1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Так как, согласно определению, данному на стр, 323, .а = ~ ... ~ ' й — ах аль ... ахп ь ~хи В качестве определения леры куска г-мерной поверхности мы примем г-кратный интеграл 1)',+1),*+ ... +0(е)с(и, ... Ии„ Опираясь на теорему преобразования кратных интегралов (гл. 1Ч, $ 4, пь 2), с помощью несложных вычислений с определителями (которые мы здесь опустим) можно доказать, что принятое для меры выражение остается неизменным, если ввести вместо параметров иь иь..., и, другие параметры. Нетрудно убедиться, что в случае г =1 мера многообразия сводится к длине дуги, з в случае г=2 в трехмерном пространстве получается обычная формула для площади куска поверхности. Мы дадим доказательство для случая г=п — 1 при произвольном я, т. е.
докажем следуанцую т е о р е и у Если кусок поверхности п — 1 измерений у (хь ..., х„) = О в п-мерном пространстве лоекет быть представлен в яапалетрическом виде уравнениями 328 1а дополнения к глава 1ч то достаточно показать, что 1 — ) угад ч (Фх~ ... дх„~ =1/~~Ргди, ... Ыи„ь я или г Но ив свойств якобиана вытекает, что д(х„..., х„„х,+ь ..., х„) 0„ д(и„..., ди„д д (хь ..., х„ь х„ь ..., х„) д(х„..., х,) Рй т ~')й чя ° что и доказывает формулу для а. л Отметим, что выражение У', Р) 1 1 делителя (и†1)-го порядка можно представить в виде опре- Хй 1 Хи Ха ° ° Хи Хи а й ''' 1 1Ф-1 ~'„Р)=~х,х, ~= а х, х, ...х,' я-1 з я-1 Хи Хи злементы которого равны скалярным произведениям векторов т.
е. выражения Хи хи = 7 м~ дф„дф, ~ дагдиа' Таким образом, а=г)...)г)'Ог(и,йгя...йю ь Ра д(хь ..., хл-~) д(иь" иа-~) Последний якобиан соответствует введению вместо (хь ..., х„,) новых независимых переменных (хь ..., х„ь х„+ь ..., х ), а так как дхя частные производные †" получаются из уравнений дх~ дхл з„л — ч-+ в,, = 0 (! = 1, ..., и — 1), Р„ то — =.+ — ', Позтому Р„ е % а несоастзениые интеГРАлы кАк ФУнкции пАРАметРА 329 Упраж нем на 1.
Вычислить объем л-мерного зллнпсоида х' х' х„' —,+ —,+" + о 1 ° ага аа о,', 2. Привести интеграл 1 от функция У(х,), зависящей только от х„по поверхности единичной сферы х*+х'+ ... +х'„=1 в и-нсрном пространстве к виду обычного определенного интеграла. 9 4. Несобственные интегралы как функции параметра 1. Равномерная сходимость. Непрерывная зависимость интеграла от параметра. Несобственные интегралы тоже часто явлюотся функциямн параметра; так, например, интеграл от степенной функции ~у "у= о оказывается сходящимся несобственным интегралом при — 1 (х(0 и является функцией параметра х в этом интервале. Мы уже внаем, что интеграл по конечному промежутку интегрирования является непрерывной функцией пзраметра, если подынтегральная функция (как функция двух переменных) непрерывна.
Однако з случае бесконечного промежутка интегрирования дело обстоит далеко не так просто. Рассмотрим, например, интеграл Р(х) = — с(у. у Пользуясь преобразованием ху=л, хну=па, получаем Р(х)= — г(х при хъ0 "'"'= .) г мпг г нпл о о при х(0. Интеграл ~ — Ых сходится, что было показано в т. 1 (стр. 292 о и 485). Более того, мы знаем, что этот интеграл равен — (т. 1, стр. 527; см. также ниже, по 4, пример 3). Стало быть, несмотря а1п ху на то, что функция (рассматриваемая как функция от х и у) у ЗЗО дополнения к глава гч непрерывна всюду, а ее интеграл сходится при всяком значение х, функция Р(х) имеет разрыв при х=О, ибо — — при х«" О, О при х=О, — при х) О. 2 Р(х)= Сам по себе втот факт не содержит ничего удивительного; с аналогнчноп ситуацией мы уже встречались при изучении бесконечных рядов (т.
1, гл. ЧШ, стр, 447 и 449), а ведь процесс интегрирования можно рассматривать кзк обобщенное суммирование! Для того чтобы сходящийся ряд непрерывных функции непременно имел непрерывную сумму, пришлось в свое время потребовать, чтобы сходимость ряда была равномерной. Теперь, при изучении сходящихся несобственных интегралов, зависяших от параметрз, тоже понадобится ввести поня* тие равномерной сходимости. Определение. Сходящийся интеграл Р (х) = ~ у(х, у) йу л налываетса равномерно сходящимся (относительно х) в ггнтервале а~х(~, если «остаток» интеграла может быть сделан сколь угодно малым одновременно для всех значений х из рассматриваемого интервала.
Точнее, интеграл (1) называется равномерно сходяшимся на [а, р[, если для всякого наперед заданного положительного числа а существует такое положительное число А=А(а), не зависящее от х, что для любого с»~А будет Приведем следующий полезныи для практики признак равномерной сходимости интеграла (1) Если при всяком у)уь во всем интервале аа-х(~ выполняется неравенство [У( у)[(л, (' Еу М М г(%У)йУ (М~у«= (е 1)иа-з ~(а !)Аа-~ в где М вЂ” положительная постоянная и а) 1, то интеграл (1) сходится равномерно (и абсолютно) при а -х ~-~.
В свмом деле, при етом условии ОЗ ОЗ Ц а к нвсовстввнныв интвгаалы как этнкцнн павамвтва 331 но правую часть, не зависящую от х, можно сделать сколь угодно малой, выбрав А достаточно большим. Этот признак представляет собой естественную аналогию соответствующему критерию для функциональных рядов (т. 1, стр. 453) Теперь нетрудно убедиться, что равномерно сходящийся интеграл (1) от непрерывной функции параметра является в свою очередь непрерывной функцией параметра. В самом деле, если выбрать число А так, чтобы для всех значений х ив рассматриваемого интервала выполнялось неравенство то отсюда будет вытекать, что В силу непрерывности функции г(х, у), можно выбрать приращение И столь малым„что абсолютная величина интеграла в правой части будет меньше чем а, а это и доказывает непрерывность интеграла(1).
Аналогично обстоит дело у интеграла с конечным промежутком интегрирования, когда подынтегральная функция имеет в этом промежутке точку бесконечного разрыва, Пусть, например, У'(х,у)-ьоо при у-ьа+О. Тогда сходящийся несобственный интеграл ь Р (х) = ~ У(х, у) йу (Ь ) а) (2) а называется равномерно сходящимся в интервале а -.хч,р, есла для любого положительного числа в можно найти такое число И)О, не зависящее от х, что ! ь+Л У(х, у)Ыу (а, коль, скоро О ~~И( И. е И здесь существует аналогичный прнанак равномерной сходи- мости. Если вблизи точки у=а выполняется для всего интервала а(х((ч неравенство М ! У(х, у) ~ <" )„, где М вЂ” положительная постоянная, а ч 1, то несобственный интеграл (2) сходится равномерно при а~х(р.
Теперь можно доказать (тем же путем, что и вышеа что в случае равномерной сходимости несобственного интеграла (2) он является непрерывной функцвей парамегпра х. ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ Ш Если несобственные интегралы (1) н (2) сходятся равномерно, скажем, в промежутке а~ х -.р, то они представляют собой функ- ции парзметра х, непрерывные в этом промежутке.
Поэтому их можно интегрировать по этому промежутку н тем самым составить соответствующие несобственные повторные интегралы О оь Р ь ~!(х~ 1(х, у)бу н ~ФХ ~У(х, у)бу. в о а а Наряду с этими интегралами с конечным промежутком интегрирова- ния по х (а -.х~~) заслуживают, конечно, изучения и несобствен- ные повторные интегралы с бесконечным промежутком интегрирова- ния по х. 2.
Интегрнрование несобственных интегралов по параметру. Прн интегрирования и дифференцировании несобственного интеграла по параметру далеко не всегда дозволено производить эти операции под знаком интеграла, т. е. не всегда допустимо менять порядок этих операций с первоначальной операцией интегрирования 1ср.
пример 4 в и' 4). а) Для того чтобы решить вопрос о правомерности изменения порядка интегрирования в каком-либо заданном несобственном пов- торном интеграле, можно воспользоваться излагаемым ниже крите- рием, либо произвести специальное исследование по образцу дока- зательства этого критерия. Еслл несобственнаа пнтеарал () )У( У) У о сходится равномерно относительно х в интервале а~х =.р, то со а ~с(х~ 1(х,у)с(у=~ г(У~У(х, у)бх, а о о Для доказательства положим ОЭ А у(х, у) ьгу = ~ Г(х~ у) г(у + Й» (х), о о где ~)т»(х)((о(А) прячем, по условию, о(А) есть число, зависящее только от А, но не от х и стремящееся к нулю прн А-ь оо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
