1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 49
Текст из файла (страница 49)
мума или минимума в стационарной точке. Такие достаточные условия мы здесь выведем для типичного случая двух нааависимых переменных. Рассмотрим стационарную точку (х„у,) функции г(х, у), т. е. точку, в которой обращаются в нуль обе частные проивводные первого порядха у и ~. Наличие или отсутствие в этой точке экстремума аависит от того, сохраняет ли полное приращение У (хо+ " Уо+ Ь) — У (хо Уо) один и тот же анан при всех достаточно малых вначениях Ь и Ь или нет. Разложим это выражение по формуле Тэйлора (гл.
П, 6 6) с остаточным членом йь Так как уе(хь уо)=О и Уу(хо Уо)~О то требуемое равложение принимает следующий вид: У(хо + Ь уо+ Ь) — г (хо уо) = = 2 (Ь Ло(хь уо)+ 2ЬЬУу (хь уо)+ ЬУуу (хь уо))+ ар э о где р'=Ь'+Ь; а о-ьО, когда расстояние р-з.О. Отсюда видно, что в достаточно малой окРестности точки (хо, Уо) поведение полного приращения функции У(хо+ Ь, уо+Ь) У(хь уо) определяется свойствами выражения Я(Ь, lг)= айо+2ЬЬЬ+сЬо, где, для сокращения ваписи, введены следующие обозначения: Лх(хь Уо)=а Лу(хо Уо)=Ь, ~хт(хь Уо)=с. Выражение (е(Ь, Ь) представляет собой однородный многочлен второй степени относительно Ь и Ь или, как принято говорить, квадратичную форму. Для решения вопроса о наличии в точке (хо, уо) экстремума надо исследовать квадратичную форму (е(Ь, Ь).
2. Исследование квадратичной формы ое(Ь, Ь). Исходим из допущения, что коэффициенты формы а, Ь, с не равны одновременно нулю. Этого исключительного случая, когда а=д=с=О, мы не 222 дополняния к главк ш будем рассматривать; отметим лищь, что для его исследования надо взять формулу Тэйлора с остаточным членом более высокого порядка, чем Йэ. Относительно квадратичной формы Я возможны три различных случая. 1) При всех значениях Ь и Ь форма Я принимает значения одного лишь знака и обращается в нуль только при Ь=Ь=О. Такая форма называется определенной квадратичной формой, притом пололсителано определенной, если этот неизменный знак положительный, и отриг(отельно определенной, если он — отрицательный.
Так, например, форма Ьэ+Ь', которая получается из ье при а=с=1 и Ь=О, является положительно определенной, а форма — Ьэ+ 2ЬЬ вЂ” 2Ьэ= = — (И вЂ” А)э в Ь' есть отрицательно определенная. 2) Форма способна принимать значения, различные по знаку; например, форма ° ьт=2ЬЬ принимает значение 2 прн Ь= 1, Ь = 1 и значение — 2 при Ь= 1, Ь= — 1 или форма Ь' — Ь' имеет значение — 3 при Ь = 1, Ь = 2 и значение 8 при Ь= 3, А = 1. Такая квадратичная форма называется неопределенной. 3) Существует, наконец, третья возможностгн форма способна обращаться в нуль и при значениях Ь и Ь, отличных от нуля, но-при прочих значениях этих переменных она сохраняет неизменный знак. Такие формы называются полуопределеннымц Примером может служить форма (Ь+Ь)э, которая обращается в нуль всякий раз, как Ь= — Ь, а при всех других значениях переменных она положительна.
Нвадратичная форма Я =аЬ' + 2ЬЬЬ + сй' является определенной формой в том и только в том случае, если ее дкснрпмпнант ас — Ьа) О. В этом случае коэффициенты а и с не равны нулю и имеют одинаковый знак; если этот общий знак положительный, то форма положительно определенная, если же — отрицательный, то форма отрицательно определенная. Форма Я является неопределенной в том и только в том случае, если дискриминант аеэ — Ьэ( О. Наконец, полуопределенная форма вполне характеризуется равенством ее дискриминанта нулю: ае — Ьэ=О. Наметим путь вывода этих критериев. Если а с=о, то обяэатеаьио Ь ф О и форма 9= 2ЬЬЛ, очевидно, неопределенная; вместе с тем ае — Ьэ = ьв ~ о Допустим теперь, что а и е ие равны одновременно нулю.
Так как эти коэффициенты и~рают в О симметричную роагь то можно, беэ уменьшения а1 з ь достлгочныв ксловия экстввмгма агнкцнн двгх пвянминных 223 общности, предположить, что афО. Тогда айа+2ЬИИ+еда=а~ ~И+ — И) +, Иа~. Теперь очевидно, что если аг — Ьа»О, то форма определенная и принимает значения того же знака, что и коэффициент а. Если ас — Ь'=О, то форма поауопрелеаенная, ибо она тогда обращается в нуль при всех значениях И Ь и И, связанных равенством И= — — И, а при всех других значениях пере- а манных сохраняет постоянный знак. Наконец, если ас — Ьа.СО, то форма неопределенная, так как з этом случае она принимает значения различных знаков.
Действительно, если И = О, то значение формы будет того же знака, Ь что а; если же И+ — И=О, то знак формы противоположен знаку а. а 3. Достаточные условия максимума и минимумп. Докажем теперь следующие достаточные критерии наличия в стационарной точке максимума и минимума. Если квадратичная форма Я(й, й) является положительно опре- деленной, то стационарное значение, принимаемое функцией при И=И=О, является ее минимумом. Если эта форма отрицательно определенная, то стационарное значение есть максимум функции.
Если же форма неопределенная, то функция не имеет в стационарной точке ни максимума, ни минимума; такую точку мы назвали (гл. Ш, ф б, и 2) седловиной или точкой перевала. Стало быть, определенность формы се является достаточным условием экстремумз, а неопределен- ность формы исключает возможность экстремума в стационзрной точке. Полуопределенный случай приводит к сложным рассуждениям, и мы его не будем рассматривать. Для доказательства рассмотрим отношение „, ', и убедимся, что О(И, И) оно является функцией двух величин и = и о= Ьгйт+ Иа )~И + йа —, = апа + 2Ьио+ еоа, причем иа+ а'=1. Если форма Я положительно определенная, то мы воспользуемся тем, что выражение — как непрерывная функция 1) И'+ Иа от и и о должно достигать на окружности из+па=1 (в некоторой ее точке) своего наименьшего значения 2т.
Это число 2т, очевидно, положительно; оно не равно нулю, так как на нашей окружности и и о нигде не обращаются в нуль одновременно. Поэтому в точках, лежащих на окружности из+па=1, (е- 2иа(йа+Иа) 2тра а следовательно, для этих точек у(ха+ й, уа+ й) — у(ка, уа) = — я (й, й) + ар' » (т + з) р'. 1 224 дополнвния к гллвв ш Выберем теперь р столь малым, чтобы абсолютная величина числа о гл была меньше чем —; тогда в точках, лежащих на окружности 2' по+по=1 Х(хо+й Уо+й) — У(ха Уо)о-~.р' Поэтому в выбранной нами окрестности точки (ха уо) значение функции г всюду больше, чем У'(ха уой за исключением, конечно, самой точки (ха уо) и (ха уо) есть точка минимума.
Аналогичным путем можно доказать, что если форма отрицательно определенная, то в точке (хо, уо) функция имеет максимум. Наконец, если форма Я неопределенная, то существует такая пара значений (йо, йо), при которой Я отрицательна, и такая другая пара (Ьа йо), прн которой Я положительна. Поэтому можно найти такое положительное число т, что Я(йп йо)( — 2тр'„Я(йа йо) >2трао где ро=й,*+й,' и р,'=)4+йа Рассмотрим теперь переменную точку (хо+Ь, уо+й), лежащую на прямой, соединяющей точки (ха уо). и (хо+йь уо+йо) и пусть ро=йо+йо; тогда Ь=гйо н й=(йо (о~ 0).
Так как Я(Ь, й)=РЯ(йь й,) и р'=Сор,*, то имеем соответствующее неравенство ьг(й, й)( — 2тро. Поэтому путем выбора достаточно малого г (а следовательно, и соответствующего р) можно сделать приращение ~(хо+ й, уо+ й)— — у(ха уо) отрицательным. Для этого надо лишь выбрать г настолько малым„чтобы при й=гйо и й=ойо абсолютная величина числа о была меньше, чем —. Тогда будет 2 Пхо+Ь уо+й) — у(ха уо)( — 2 Р ~ т.
е. значение функции в точке (хо+Ь, уо+й) меньше, чем в стационарной точке (ха уо). Подобным же образом, рассматривая точки прямой, соединяющей (х„уо) с точкой (хо+Ьа уо+йо), т. е. полагая й=гйо и Ь=ойа обнаружим, что в сколь угодно малой окрестности точки (ха уо) существуют точки, в которых значение функции Г превосходит Дхо, уо) Таким образом, если для стационарной точки форма Я неопределенна, то нет ни максимума, ни минимума; вместо экстремума там оказывается седловина.
й а ь достлточиыв головня экстрвмэмл ьрнкцнн двгх пврвмвнных 22б Если а=Ь = с= 0 в стапионарной точке, т. е. если квадратичная форма тождественно равна нулю, а также если форма полуопределенная, то наше исследование отказывается служить. Формулировка достаточных критериев для этих исключительных случаев слишком сложна, да и вывод сложен. В итоге мы имеем для решения вопроса о максимумах и минимумах следующее правило: Если в точке (хь уь), удовлетворяющей уравнениям у (х, у)=0 и Уу(х, у)=0, выполняется неравенство > лх.>уз > лну ~ О то в этой точке функция у(х, у) имеет эксгпремум. При этом >лл(хь Ун) и ухл(хь уь) имеют одинаковый зкащ если их общий знак есть минус, то у(хь уь) является максимумом, если — плюс, то минимумом. Если, капротив, в стационаркой точке Лм>еду Ллу С 0> то функция не имеет экстремума в этой точке.
Случай ӄЄ— Ду=О остается здесь невыясненным и требует дополнительного исследования. Эти критерии допускают простое геометрическое истолкование. Необходимые условия У =1„=0 утверждают, что касательная плоскость к поверхности в=у(х, у) горизонтальна. Если в точке (хь уь) функция действительно имеет экстремум, то в окрестности этой точки касательная плоскость не пересекает поверхности.
Если же (хь у,) является точкой перевала(седловиной), то касательная плоскость пересекает поверхность по кривой, имеющей несколько ветвей, проходящих через исследуемую точку. Эта картина станет более ясной после изучения особых точек, в следующем параграфе. 4. Примеры. 1) Найдем лкстрецумы функции У(х> у) =хн+ху+у'+ах+Ьу. Приравнивая нулю частные производные первого порядка, получаем систему двух уравнений 2х+у+ а=О, х+2у+Ь=О; 1 1 решив эту систему, находим точку х= — (Ь вЂ” 2а) у= — (а — 2Ь). 3 ' 3 Выражение г / — Улн =3~0 всюду, следовательно н в найденной точке; стало быть, в атой точке фУнкциЯ имеет лкстРемУм, а так как Улл= =2)0, то именйо минимум.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
