1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 70
Текст из файла (страница 70)
е. замкнутую линию С площади нуль, а колесико в М отчасти скользит, отчасти катится по плоскоРнс. 80. стн, причем на величину его угла по- ворота влияет только сумма бесконечно малых перемещений точки М по нормали к стержню АВ. Согласно сказанному выше, эта сумма нормальных перемещений равна пронзведению площадн, ограннченной кривой С, на длину 1 стержня АВ. Но, с дру гой стороны, эта сумма нормальных перемещений пропорцнональна углу поворота колесика (стало быть, н числу его оборотов) В обычной конструкции прибора колесико не помещено точно в середине стержня АВ, но это нзменяет лишь коэффициент пропорцнональностн, который для каждого экземпляра определяют раз навсегда его калнбрнрованнем.
(Подробнее о пааннмегре а работе с пня см. Крылов А. Н,, Лекцнн о прнблвженных вычислениях, М.— Л., Гостехнздаг> 1950, гл. !Ч.1 Упражнение Трубчатая поверхность 8 (ср. стр. 197 н 199, упр. 1) является огвбающей семейства единичных окружностей, центры которых лежат на замкнутой кривой С плоскости ху, а ях плоскости нормальны х кривой С. Доказать, что объем> ограняченяый поверхностью 3, равео дание кривой С, помноженной на ж ф 3, Объем и плошадь в пространстве любого числа измерений 1. Плошадь поверхности н интегрирование по поверхности в пространстве, число измерений которого больше трех.
В л-мерном пространстве, т. ц во множестве, точками которого являются системы л чисел-координат, поверхность л — 1 измерений 11 $ а. ОБъем и плОШАдь В пРОстРАнстВе люБОГО числА ивмВРений 323 (гиперповерхность) определяется уравнением 9(хэ хь "., х„)=сопа1.
Какой-либо кусок этой гиперповерхности соответствует определенной области 8 переменных хь хь ..., х„,; при этом х„ подлежит вычислению ив уравнения р(хь ха, ..., х„)=сопа1. Площадью этого куска поверхности называют абсолютную вели. чину интеграла пх! Ых ... пх Тая Это определение является только формальным обобщением формулы для площзди поверхности в трехмерном пространстве, полученной из наглядных соображений. Оно находит, однако, известное оправдание в том факте, что величина ч не зависит от выбора выделенной координаты х Это можно доказать тем же методом, что и в трехмерном пространстве (ср.
гл. 1т', э 6, пч 3). Дая того чтобы полностью оправдать введенное дая а название «площадь куска позерхностиь, надо будет доказать, что величина а яе изменяется прв любом преобразовании переменныа х„ х„ ..., хч а новым перемеввым Е„ Е„ ..., Е„ с помощью уравнений вида Аз=уз(11 Ея ".~ Ел) (А=1 2, -з В). Это значит, что надо раньше развить общую теорию преобразования л-кратных интегралов, как в частном случае Л=2 (ср. га.!1г, $ 4), в уж затем доказать независимость величины а от таких преобразований. В принципе это яе труднее, чем в двумерном случае, и иы здесь этого излагать не ставен.
Теперь мьгдзднм определение интегралаот функцииу(хьха,...,х„) по данному выше куску поверхности и†1 измерений следующим образом: ~ ~...~~(хь х„..., хя)Ыч= Ут',+" +т*„ г(хь хь ...,х„) ' " Ых~ Ыха... а(х в и в этом интеграле имеется в виду, что вместо х„ подставлено его выражение через хь хэ ...,х„ ~ из уравнения р(хь ...,х„)=сопв1. Здесь, как и выше, можно доказать, что результат на зависит от выбора выделенной переменной х„. Как и в случае двук или трех намерений (ср.
$2, пч 1), кратный интеграл по и-мерной области 0 можно представить как интеграл по поверхности Е и — 1 измерений, который потом интегрируетсв 11" дополнения к главе ш по переменной ч, характеризующей непрерывное изменение поверхности Е. Предположим, что область 0 покрыта семейством поверхностей 9(хь хь "., х„) = сопз1 таким образом, что через каждую точку (хь ха, ..., х„) области 0 проходит одна и только одна поверхность семейства. Пользуемся по-прежнему независимыми переменными хь хь ..., х „но вместо х„ вводим новую независимую переменную 3 =у(хь хь ..„х„); тогда наш и-кратный интеграл приводится к следующему виду: Г Г У(хь ...,х«) $'т',+" +т', «1 «« т«« гй ... ' "' " Иа.
(а) 2. Плошадь поверхности в объем единичного шара в и-мерном пространстве. В качестве примера вычислим площадь шзровой поверхностн в и-мерном пространстве, т. е. площздь поверхности и — 1 измерений, выражаемой уравнением хз+ +хФ и объем ограниченного ею и-мерного тела, определенного неравенством х',+ха+...+х««в=йа. Допустим, что внутри шзра задана функция у(г), непрерывно зависящая от величины г=Ух,'+...+х*„.
Вычислим и-кратный интеграл этой функции ~ ~...)у(г)дх~ г(ха ... Ых«по объему шара х',+...+х'„~На. Для этого введем нпвую переменную г равенством г'=р(хь "., х,)=х,'+...+х«. т- -. ~'я+..;~~!.-~ ° д~=~.«. - ф.р... ~ ~ предыдущего номера получаем а ~ ~ " ~Г(г) ихю .. г(х„= ~ у (г) г1г ~... ~ гЬ = ~ у(г) ()«(г) Ыг, а з где я„(г) есть площадь шаровой поверхности х, '+...+х'„=га. Согласно нашему общему определению, площадь половины шаровой поверхности радиуса г дается интегралом г1 а а.
озьвм н плошадь в поостоанствв лювого числа нзмзввний 32б причем интеграл берется по внутренней области (и — 1)-мерного шара х,'+...+х» ~(г*. — тогда ха г' Введем теперь вместо переменных ха величины л ~Ч~ 1$=1, и мы получаем о-1 й„(г)=2г" ' ~ ~ ~ '"' ~" '=г" 'в, где в„=2 ~ ~ ... ет '" обознзчает площадь единичной шаро- С оЕо "Же»-1 1» зой поверхности Ц+...+1»=1. Отсюда вытекает, что л ~ ~...
ГЯг) г1х, ... Ых„=в„~ 1(г) г"-' йч (4) о у(г) — е ( 1+ о+- + л) е — ы При таком выборе функции Дг) имеем С» 1» с» е "'Ых) =в„~ е "г" 'й. ОЭ о Иы уже внаем, что ~ е — "'ох=1 я (см. гл. 1'ч', 2 б, и» 4), а интеграл справз вычисляем подстановкой го=й О» С» л 1 г — 1 1 гл1 е — 'иг" 'й = — е — '1а й= — Г( — ) 2 ~ 2 ~2)' 1 /11 Отсюда, в частности, получается при и = 1, что ~ е —" вг = — Г ~ — ~, о пж что Г ~ — ~ = у''к . ~ Поэтому 2 ()гт)» '® Из этой формулы можно вычислить в„следующим образом: в левой части мы распространим интегрирование на все пространство х, хо ... х„(т.
е. заставим Й безгранично возрастать), а в качествеЯг) выберем такую функцию, для которой можно вычислить в явном виде как и-кратный интеграл слева, так и одномерный интеграл справа. Для такой роли годится функция дополнения к гл»ве ш (Если и четно, то если же п нечетно, то 2 По поводу общего определения гамма-функции и начальных сведений о ней см.
т. 1, стр. 291, и ниже $6 настоящих Лополнения к гл. 1Ч.) Для того чтобы вычислить объем )г„л-мерного единичного шара, положим в формуле (А) У(г)=1, и мы получим 1 откуда 3. Обобщения. Параметрические представления. В пространстве и намерений можно рассматривать любое г-мерное многообравне при всяком г:=-и и дать определение его леры.
Зля этой цели удобнее всего польаоваться параметрическим представлением. Пусть наше г-мерное многообравие вадано уравнениями х1 = р~(пь ..., и,), хл — 1х (~гь ~ нг» причем функции у» имеют непрерывные производные в некоторой области В переменных иь ..., и„ Когда переменные иь ...,и„ пробегают эту область, то точка (хь хь ...,х„) описывает кусок г-мерной поверхности.
Иа прямоугольной матрицы (схемы, таблицы) дх, дх» дх„ дй ди, ''' ди составим теперь все воаможные определители порядка г, мы получим ~ ) таких определителей, которые мм обовначим черев»)», где '1г( дх„ дя, дх, да» дх, дх„ ди, '" ди, дх» дхх Эй '" ди, а к овъвм и площадь в пгостьанствв люзого числа измвгвний 327 1= 1, 2, ..., ~ р Первым из них будет, например, /п1 ' '" '(гР дх, ди, дх дйь дх, дхь ди, ди, дх, дх, дй дй дх, дхь дх дй, ди, '" диг х~=(Ч(иь.", и,~) (1=1. *". и) то его плоиьадь (и 1) дается такзсе интегралом .=1...(,Ягт.+...+0чд,...д, „ где 0ь есть якобиан (я — 1)-го порядка: д(хь ..., х~ ь хыь ..., х„) А/ь— д(и„..., и„,) д(и„..., и,,) д (х, ° ° х~ ~ хсы " хч) Здесь, как обычно, предполагается существование и непрерывность всех встречающихся производных. Без потери общности можно допустнты что о ФО.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
