1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 55
Текст из файла (страница 55)
интеграл функции Х(х, у) = =Р(г, 6) по области 0 можно теперь рассматривать как предел суммы ~~Р (гь йг) ЬОв где Рг(гв 6~) есть произвольно выбранная точка ячейки Оь Сумма распространяется на все ячейки О„лежащие полностью внутря области О, а переход к пределу осуществляется путем одновременного стремления й -ь 0 и й -ь О. Площадь каждой ячейки Ог, лежащей в кольце между окруж- ностями с радиусами г = рй и г д =(н+ 1) й, выражается з 3. интеГРАл От непРЯРыВнОЙ ФУнкции по ОБлАсти 251 (з так: До,= — (ГР+! — „)ДО= — (2(ь1 — 1)д И это вытекает из известной формулы элементарной геометрии ддя площади кругОвого секторз.
Полученному выражению можно придать другой вид, введя в рассмотрение радиус промежуточной окружности г .„, + г„ р„= 2, з именно: До! = ЬРДГДО = р«ИИ. Х Примеры. 1) Простейший пример дает функция у(х, у) =!. Интегральная сумма для этой функция не зависит, очевидно, от способа разбиения области 0 и всегда равна ее площади. Поэтому двойной интеграл этой функции по области 0 как предел интегральной суммы тоже равен площади области О.
Этого и следовало ожидать, так как искомый интеграл равен объему вертикального цилиндра высотй 1, для которого область П служит основанием. 2) Вычислим ~~х !(Я, где область (> — квадрат О~х -1, О~у~ 1, Тте. перь у(х, у) =х. Этот интеграл дает, очевидно, объем прямой треугольной призмы, одно нз боковых ребер которой совпадает с осью у. Объем призмы, 1 а следовательно, н наш двойной интеграл равен —. Проверим этот резуль- 2' тат, пользуясь зналнтическим определением двойного интеграла. Для этого 1 разобьем наш квадрзт () иа квадратики со сторонами длиною И= — паршгн!' лельными осям.
За точки ($!, Ш) примем нижние левые вершины каждой квадратной ячейки. Тогда каждый из квадратиков вертикальной полосы, левый край которой имеет абсцнссу «И, дает интегральной сумме член «И ° И'=«И', а все и квадратиков втой полосы дают сумму я«И'=«И'. Это выражение надо просуммировать от «=О до «=л — 1: л — ! а — п(п 1) а— Х '= 2 2 Р-О 1 Это и есть наша интегральная сумма; ее предел при И О равен — что 2' и подтверждает результат, полученный геометрическим путем.
3) Функция у'(х,у) =Т(х) ф(у), т. е. представляет собой произведение функции, зависящей только от х, на функцию, зависящую только от у. Область интегрирования есть прямоугольник )с со сторонами, параллельными осям координат о(х(Ь, л~у~р. Разбиение области интегрирования мы произведем тем же способом, что и на стр. 249, и воспользуемся той же двух-индексной нумерацией. Тогда искомый двойной интеграл будет пределом суммы м — !л — ! ,У', Т 6«) ф (Ч,) Аязу ,-0.-0 262 гл. щ. квдтные интигвалы которую можно представить в виде произведения двух сумм: Хр(йв) Их Х ф(П.) Иу .
Но при Ьх О и Ьзт О первая из зтнх сумм имеет своим пределом обыкновенный интеграл ) ч(х) дх, а предел второй суммы есть )ф(у) йу. а ь Таким образом, мы доказали следующее и р аз ила: Если функция г"(х, у) может быть предстаепена как произведение деух функций Г(х) и ф(у), то двойной интезрал функции упо пряноузоеаной области ггг а ~к(Ь, а(у(3 равен произведению двух обынноеенных иннмграпое Цч(х) ф(у) б8 =$ ч(х) с!х $ ф(у) ду. а ч 4) В заключение решим задачу, в которой само собой напрашивается разбиение с помощью сетки полярных координат. Требуется вычислить ~м ~ м у(,е-гт:е:Р р~~р ( > с центром в начале координат.
Итак, область сг определяется неравенством хт +у*( !. Ясен и геометрический смысл задачи: требуется найти объем полушара радиуса 1. Строим сетку полярных координат, как было показано выше. Выражаем нашу функцию в полярных координатах г"= гг! — г'. Ячейка области П, лежащая между окружностями радиусов г =рй и г е, =(и+1) И и между полупрямыми 6 =тн н 9=(ч+1)И ~вспомним, что И= — ~, дает интеграль2а ! и /' ной сумме слагаемое .! ч / (гь ы + гв 1з причем в качестве значения функции в ячейке (У „мы выбрали то ее значение, которое она принимает на средней окружности с радиусом З„ = г, +г„ = — з —. Все ячейки, лежащие в одном кольце, порождают одинаковые 2я слагаемые, а так как число ил и= — то общий вклад всего кольца равен И ' 2а )/г! — рер И, а вся интегральная сумма равна и — 1 ~~2, /1 Злей „-о Эта же сумма, как известно, имеет своим пределои обыкновенный интеграл 1 1 — 2н 2к г )~г! — г" дг = — — )г(1 — 1')' 3 3 з Позтому ~гт — э:у а= —.
йк о в полнои согласии с известной формулой для объема шара, и аз. интегРАл От непРВРыВнОЙ Функции по Озллсти 253 4. Обозначения, дополнения, основные правила. С разбиением области интегрирования на прямоугольники связано общепринэтое обозначение двойного интеграла, ведущее свое начало от Лейбница. Исходя из записи интегральной суммы н — 1м — 1 Х ХУ((„!!,)Лхасу„ =а Р-а распространенной на все прямоугольные ячейки, переход от суммы к ее пределу отмечают тем, что заменяют двойной символ суммировании двойным анаком интеграла, а произведение величин дх и Ьу еимволо.и г(хг(у. Таким образом, вместо записи ')')у'(х, у) В!8, о в которой плошадь Д01 Заиснсна символОм а!8, двойной интеграл часто обозначают так: Д~у(х,у) Ьйу. о Подчеркнем еще раз, что символ г(хиу не следует рассматривать как произведение дифференциалоз; он представляет собой только символическое указание на переход от суммы к ее пределу при и — Рсо и т-Р оо и одновременном стремлении Ьх и Ьу к нулю.
Ясно, что н у двойного интеграла, в полной аналогии с обыкновенным интегралом, обозначение переменных интегрирования не играет никакой роли, так что ()Г)У(х, у) г(х г(у = )Г)У (и, о) г(иг(о = Г)г И, и) 1(( 1(л. о о Когда вводилось поизтие двойного интеграла, мы видели, что дли положительной функции Дх,у) ои дает обьем вертикального цилиндра, построенного на области 0 как основании и усеченного сверху поверхностью г=у(х, у). Однако при аналитическом определении двойного интеграла функция Дх,у) отнюдь не должна быть непременно всюду положительной; онз может быть отрицательной или же изменять свой знак з области интегрирования — в последнем случае поверхность г = г(х, у) пересекает область О.
Таким образом, двойной интеграл дает искомый объем с определенным знаком: со знаком плюс, если кусок поверхности г = Г"(х,у), вырезаниый цилиндром, лежит выше плоскости ху, и со знаком минус, если он лежит ниже этой плоскости. Если же часть, вырезанная цилиндром из поверхности в=у(х,у), состоит иа нескольких кусков, из которых одни лежат выше плоскости ху, а другие — ниже ее, то двойной интеграл по области 0 дает алгебраическую сумму соответствующих объемов, снабженных надлежащими знаками.
Стало быть, в частности, двойной интеграл может обратиться в нуль, лоти бы подынтегральнаи функции и не была тождественно равна нулю. 234 ГЛ. ИЧ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ с(ля двойных интегралов справедливы следующие основные правила, представляющие дословное повторение соответствующих правил для обыкновенных интегралов. Да и доказательства те же — на основании определения интеграла как предела интегральной суммы. 1) Если с — постоянная, то ')) с~(х,у) ба =с ЦУ(х,у)ЫЮ, о о т. е. постоянный множшпель можно вынести из-под знака двойного интеграла.
2) Я [Дх у) -+- й(х у)) бЮ = Ц У(х у) йЮ +' Ч й(х у) а8. о о о т. е. интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций Ясно, что это правило распространяется на любое конечное число слагаемых функций. Пользуясь этими двумя правилами и правилом вычисления двойного интеграла по прямоугольной области от функции вида в(х)ф(у) (пример 3 предыдущего номера), мы теперь уже в состоянии интегрировать по такой области любой многочлен Р(х, у). 3) Если область интегрирования 0 является соединением двух областей Ог и 0а, не имеющих общих внутренних точек, то ')) ~(х, у) йо = ~ ~ Дх, у) йо + ') '),г (х, у) йЮ, т.
е. при сложении (обаединении) областей подлежат сложению интегралы по этим 'областям. б, Свойства двойного интеграла, его оценка и теорема о среднем значении. Ряд свойств обыкновенного определенного интеграла (см. т. 1, гл. И, $ У) распространяется без изменения на двойные интегралы: а) Если г(х,у) = О в области О, то ЯДх,у)й8)О, о если же У(х,у) =О в области О, то ')) У(х, у) сК ~ О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
