1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 60
Текст из файла (страница 60)
76. при Ь вЂ” ьО, л-а.О. Срззу видно, что выражение в правой части имеет своим пределом интеграл ~')Дх,у)Ф,ИхА~, где у=Ф(х, и). в ~ ~ Дх, у) дх ду = ~ ~ Дх, у) Ф, Ых тЬ. Поэтому К интегралу, стояшему в правой чзсти, мы теперь применим те же рассуждения, которыми мы только что воспользовались для преобразования интеграла по области 0 в интеграл по области В, но теперь мы переведем область В в область 0' с помошью преобразования х=1я'(а, и), п=ть В результате интеграл по области В превратится в интеграл по области (У от подынтегральной функции УФ,%'и и мы окончательно получим ~ ~У(х, у)Фхду=~ ~Дх, у) Ф,Ч„г7пйи, где переменные х и у должны быть выражены через новые переменные и и о с помощью введенных выше двух составляюших кривых у=Ф(х, еа) и у=Ф(х, э„+л).
Плошадь ячейки О, (рис. 76) выражается так: а +ь Ь0, = ~ «Ф(х, па+ 7г) — Ф(х, па)«ах. х 27б а к пяеоБРАзование КРАтных интеГРАлОВ преобразований. Введя теперь результирующее преобразование у=ф(и и) х=1г(гг, и), без труда находим д(х, у) д (х, о) д (и, о) и, следовательно, якобиан результируюшего преобразования 0= =Фчж. д(х, у) д(и, о) Поэтому формула преобразования двойного интеграла („*,) приводится к тому виду (*), который был получен ранее с помошью наводяшего рассуждения. Таким образом, эта формула доказана для всех тех преобразований вида х=гу(гг, и), у=(г(гг, и), которые могут быть расщеплены на два последовательных примитивных преобразования ') х=х, у=Ф(х, и) и х=ге (гг, и), п=ж Но в гл.
П!, $ 3, стр. 170, мы видели, что замкнутую область 0 можно разбить на конечное число областей, в каждой из которых наше обшее преобразование можно разложить нз два примитивных. Правда, проведенные там рассуждения относились лишь ко всякой замкнутой области 0ь лежащей полностью внутри О. Одггако область 0г можно выбрать так, чтобы она занимала всю область О, за исключением части, имеюшей сколь угодно малую плошадь.
Поэтому формула преобразования справедлива и для всей области О. Таким образом, приходим к следуюшему общему результату: если преобразование х=у(и, и), у=ф(и, и) дает не>грерывное взаимно однозначное отображение замкнутой области 0 плоскости ху на область 0' плоскости ип, причем функигги и и (г имеют непрерывные частные производные первого порядка, а якобиан — ' д(х, у) д (и, о) = гну — (глТ всюду положителен, то ~ )г(х у)бхсу= ~ )у(Т(и, и), ф(и, и)), ' бибж о Заметим еше, что формула преобразования двойного интеграла д(х,у) сохраняет силу и в том случае, когда якобиан д ' обращается з д(и, о) нуль в конечном числе точек области, если только он при этом не ') Правда, з лоде доказательства мы предполагали, что обе производные Фл и Ч."в положительны, ио легка убедиться, что это несерьезное ограничение.
Действительно, из допунгения †' ) О вытекает только, что эти д (х, у) д (и, о) дзе производные должны иметь олинлкозые знаки. Если они обе отрицательны, то надо лишь заменить х иа — х и у на — у, что, согласно определению, не изменяет величины интеграла. Тогда оба примитивных преобразования будут иметь положительные якобианы. Гл. !т. кРАтные интеГРАлы [О изменяет своего знака. Для доказательства надо только вырезать эти точки из области О, окружив их малыми кругамп радиуса р; наша формула справедлива для остающейся области.
Заставим теперь р стремиться к нулю; в силу непрерывности всех участву[оших функций, придем к выводу, что формула преобразования справедлива и для области О. Этим фактом пользуются всякий раз, когда вводится полярная система координат с полюсом, лежащим внутри области, ибо при этом якобиан преобразования равен г и, стало быть, обращается в полюсе в нуль. В гл. Ч, й 4, стр. 400, мы еше вернемся к преобразованиям с отрицательным якобианом и убедимся, что рассуждения остаются в основном без изменения. Однако отметим уже здесь, что если якобиан Р не обращается в нуль, то дополнительное условие Р) 0 не приводит к ограничению общности, тзк как знак якобиана можно всегда изменить, поменяв ролями и и м В гл.
Ч, 9 3, стр. 397, мы дадим другой способ доказательства формулы преобразования, 2. Преобразование и-кратного интеграла к новым переменным интегрирования. Тем же путен можно, конечно, вести рассуждения и для кратного интеграла по любой и-мерной области, например, для тройного интеграла. В результате получается следующая общая теорема: Если взаимно однозначное преобразование отображает замкнутую область 0 пространства хуз... на область 0ь пространства ипв...
и если нкобиан иреобразованин д (х, у, л, ...) д (и, о, иь ...) всюду положителен, то и-кратный интелрал иреобравуетси ио следующей формуле: ~')...)Дх, у, х, ...)йхйубю..= =У...Р(х у,,,...)д( У' ")йийпб .. Заметим, что якобиан преобразования в пространстве и измерений представляет собой определитель и-го порядка, строение которого аналогично строению якобиана в двумерном случае.
Примером может слтжить преобразование прямоугольных декартовых координат в полярные. )В плоском случае вместо и и о следует писать г и О, и сразу получится длл якобиаиа выражение †' = г, что согласуд (х, у) д (г, О) ется с реаулыатом, полученным в гл. !И, $3, и' 4. Таким образом, ($У(х,у) Фхду=$ $У(гсгвз, гл[пВ) гйгда. о о В случае полярных координат а пространстве (сферяческих координат) формулы преобразования имеют следующий внд: х=гжп В солт, у=ганза[ив, л=гсоаВ, 0 к пэповразований кватных интпгвздов 277 где О~О~к, 0~ р~ 2«ь О(г <+со.
Теперь мы должны положить и =г, о=0 и те=э, и для якобиана Р получится следующее выражение: Мпэ р сабе 0 — гп 0«от р ар= ' ' -= мпбми р гсозэми р гзшэсозр =г'мпО. соз 0 — г зш 0 0 Поэтому преобразование тройного интеграла от прямоугольных к сфери- ческим координатам производится по следующей формуле; ) ~ $ У (х, у, г) ях цу ц'« = ) ~ $ у (х, у, г) г' мп О о'г ц'0 эчр. Как и в стучае преобразования двойного интеграла к полярным координатам на плоскости, эту формулу' можно получить и не прибегая к общей теории. Надо лишь воспользоваться разбиением пространства на ячейки с помощью шаровых поверхностей г = сонат, полуконусов 0 = сонат и полу- плоскостей е= Санат.
Выполнение этого элементарно-геометрического подсчета можно предоставить читателю. При переходе к полярным координатам в прострзнстве якобиан )г преобразования обращается в нуль, если г = 0 нли О = О, или 0 = «1 таким образом, сделанные в общей теории допущения не выполняются во всех точках оси г. Тем не менее формула преобразования тройного интеграла сохраняет силу, в чем можно убедиться тем же способом, которым мы успешно воспользовались для плоской области. Упражнении у — ц 1'.
Вычислить ) )е" гц Ых яу по области, ограниченной треугольником с вершинами (О; 0), (О; 1), (1; 0). их~у 2. Вычислить ~ ~ 1... а) по области, ограниченной одной петлей лемнискаты (х'+у')' — (х' — у') =0; б) по области, ограниченной треугольником с вершинами (О; О), (2; О), (1; У'3). х' у' 3. Вычислить )))хугохауцг по объему части зллипсанда —,+ —,+ «э + —,(1, х~О, усе О, г)0.
с* — цэ 4. Доказать, что ~ ~ е (я~+у~1 Их Фу= ое ца три (где область ту иэ+ иц о есть полуплоскость х~я~О), пользуясь преобразованием х'+у'=и'+о', у=ох, 6. Даказатьь что )Ц(и'+ и') ах ау~ не изменяется при инверсии. 6. Вычислить тройной интеграл из упр. 4, стр. 270, пользуясь переходом к сферическим координатам.
7. Вычислить интеграл )= Я соз(хе+уз+ гь) 40 с(ч Ж по объему шара От+От+0«<1, 2т.), (г) 8. Докаэатть что ~ ~ соэ(х(+ут)) ц040 =, где г= г х'+ у', гглн областью интегрирования служит круг Оэ+Чт~!, а Ут есть символ бесселевой функции, определенной в упр. 5, стр. 246. 278 ГЛ. ЦА КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ $ Б. Несобственные кратяые интегралы При изучении функций одной переменной мы встретились с необходимостью обобщить понятие определенного интеграла на такие функции, которые не являются непрерывными в замкнутом промежутке интегрирования.
И мы действительно ввели в рассмотрение интегралы от функций, имеющих разрывы первого рода (конечные скачки), интегралы от функций, обращающихся в бесконечность в отдельных точках промежутка интегрирования, а также интегралы по бесконечным промежуткам. Теперь нам предстоит выполнить аналогичное обобщение кратного интеграла. 1. Интеграл от функции, имеюшей конечные разрывы. Для функции, имеющей в облзсти интегрирования 0 только конечные скачкообразные нарушения непрерывности, способ обобщения понятия кратного интеграла напрашивается сам собой. Достаточно будет пояснить этот способ на примере двойного интеграла по области 0 плоскости ху. Предполагаем, что область 0 можно разбить конечным числом глздких ') криволинейных дуг на конечное число таких частичных областей или районов Оь Оь ..
„ 0„, что подынтегрзльная функция Г(х, у) непрерывна внутри каждого района, а когда точка приближается изнутри каждого района к его границе, то значение функции в этой точке стремится к определенным предельным значениям (вообще говоря, различным для разных точек границы).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
