1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Если желательно получить для площади поверхности такую формулу, которая была бы свободна от всякого частного допущения о рзсположении поверхности относительно осей' координат, то надо пользоваться параметрическим заданием поверхности: х=е(а, и), у=ф(и, и), г=Х(и, и). (1) Интересующему нас куску поверхности соответствует тогда определенная область Па плоскости иж Для того чтобы ввести в имеющиеся формулы параметры и и и, рассмотрим сначала такой кусок поверхности, на котором якобиан — '=й всюду положителен. д (х, у) д (и, и) Согласно гл. 111, й 3, пэ7 и п'4, на этом куске поверхности можно выразить и н и как функции от х и у, и чзстные производные от этих функций вычисляются по следующим формулам: тэ Фи уч — а„= — —, пк = — —., и„= — -.
В силу соотношений да дг да дг да да д„=да к да к + о + ду ои Р ди подынтегральная функция двойного интеграла для площади принимает следующий вид: ~" $~'+$)'= ! г = д Р Йифэ — фата) +(ФаХэ — Хафэ)'+(Хита — РРХэ)'. Стало быть, по правилам преобразования двойного интегралз к новым переменным интегрирования и и и (4 4), получаем следующую формулу для площади куска поверхности: а = ~ ~ )' (9атьэ Фира) + (ФиХэ Ха'г'а) + (Хийэ РиХэ) ди дп (а) о В этом параметрическом выражении для площади уже ни одна из координат х, у,,з не аанимает особого положения.
Ясно, что к этому же выражению преобразуется любое из непараметрических выражений площади, в котором одна из координат играет предпочтительную роль. Каждая нз этих непараметрических формул пригодна на таком участке поверхности (1), на котором не обращается в нуль хотя бы один из якобианов д(у,г) д(х,а) д(х,у) д(и, а) ' д(и, и)' д(и, и)' а следовательно, формула (а) дает площадь любого куска поверхности (1), в каждой точке которого хотя бы один из трех якобианов отличен от нуля.
з к пРилОжения к геометрии Параметрическое выражение (и) для площади поверхности можно привести к другому, замечательному, виду. Пля этого воспользуемся гауссовыми коэффициентами (гл. ш, й 4, п' 2) квадрата линейного элемента поверхности (1): г(зэ = Е йта + 2Е йг гЬ + 0 тЬэ, т. е. выражениями Е=фй+фй+Хй Г'=9и9и+фифи+ХиХы 0=фи Г фи+Хи' Несложное вычисление дает' ЕО Е = (фифи фита) + (фаХи уифи) + (Хати раХи) (ср. стр. 181), а это — подынтегральное выражение в формуле (и). Следовательно, формула для площади куска поверхности (1) принимает следующий вид: .=~~У'Еа — ЕЧ Ь, (,*) о а выражение элемента площади э(о = У Еа — у'з йт гь. В качестве примера вычислим снова площадь и сферы радиуса тг, но на этот раэ по ее параметрическому заданию: х=егсоаиыпо, у=агнии ыпо, а=тесово, где и и о изменяются в области 0(и(2и, 0(о~и.
Отсюда Ла =тси ип о гГи йо. Несложное вычисление приводит к повторнону интегралу эи и = Уса~ йи ~ ап о тГо и дает дая площади сферы тот же результат и = 4атга. Рассчитаем, какой внд примет формула (,*,) в приложении к поверхности вращения; пусть эта поверхность образуется при вращении кривой а=у(х) плоскости хг вокруг оси г. В качестве параметров возьмем полярные координаты г=и, В=о в плоскости ху. Наша поверхность вращения будет тогда представлена следующими парамегрическими уравнениями: х=псозп, у=пз1по, л=т()/ха+у)=У(п). Гауссовы коэффициенты имеют такие значения: Е=1+(у"(гт)1э, Е=О, 0=ага; элемент площади 296 Гл.
!ч. калтнып интигяллы а площадь пояса поверхности вращения между плоскостями и х=га (которым соответствуют значения параметра н=п, ни=на) выразится так: ал ал ал =1~1 гт+7Ме= 1 ч~ч-и!чг . о аа и1 Если ввести в качестве параметра вместо л длину дуги л меридианной кривой я=у(гт), то формула для площади пояса лоаархносглп вращении приведется к виду а=2 ~ л!1з, ла где н=и(з) есть расстояние от той точки вращающейся кривой, которая соответствует знзчению л, до оси вращения (правило Гулькина„'ср. т. 1, стр. 329). В качестве примера вычислим площадь тора (ср. гл, Ш, 9 4, конец и 2), порождаемого вращением окружности (у — а)'+л'=г' вокруг оси л.
Пусть а~О н О(г(а. За параметр примем длину дуги л окружности, отсчйтываемую от точки у=и+г, л=о против часовой стрелки. Тогда и= а ~ а+ г соа — и площадь всего тора равна г Ф жг л г а =2а ~ я ал~ 2к ~ (а+гсоз — ) аз =2еа ° 2ег. г/ о о Стало быть, площадь тора равна произведению длины вращающейся окруж- ности на длину пути, описываемого центром атой окружности. Упражнения 1. Вычислить объем телз, ограниченного поверхностью + т„+ —, = 1 (а ( 1). х. Вычислить объем, отсекаемый от параболоида — +-=л х' ул ~л 02 плоскостью л = и. 3. Найти объем, отсекаемый от злливсоида х' у' хе + — +т=1 а' Ь' сл плоскостью 1х+ му+ лл=р.
Я. На поверхности, заданной з сферических координатах г, 0„ у уравнением г' = а' соз 20, начерчена какая-либо замкнутая кривая 0=/(0). $ т. пРилОжения к Физики а) Показать, что площаль участка поверхности, ограниченного втой кривой, равна плошали центральной проекции этого участка на сферу г=а, причем центром проекций является полюс (начало координат). б) Выразить эту площадь простым определенным интегралам. в) Найти площадь всей поверхности. б. Найти площадь поверхности сфероида, полученного вращением эллипса вокруг своей большой оси, и показать, что если ложно пренебречь четвертой и более высокими степенями эксцентриснтета ы то эта площадь равна площади поверхности шара, объем которого равен объему сфероида. 6.
Вычислить объем и площадь поверхности тела, полученного вращением треугольника АВС вокруг стороны АВ. 7". Трубчатая поверхность является огибающей семейства сфер радиуса 1, центры которых образуют замкнутую плоскую кривую 7.. Доказать, что площадь ь этой поверхности равна длине кривой 7., умноженной на 2ч.
йь. Из шара хь+уэ+ха ~а вырезаны отверстия двумя цилиндрическими поверхностями х'+уа — ах = О и х'+у'+ ах = О. а) Вычислить объем оставшейся части шара. б) Вычислить площадь оставшейся части поверхности шара. 9. Вычислить площадь той части винтовой поверхности а у — х ге — =О л для которой г"=х +уь~)7, га)( — гг. 10.
Вычислить площаль поверхности (х'+ у'+ л')' = хэ — у'. В 7. Приложения к физике В й 2, п' 7 было уже показано, каким образом понятие массы связано с понятием кратного интеграла. В этом параграфе мы займемся некоторыми другими понятиями механики. В первую очередь мы рассмотрим статический момент и момент инерции более подробно, чем это было возможно в т. 1, гл. Х, Э б, п' 7. 1.
Статический момент и центр массы (центр тяжести). Статгтески.и моментом материальной точки массы гп отноглгиельно плоскоспги ху называется произведение Т, = т«ее массы т на апплгтату «. Соответственно этому статическим моментом относительно плоскости у«называется произведение Т =тх, а относительно плоскости «х — выражение Ту = ту. Статические моменты нескольких материальных точек находят слозкенггем, т. е.
статические моменты системы и масс тг, ть ..., т„, сосредоточенных в точках (хг, уь «1), ..., (х„, у„, «„) относительно плоскостей у«, «х н ху, определяются соответственно выражениями Т„= ~ , 'т,х„Т = ~ ', т„у„Т,= ~д ', т„«„. 1 1 Если мы имеем дело не с конечным числом материальных точек, а с массой, распределенной непрерывно по пространственной ГЛ. НА КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ области либо по поверхности, либо вдоль кривой с плотностью 9 =9(х, у, г), то статические моменты такой распределенной массы определяют с помощью предельного перехода, как в т.
1 (гл. Ч, ф 2, п' 9 и гл. Х, ф 6, и' 7), и таким образом статические моменты выражаются в виде интегралов. Если, например, масса распределена по пространственной области О, то эту область разбивают на и ячеек, массу каждой ячейки представляют себе сосредоточенной в какой-либо из ее точек и находят статические моменты этой системы л точечных масс, имеющие типичный вид интегральных сумм. При л-+со с одновременным стремлениен к нулю наибольшего из диаметров всех и ячеек полученные суммы будут иметь своими пределами интегралы Т„=(д') ~9хйхауй», Тэ — — ~ ~ ~ руйхйуаг, Т,=г)~ ') )сгйхйуй», которые и служат определением статичесгспх моментов иростран- ственно расиределенной лгасси. Если масса распределена по поверхности 2'„заданной параметри- ческими уравнениями х=о(гб о), у=ф(и, о), »=у(а, в) с поверх- ностной плотностью в(ц о), то статические лсометии этой масси, распределенной ио ловерхносии У„определяются аналогичным обра- аом как интегралы Т„= ~ ~ р хна = ~ ~ рх ~/ЕΠ— РРа а йгг йо, в и Т„= г) ~ ру йа = ~ ~ ру рек 0 — РЯ йи йо, а о Т = ~ ~ р» йа = с) ~ рг )~'ЕΠ— Рч йи йо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
