1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 62
Текст из файла (страница 62)
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ при ч со. Но этот интеграл мы уже вычислили (т. ь стр. 592) и нашли, что он рззен в(! — е ")' Следовательно, 1пп ((е "' Ззлхду= !!ш я(1 — е "')=з. '~ А" м сл Если нам удастся показать, что не только взятая нами последовательность кругов, но и всякая другая последовательность частичных областей плоскости О, обладающая требуемыми свойствами, приводит к тому же пределу я, то этим будет доказано, что наш несобственный интеграл сходится и равен я. Итак, возьмем любую такую последовательность частичных областей 0„ 0„ ... Согласно условию, всякий хруг Км должен лежать внутри 0„, если ч достаточно велико. С другой стороны, любая из областей 0„ огрзничена, а потому сама содержится в круге К 1 достаточно большого радиусаМ.
Так как подынтегральная функция е " л всюду положительна, то г)е " х'охи~ е "' лалхлуа:ф е "' "'яхту. т л ла С возрастанием радиусов ш и М интегралы по кругам К н Кг стремятся к общему пределу з; следовательно, и интеграл по области 0„ должен стремиться к тому же пределу. Стало быть, предложенный интеграл сходится н равен ш Из этого факта можно извлечь особенно интересный результат, если в качестве областей О„взять последовательность квадратов ) х)(ч ,'у1~ч. Тогда интеграл ~~е л у лхлу ч можно представить как произведение двух простых интегралов (см. д 2, и* 3„ пример 3): М 5е-"'-задхгту= $ е "'Ых ) е л'Ду=~ 5 е "'лх~ =)2 $ е "'дх~ — т М з При ч — со должен получиться тот же предел в.
Следовательно, 2 1 з з в полном согласии с результатом, полученным в т. 1, гл. Ч!!1, стр, 482 — 484 и гл. Х, стр. 592. 6. 3пключительныв пймечяиия н некоторые дояолнеиня. Полезно реэюмировзть с единой точки зрения введенные в этом параграфе понятия. Наше обобщение понятия кратного интеграла наслучзи, когда определения, данные в 9 2, непосредственно ие приложимы, основано иа том, что несобствеинмй интеграл рассматривается как предел последовательности ннтегрзлов по областям 0„, которые с возрастанием У приближаются к заданной области интегрирования О, или, как принято говорить, исчерпывают эту область О. С этой целью область 0 рассматривают уже не как замкнутую, з как открытую область; прн этом все точки разрыва подынтегральной функции от- 285 ь ь.
нзсозственные кеатныз интвггьлы носят к границе области, и эту границу не включают в область О. Тогда говорят, что область 0 исчерпывается последовательностью замкнутых областей Он Оа...., 0 ..., если все эти области 0„ содержатся в О и если любая замкнутая частичная область, лежащая полностью внутри О, лежит также внутри 0„, коль скоро номер и достаточно велик.
Если эта последовательность частичных областей О„выбрана так, что каждая из пих содержит внутри себя предшествующую, то говорят, что последовательность 0„ сходится к области О монотонно. К каждой из областей О„, лежащих внутри О, определение интеграла из э 2 непосредственно приложимо; так вот несобственный пнтеграл от функции у' по области О называется сходящимся, если пнтеграл по области О„стремится к конечному пределу, не зав«иящему от выбора последоватачьности областей О„, Полезно уяснить себе следующие факты„иллюстрацией которых могут служить приведенные выше примеры.
1) Если подынтегральная функция г" нигде не отрицательна в области О, то достаточно доказать сходимость последовательности интегралов от функции У по какойлибо одной монотонной последовательности областей О„и отсюда уже будет вытекзть, что к тому же пределу сходятся цоследовзтельиость интегралов по любой последовательности облзстей 0;. Доказательство. Так как замкнутая область О„лежит внутри О, то она содержится во всех областях О„', начиная с некоторого номера п(ч). На том же основании находим, что всякая область 0„' содержится в области Ом при достаточно большом т, Так как функция У~О всюду в О, то г )г) Д(х, у) Ых «(у = г) г) У(х, у) йх бу ~ г)г )г (х, у) «(х ау, о, Прн ч-ьсо .оба крайних интеграла стремятся к одному и тому же пределу; стало быть, н последовательность интегралов ))У(х, у)йх««у оь должна сходиться к тому же пределу, что и требовзлось доказать.
2) Более того, из этой теоремы вытекает, что если интегралы от неотрицательной функции У по монотонной последовательности областей Оь, сходяп«ейся к области О„остаются ограниченными сверху некоторым числом М, то ))гбао по области 0 сходится. Действи. «елька, интегралы по областям Оь образуют ограниченную сверху последовательность, члены которой монотонно возрастают (или по крайней мере не убывают). Стало быть, эта последовательность инте«рглов сходится.
286 Гл. Рп кРАтные интеГРАл|а 6 6. Приложения к геометрии 1. Вычисление объема с помощью двойного интеграла. Примеры. Задача вычисления объема тела привела нас к определению двойного интеграла. Поэтому непосредственно ясно, кзк вычислягь объемы с помощью двойных интегралов. 1) Лвя вычисления обьема |г лллипсоида вращения х'+у' + г' а' за приводим |равнение к явному виду: Л = Ч- — Р'Π— ХЛ вЂ” У а Объем половины вллипсонда, лежащей над плоскостью ху, равен двойноы| интегралу от функции л по области К круга х'+ух ( а'. — = — а ~ра — х — у Лхоу.
ь рг 2 а,)ь К Переход к полярным координатам дает ы 0г~ — — ф' ал — г' г а'г йе = 2 а а 2 = — ~ ие о г Ьга' — г' ог = 21| — 1 г р а' — гл о'г, ь~ и,| е Тот случзй, когда функция у( О всюду в области О, легко привести к только что рассмотренному заменой У на — у. 3) Если функция г принимает в области 0 как положительные, так и отрицательные значения, то теоремы, доказанные в пунктах 1 и 2, можно применить к функции <Д1 Если окажется, что интеграл от абсолютной величины функции г сходится, то непременно сходится и интеграл от самой функции у. Это легче всего доказать с помощью следующего приема. Строим две вспомогательные функции у, и уа следующим образом: Л= у'в точках, где К) О, 1 — Г в точках, где ~» О, О в точках, где У(О, 1 О в точках, где У > О, А=~ Тогда Г"=Г", — Л.
ВсюдУ в 0 Л,=-О и Ув)О; обе эти фУнкции непрерывны там, где непрерывна функция у и, наконец, Д»~иуа(/ во всей области О. Поэтому, если интеграл от ~У< остается ограниченным для монотонной последовательности областей 0м сходящейся к О, то интегралы от г| и гх по области 0 сходятся, а вместе с ними сходится и интеграл по области 0 от их разности г"=у,— Д 287 а з. приложения к геометрии откуда и получается искомый объем 4 Ь'= — «а'Ь. 3 2) Для вычисления объема глрсхоснога зллилсоида х' у' л' а+ +с а' Ь' с' совершаем преобразование к новым, криволинейным, координатзм с помощью формул у =Ьр мп а х = ар соэ а, с якобианом д(х, у) — ' — = аЬр.
д(р, а) Тогда половина объема эллипсоида выразится так: — =с ~ ) 1/ 1 — — — — гКхлуу=аЬс )Г1 — р' рдрда О х' у' где Гу есть внутренняя область эллипса — + — ~ 1 а область гг' оередеа" Ьл ляется неравенствами О~р~1, О~а(2«. Поэтому т«1 4 — =аЬс т) Иа ррг~ — рлдр = — ", гаЬс и 1«= — ««Ьс. 2 5 3 3 3) В заключение вычислим объем пирамиды, ограниченной плоскостял<и координат и плоскостью ах+Ьу+сс — 1=0, причем числа а, Ь, с будем считать положительными. Этот объем выражается следующим интегралом: 1 Р тг= — р31 ~ (1 — ах — Ьу) дхау, г в котором область интегрирования Т есть треугольник О ( х ( —, О (у «6 — (1 — ах) 1 1 а' Ь в плоскости ху.
Следовательно, 1 — Π— а«1 а э 1 Г 1«= — э Фх ~ (1 — ах — Ьу) ду! о о внутренний интеграл (по у) равен 1 ли ах)у 2 у«1 л последующее интегрированна по х дает 1 1 (г= — (1 — ах)л дх = — — (! — ах)э 2Ьс ~ баас 1 баЬс' 288 Гл. ш. кРАтные интвгядлы Тот жс результат дает, конечно, я теорема элементарной геометрия, по которой объем пирамиды равен одной трети произведения площади ес основания па высоту. Для вычисления объема тела более сложной формы можно разбить это тело на такие части, объемы которых выражаются непосредственно дзоинымн интегралами.
Однако в дальнейшем (главным обра-. зом уже з следующей главе) мы выведем для объема, ограниченного замкнутой поверхностью, такие выражения, которые не требуют подобного рззбиения. 2. Вычисление объема с помощью тройного интеграла. Объем в цилиндрических и сферических координатах. Подобно тому, как плошадь-плоской области 0 выражается двойным интегралом объем пространственной области 0 выражается тройным интегралом распространенным на эту трехмерную область. Это в точности соответствует нашему определению тройного интеграла н выражает тот геометрический факт, что обьем тела можно вычислить следующим образом: рассекаем прострзнство на равные прямоугольные параллелепипеды, находим общий объем всех параллелепипедов, лежащих полностью з области О, а затем заставляем диаметры параллелепипедов стремиться к нулю.
ю Приведение травного интеграла для тг к виду ~ бл ~ ~ НхЫтт выражает известный из элементарной геометрии тятинцол Кавальери, согласно которому обьем тела вполне определяется заданием площадей всех его плоских поперечных сечений, перпендикулярных к некоторой прямой, например оси г. Исходя из тройного интеграла, вырзжаюшего объем тела в декартовых координатах, можно получить разнообразные формулы для вычисления объема; для этого надо только преобразовать интеграл от переменных х, у, я к различным другим системам независимых переменных.
Важнейшими из иих являются цилиндрическая и сферическая системы координат. В качестве примера применения цилтгндрттческпх координат приведем вычисление обвела итела вращения, которое образуется при врашеинн кривой х=у(г) плоскости хл вокруг оси е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
