в любом замкнутом интервале положительной оси х. Лейстзительно, его общий член х 1п (1+ — ) — — = —— а так что ! 1п (1+ — ) — — ! 1 1 ( с(/ =,—,.
а к! 1 Так как ряд г —, сходится, то наше утверждение доказано. Особый интерес представляют производные от функции 1пГ(х), ибо они дают возможность выразить в явном виде значения рядов х( —.,',) Лифференцируя выражение для 1пГ(х) почленно по х, получим Г'(х) 1 Ъ~ à — 1.Г()= — '= — — —; — Ъ / — — — ', дХ Г(Х) Х ' Л~~ !!Х+» ч /!' =1 1Почленное дифференцирование законно, ибо общий член полученного ряда 1 1 х Х+ч ч ч(Х+ч)' откуда видно, что полученный дифференцированием ряд сходится абсолютно и равномерно в любом замкнутом интервале положительной 61 а е.
интвгвллы эйлвол <гамма.этнкция и ветл.екнкцня! Зб7 оси х.) Дифференцируя почленно еще раз, получим ~Р мт ! —,1и Г(х)=рты н, наконец, после лт-кратного дифференцирования. Х- ° —: — = ( 1) е,ут — 1пГ(х) (эл- 2). л л 6. формула дополнении. Выведем теперь формулу, которая дает возможность легко вычислять значения функции Г(х) при отрицательных х по ее значениям прн положительных х. Для этого составим произведение Г(х)Г( — х)= = Па 2"'( 1) и'11а 1 2 ... (л — 1) -х , х (х+ 1) ... (х+ и — 1), — х (1 — х) (2 — х) ...
(п — ! — х) и объединим оба предельных перехода в один: Г (х) Г ( — х) = — —, Иа, 1 1 "'--~'--:) ('-"-:1- ~'-.-" )-) Вспомнив разложение синуса в бесконечное произведение выведенное в т. 1, стр. 818, получим окончательно Г(х)Г( — х)=— Стало быть, и ! Г( — х)=— хмовх Г(х) ' Отсюда можно вывести выражение для произведения Г(х)Г(1 — х) и тем самым придать полученной формуле несколько иной вид. Так как Г(1 — х) = — хГ( — х), то Г(х)Г(1 — х)= —.' „. Эта формула называется форллулой дополнения для гамма-функции. ! Г1! !1! Подставив в зту формулу х = —, получим Г! — ) =ф' в. Тлл как Г !1 — ) = 2' '!2! ~2)= =21 е ели, то перед намя новое доказательство формулы ~ л л ли = о о Эб8 17 дополнения к ГлАВБ 1т 2 = †..1)злее, зная Г(-2-) можно вычислить значение гамма-функциа для (-2-) ~ 1 аюбого полуцелого положительного знзчения х= л+ —, где и=1, 2Д..
л Г ( + —,) = (п — — ) (л — л-) ... — ° — Г ( — ) = 1 а затем и для любого отрицательного полуцелого числа х= — 'и+ —, ггде и = 1, 2, 3, ...: 11 л 1 ( — 1)л2" )Г я ( 2,), ( 1),( 1) (2и — 1)(2л — 3)...3 ° 1 11 й частности, при л=1 получаем Г1 — — ) = — 2 зги. Ф 7. Бета-функция и ее-функциональное уравнение. Эйлер ~вел в научный обиход еще одну функцию, определяемую несобствеыым интегралом„содержащим два параметра х и у.
Эта функция, носяцая название бета-функции, определена интегралом В (х, у) = ~ 1" ' (1 — С)х" Ж о Если одновременно х~1 и у)1, то это обычный, собстзен~ызз интеграл. Если же х или у меньше единицы, то интеграл стзномтся несобственным; однако, если ограничиваться значениями х.~а, у) т), где а и ~2 — любые сколь угодно малые положительные числа, тоссьгласно нашему критерию из 3 4, и'1 (сгр. 331), интеграл сход~тся равномерно относительно х и у. Стало быть, при всех положителыых значениях х и у функция В(х, у) является непрерывной фунмсяест. [Напротив, если хотя бы одна из переменных х, у принимает лечение и= О, то интеграл рзсходится. Почти сразу убеждаемся (с помошью преобразования Ф= 1 — и), что В(у, х)=В(х,у). Это свойство словесно выражают так: В (х, у) является сииметрическойз функцией своих аргументов.) 1 С помощью замены переменной 1=к+ — получаем для йта- 2 функции несколько иное выражение: а этот интеграл преобразуется подстановкой т= 2~, где постоянная з)О, к виду: (2з)".)» 'В(,у)= ) (з+О '( — 1)» 'йа.
(3) Наконец, преобразование а=з(пор приводит исходную формулу (1) к четвертому веду: В(х, у)=2 ~ а1п'" 'усово» '~рабр. о (4) (Выведем фуниционольлое уравнение для бета. функции. Для этого напишем ! В (х+ 1, у) = ~ 1" (1 — 1)» ' б1 о и преобразуем интеграл в правой части по правилу интегрирования произведения, причем сперва интегрируем второй множитель (1 — 1)» '; если х > О, то В(х+1, у)=~ — Г 1о+ — ~ о 1 =х 1 1-1(1 — а)у-1 и— -У'„ а' ' (1 — 1)» й = — " '1 а" (1 — а)»-'б1= У = — В(х, у) — — В(х+1, у), откуда и получается функциональное уравнение В(х+1, у)= — "В(х, у).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
