1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Действительно, согласно теореме из предыдущего номера, всякое криволинейное разбиение можно заменить таким разбиением с помощью ломаных, что итоговая разность площадей, а стало быть, и разность соответствующих нижних сумм будет сколь угодно мала. Тем самым общий случай произвольного разбиения области на ячейки приводится к уже рассмотренному частному случаю. Доказательство не зависит, очевидно, от числа измерений.
Дополнения к теореме существования двойного интеграла (гл. 7~, й 2, пч2) вытекают непосредственно из приведенных в гл. 1Ч, й 2, и" 5 формул для оценки интегралов и не нуждаются в дальнейшем обосновании. й 2. Обобщенные фйрмулы Гульдина. Полярный планиметр 1. Об одном преобразовании двойного и тройного интеграла. Если область 0 плоскости ху покрыта семейством кривых р(х,у)= = сопя( таким образом, что через каждую точку области проходит одна и только одна кривая семейства, то можно принять величину ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ 17 аа(х, у)=а в кзчестве новой независимой переменной, т.
е. можно принять семейство линий и(х, у)= сопй .за одну из двух систем координатных линий. В качестве второй независимай переменной можно оставить величину т~ =-у, конечно, при том условии, что точки области О определяются линиями э(х, у)=сопят и у=сопят однозначно. Если ввести эти новые переменные в двойной интеграл, то он преобразуется по следующей формуле: ~ ~ у(х, у) г(ха(у = ~ ~ у(' у' (( г(а. а а В правой части будем сперва интегрировать по я при постоянном а; тогда внутренний интеграл можно записать в следующем виде: у(х, я) )/ т' +т', Обозначим длину дуги кривой л (х, у) = 1 = сопзг, отсчитываемую й )'та+~,' от какой-либо ее точки, через к тогда — = , и внутренний агч тх интеграл можно рассматривать как интеграл по з вдоль кривой ч(х,у)=а„а двойной интеграл представится в виде следующего повторного: О,у(х,у)дахау= ~а ~ у~ 'у) з — ~т((~у(",'") йа.
(1) иа т аа уча) а' ла угта+ а ' а так как то с'а,; — „- й,= у у*+в~а=~ дгай и ~. Теперь наш двойной интеграл преобразуется в новый двойной инте- грал (1,т(х, у)4хду=(( у(х,у)~йНа. Наглядный смысл этого представления легче всего понять, если допустить, что существует другое семейство кривых, ортогональное данному семейству ч(х,у)=спой; это значит, что кривые второго семейства пересекают каждую кривую данного семейства под прямым углом, т. е. по направлению вектора исайи. Каждую из ортогональиык кривых представим себе заданной в параметрическом виде, причем параметром служит длина дуги а этой же кривой. Тогда а) ь к ОБОБщенный ФОРмУлы ГУльдиня, пОлЯРный пллниметР $19 Отсюда видно, что для вычисления двойного интеграла можно вместо разбиения области 0 на прямоугольники со сторонами, параллельными осям х и у, пользоваться разбиение.и на ячейки с помощью кривых Ф (х, у) = сопя( и их ортогональных траекторий.
Эти ячейки имеют вид «кривомгнейных прялгоугольников» со сгпороналси Ьзг и Ьал Аналогичную формулу можно вывести и для тройного интеграла. Если область О пространства покрыта семейством поверхностей у(х, у, г)= сопа1 таким образом, что через каждую точку области проходит одна и только одна поверхность семейства, то за одну из переменных интегрирования можно принять величину ". = ~(х, у, г). В итоге тройной интеграл У(х, у, г)бхсйуба= б( ' + " йуйг разлагается на два последовательных интегрирования: сначала инте- грирование по поверхности Ф(х, у, г)= « = сопзй у(х, у, г) ~ У т'+т,*+у.' (см.
формулу для йо в гл. !Ч, й 6, в конце п«3), а затем интегриро- вание по «, так что ~ ~~ г(х,у, г)йхйуйг=~%О ' ' ба= = 1 ' 1 Г';,;Г„',) . 2. Обобщенная формула Гульдиня для плоскости и для про- странства. Полярный плиннметр. Формулы преобразовании двойного и тройного интеграла, выведенные в предыдущем номере, позволяют дать простое доказательство следующих теорем: 1. Если прямолинейный отрезок Е постоянной или переменной длины 1=1Я, зависящей от времени 1, двигается на плоскости, то плоиьадь Р, описанная движущимся отрезком, выражается фоулО лой Е = ~ 1(Г) ю„(1) аГ, г« где 1« и 1,— моменты временги соответствующие начальному и и онечному положениям отрезка, а о„(г) — проекция скорости сере- дины отрезка Е на направление перлсндикуляра к атому отрезку, И.
Обьем тела, описываемого движением в пространстве куска гщоскости П площади Е=ЕЯ, выражается формулой О ~ Е()еь()б" г« 320 дополнения к главе ш где ф„(Г) есть проекцин скорости центра массы куска плоскости П на нормаль к атой плоскости. В обеих этих формулах и при их докааательстве мы сначала будем предполагать, что движущийся отрезок 1. или кусок плоскости П проходит один и только один раз через каждую точку описываемой области (рис. 79). Сперва докажем теорему 1.
Уравнение прямой, на которой лежит движущийся отрезок, возьмем в следующем виде: а(г)х+р(г)у+7(г)=О, (а) ам+ ~а но его можно разрешить относительно 1 и. записать так: 1 р(х, у). Площадь фигуры, описанной отрезРис. 79. ком 7., выражается двойным интегралом Р=~ ~агха«у, который мы преобразуем по формуле (1) предыдущего номера, причем теперь У(х, у)=1 н 1=1, так что где интегрирование по а производится вдоль отрезка 1, при 1=сопз1. Подставим в уравнение (а) 1=в(х,у) и продифференцируем по х и по у; без труда найдем, что —— , 'х+1'У+7'1, причем штрихами обозначено дифференцировзние по й Стало быть, площадь выражается так: Р— ~ с(1 ~ („'х + 1 у + Т') г(з, !«с Внутренний интеграл (по а при постоянном г) равен ФН 'Х+ Р'+ 7') где Х и 1' — координаты центра массы отрезка 7., т. е. его середины (линейная плотность=1).
Но Х и У удовлетворяют уравнению аХ+р'г'+7=О. Дифференцируя это уравнение по 1, имеем а'Х+ ~РУ+)с+аХ'+ р'г = О. Таким образом, — (а'Х + р' У+ 7') = аХ' + р У' = кьф = ф„(1), где й=(а, И вЂ” единичный нормальный вектор отрезка 1., вектор б я х ововщвнныи эогмглы ггльдина. поливный пллнимитэ 32! а=(Х', У') есть скорость середины отрезка в момент времеви 1, а и„(!) обозначает проекцию этой скорости на нормаль к отрезку.
Тем самым требуемая формула доказана, но ири этом мы из двух знаков выбрали один, т. е. в сущности опустили знак абсолютной величины, а это значит, что наша формула приписывает площади фигуры, описанной отрезком Ь, определенный знак Этот знак зависит от того, в каком нз двух направлений нормали выбран вектор мч. Площадь оказывается положительнои, если середина отрезка двигается в ту сторону, куда указывает нормальный вектор мч; в противном случае площадь отрицательна.
Таким же путем доказывается и соответствующая теорема 11 для пространства с помощью формулы (2) предшествующего номера Полагаем, что нет надобности излагать здесь это доказательство. Частный случай этой теоремы, когда плоская фигура П вращается вокруг оси, сохраняя неизменными свою форму и размеры, известна в механике под названием правила Гульдина для объема тела вращению !Правило Гульдина формулируется так: объем тела, описанного вращением плоской фигуры около оси, лежащей в ее плоскости и не пересекающей самой фигуры, равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, описанной ее центром массы.
Читатель легко выведет зто правило из теоремы !Ц Объем тела по теореме И тоже получается с определенным знаком, положительным нли отрицательным, смотря по тому, двигается ли центр массы фигуры П в сторону, укавывземую нормальным вектором а' плоскости этой фигуры или в противоположную. Ясно, что при лругом выборе направления а' (из двух возможных) изменится и знак объема. Эти замечания о знаке площади и объема позволяют распространить теоремы 1 в И на те случаи, когда отрезок Ь или плоская фигура П двигается не всегда в одном направлении, либо покрывает часть плоскости (или пространства) более одного рава.
В этих случаях выведенные выще интегралы выражают алгебраическую сумму площадей (или объемов) частей описанной плоской фигуры (или описанного тела), причем каждая такая часть берется с надлежащим знаком. Предоставляем читателю разобраться самостоятельно, как это выполнить на практике. В качестве примера рассмотрим отрезок Ь постоянной длины 1, движущиися на плоскости тзким образом, что его конечные точки постоянно находятся на двух фиксированных замкнутых кривых С и С' этой плоскости (рис.
80) По стрелкам, показывающим выбранное направление нормального вектора лч и направление движения концов отрезка Ь по кривым С и С', можно определить знаки, с которыми две части плоцщди входят в окончательное значение интеграла Нетрудно убедиться, что интеграл теоремы ! дает равность площадеи, ограниченных кривыми С и С'. Если кривая С заключает плошадь, равную нулю, когда она, скажем, вырождается !1 Р, Ктяавт айй дополнения к ГлАВИ 1ч в лугу кривой, пробегаемую несколько раз„ то интеграл дает площадь, ограниченную кривой С.
Этот принцип используется в конструкции нзвестного полярного планиметра Амслера. Это — механнческнй прибор для измерения площади плоских фигур. Он состоит нз стержня АВ (играющего роль отрезка Е) конец В которого связан шарниром с другим стержнем ВП Середина М стержня АВ снабжена мерным колесиком, которое способно катиться по плоскости чертежа, вращаясь в плоскости, перпендикулярной к стержню АВ. На конце >г1 стержня В0 укреплена острая игла, которая втыкается неподвижно в какой-либо точке О С (полюсе) чертежа, а в начале А стержня АВ приделан штифт, которым обводят контур С нзмеряемой площади. Прн этом точка В описывает, очевндно, лугу окружности (возможно, многократно) т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
