1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 54
Текст из файла (страница 54)
2. Даны дважды непрерывно дифференцируемая функция у(х, у) и функция и(х, у, л), определенная следующим образом: и (х, у, л) = ~ у (х+ з аж Т, у + л Мп Т) !(Т. Доказаттч что а(нлл+ нт — и,) — и =О. Зе.Даны дважды непрерывно дифференцируемая фуниция у (х) и интеграл -~г р — з п(х, Г) =,Р, ~ У(х+У)(та — уз) Ку 1 — г Доказать, что р — 1 НЛХ= — иг+ пол 4. Функцию Бесселя уа(х) можно определить следующим образом: -~ ! — ! 1 Доказать, что ХР+ — Уа+ Ха =О х 246 Гл. гт, кРАтные ннтегРАлы 5.
При любом положительном целом индексе л функцию Бесселя У (х) можно определить так: +! ! х" е я — —, У„(х) = — —, ~ сояхг(1 — Г') ' Нд "(' — ) 3 — 1 Доказать, что 1 ° ! лц а) Гп+ —,Уи+(1 — —,! У„=О (п)О), б) Г„.!! =.Г„! — 2Лв (л ~ 1), а) г, = —.гэ й 2. Интеграл от непрерывной функции по плоской илн пространственной области 1. Интеграл по плоской области (двойной интеграл) как объем. Первое и самое важное обобщение понятия интеграла подсказано геометрической интуицией, как, впрочем, и сам обыкновенный интеграл. Рассмотрим замкнутую область 0 плоскости ху, ограниченную одной или несколькими криволинейными дугами, имеющими непрерывно вращающуюся касательную, и функцию л=Г(х,у), непрерывную в О.
Предположим сначала, что функция г не принимает отрицательных значений, и представим себе ее геометрическое изображение в виде куска поверхности в пространстве худ, расположенного над областью О. Через каждую точку границы области 0 проведем прямую, параллельную оси г! совокупность этих прямых образует цилиндрическую поверхность, перпендикулярную к плоскости ху, Построенная нами цилиндрическая поверхность, область 0 плоскости ху и заданная поверхность я=Г(х,у) отграничивают часть пространства или тело.
Мы ставим себе целью найти (или, точнее, определишь, так как такое определение еще не было дано) объем У описанного выше тела. Для прямоугольной области это было сделано подробно в т. 1, гл. Х, стр. 5801 к тому же поставленнзя задача так похожа на задачу определения площади, приведшую к понятию обыкновенного интеграла, что читателю, надеемся, ясен естественный путь к определению требуемого объема. Мы исходим из того, что знаем формулу для объема цилиндра, ограниченного двумя параллельными плоскостями; этот объем равен произведению площади основзния на высоту; объем же тела, состоящего из нескольких частей, объемы которых известны, равен сумме объемов всех его частей.
Трудность заключается в том, что наше тело, ограниченное сверху кривой поверхностью, невозможно разбить точно на такие цилиндры, но зато искомый объем можно определить как предел суммы цилиндрических объемов. а х ннтигвлл от нипвзвывной огнкцнн по овллстн 247 Разобьем область О на Дг частичных областей или ячеек Ог, Ов..., Он так, чтобы каждая из них имела кусочно гладкую границу'). Через граничную линию каждой яеейки проведем цилиндрическую поверхность с образующими, пзраллельными оси е.
Эти поверхности рззрежут наше тело на Ф столбиков. Объем кзждого такого столбика (рис. 63) не легче выразить, чем объем )г всего телз, но объем столбика можно заключить между двумя границами. В каждой ячейке О, функция г(х,у) принимает свое наименьшее значение т! и наибольшее значение М;; плошадь О ячейки О! обозначим через ДОь Тогда объем столбика, имеющего основание Оь заключается между объемами двух цилиндров с тем же основанием Оь но с разными Рис. 63. высотами: т, и Мь т. е.
между числами т,ДО! и М,ДО!. Объем У всего телз равен сумме объемов всех Л! столбиков, а стало быть, удовлетворяет неравенству Ф и Х т!дО! ~ У== Х МФдО; с-! ! ! Ф Сумма Я тзДО, называется т!жней сумлгой нашего разбиения, а ! ! и сумма Я М,ДО, — верхней его суммой. з=! Для сокрзщения речи назовем поперечником или диаметром области наибольшее расстояние между любыми двумя ее точками.
Сделаем теперь наше разбиение (с помощью дробления ячеек) все более частым, заставляя число гч' безгранично возрастать, а наибольший из диаметров ячеек О! стремиться к нулю. Тогда наглядно ясно (в )лополнениях к настоящей главе зто будет строго доказано), что нижняя и верхняя суммы будут все более сближаться, так что обвем в' можно рассматривать кап общий предел верхней и нижней сумм при )ч'-всо. Очевидно, тот же самый предел получится, если вместо и! илн М! брать каждый раз любое число, заключенное между т! н Мь например, вначение у(с!, т!!) функции у' в некоторой точке (с!, т),) ячейки О!.
2. Общее аналитическое определение двойного интеграла. Эти понятия, полученные путем геометрической интуиции, надлежит ') Напомним, что кривая называется кусочно гладкой, если она состоит из конечного числа дуг, имеющих в некоторой системе координат уравнения вида у= т (х) или х= ф(у), где т и ф — непрерывные функции с непрерывными производными. ГЛ.
1Ч. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ теперь с должной общностью аналитически формулировать и уточнить, не прибегая прямо к интуиции. Для этого действуем следующим образом. Рассматриваем функцию у(х,у), определенную и непрерывную в замкнутой области О. Показанным выше способом разбиваем область 0 с помощью кусочно гладких дуг на У ячеек О1, Оь..., Он с площадями Ь01, аба, ..., аОн.
В каждой из ячеек О! выбираем произвольно по точке (Е1, л!) и строим сумму ('н= Х ЛйО! 1=! где у!=у(Е1, т)!) есть значение функции у в точке (Еь т)!). Эта сумма называется интегральной суммой. Теперь можно формулировать о с н о в н у ю т е о р е м у: Если число М неограниченно возрастает и при этом наибольький из диаметров ячеек О! стремится к нулю, то интегральная сумма Ъ'н стремится к пределу, Этот предел'т' не зависит ни от способа разбиения области О, ни от выбора точек (Е1, т)!) в ячейках О!. Предел Р называется (двойным) интегралом функ!лип г(х,у) по области 0 и обозначается символом Цу(х, у) йЭ.
о Дополнение к теореме. Интегральная сумма Ь'и будет стремиться к тому же пределу К если суммирование производить только по тем ячейкам 01, которые лежат полностью внутри области О, т. е. не имеют общих точек с ее границей. Формулированная выше т е о р е и а с у ш е с т в о в а н и я двойною интеграла от непрерывной функции должна быть доказана чисто аналитическим путем.
Это доказательство, совершенно аналогичное . доказательству теоремы существования обыкновенного интеграла, будет дано в Дополнениях к этой главе, $1. П р н и е ч а и и е. Можно пестро!нь суммы несколько более общего вида, имеющие тот же предел. А именно, нет необходимости выбирать в качестве множителей У! прн ЬО! Такие значения, которые функция У(х,у) действительно прннимает в некоторых точках (Е1, гн) ячеек О!.
Достаточно выбирпь для А числа, отличающиеся от значений у01, ч!) на поправки, стремящиеся равномерно к нулю, когда количество А!ячеек стремится к бесконечности, а наибольший из диаметров ячеек стремится к нулю. Другими словами, вместо значений у(Е1, ч!) функции у !южно брать числа У!=у(Е1, ч!)+ а, н, причем [л! !г[ с ! , а 1нп ! = О, и тогда к и !!и! Х [У(Е!' ч!)+!!,н) Ь61=11ш ~;, 'У(Е1, ч.) ЬО! ~$У(х,у) ВЗ, ! ! 1-! Эта теорема почти очевидна, В самом деле, абсолютная величина разности этих двух сумм есть а) в к ннтзгвлл от ннпвввывной вгнкцни по оаллстн 249 (8 обозначает площадь всей области О). Например, еслиу(х,у) = Р (х,у) О (х,у), то можно выбрать Д~=РсО„где Р! н О! суть наибольшие значения функций Р н О в ячейке Оь которые, как правило, достигаются зтимн функциями в разных точках. Поясним теперь понятие двойного интеграла путем рассмотрения различных способов разбиения.
Простейшим является тот случай, когда область О есть прямоугольник и:.- х =: Ь, а (у ( !)! тогда естественно выбрать в качестве частичных областей (ячеек) О; тоже прямоугольники со сторонами, параллельными осям координзт. Для их построения разделим интервал на оси х на т равных частей длиною Ь вЂ” я Ь = —, а интервал на оси у на и равных частей длиншо )! — и Ь= —. Точки деления обозначим соответственно буквами хе — — и, л х>, хз,..., х =Ь и уз=а,уьуз,, у„='р. Через точки деления оси х проведем прямые, параллельные оси у, а через точки деления оси у — прямые, параллельные оси х.
Ясно, что И=та Все ячейки являются равными прямоугольниками с площздью Щ=йй=йх бу, если положить Ь=дх, л=ду. В качестве точки Рг(ег, т)!) можно взять любую точку в каждом прямоугольнике и затем составить интегральную суиму яя> ХУ(Еь тн) бхбу ! ! по всем прямоугольникам нзшего разбиения. Заставим теперь числа лт и и одновременно неограниченно возрастать; тогда наша сумма будет стремиться к пределу, и ее пределом будет двойной интеграл функции у по прямоугольнику О.
Каждый из прямоугольников-ячеек можно пометить двумя индексами р и ж соответствующими координатам левой нижней вершины прямоугольника: х=а+рй, у=а+тИ причем ч пробегает целые значения от О до (л — 1), а р — целые значения от О до (ш — 1), При таком расположении прямоугольников по индексам р и ч естественно н удобно записать нашу сумму в виде двойной суммы: >я-! я — ! Х ХУ(1, ть)Ахи е а ° о но для этого мы должны выбрать точки Р! так, чтобы они лежали по гл точек на прямых, параллельных оси х, и по и точек на прямых, пзраллельных оси у, Разбиение области О на ячейки проведением прямых, параллельных осям координат, оказывается часто целесообразным и в том случае, если вта область не является прямоугольной (рис.
64) Мы строим на плоскости ху прямоугольную сетку прямых, параллельных осям: х=рд (р=О, '+ 1, '+ 2, ...), у=тЬ (р,=О, + 1> + 2, ...), 260 Гл. пп КРАтныз интнгвллы причем й и й — произвольно выбранные числа, определяющие размеры каждой ячейки сети. Затем мы отбираем все те прямоугольники, которые полностью лежат внутри заданной области О. Эти-то прямоугольники и будут нашими ячейками Оь Правда, они не заполняют всей области О, которая содержит кроме них еще и некоторое коли- чество ячеек Ов примыкающих Ы к границе.
Эти последние ячейки уже не являются прямоугольниками: граница каждой такпй ячейки содержит, в качестве своей части, дугу граничной кривой области О. Однако на основании дополненяя к теореме существования (начало в этого номера) двойной интеграл л от функции г по области О можно вычислить, беря предел суммы, Рис. 64. распространенной только на внут. ревнив ячейки области О.
Часто применяется и другой способ разбиения — с помощью сетки полярных коордггнат (рис. 65). Пусть полюс 0 системы полярных координат лежит внутри нашей области. Весь угол 2я, 2я окружающий полюс, делим на л частей, величиной Ь6= — =й л каждая, и выбираем еще одну величину Ьг=й. Теперь строим полупрямые 8=ай(я=О, 1,2,..., и — 1), выходящие из полюса, и концентрические окружности с центром в полюсе и радиусами вг гя=рй (р=1, 2, ...). Эти два семейства линий разбивают плоскость на ячейки, изображенные на рис. 66. Те ячейки, которые лежат полностью внутри области О, обозначим через Оь а их площади — через ЬОь ).(войной Рнс. 65.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
