1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 48
Текст из файла (страница 48)
+Л р для которой следует записать т необходимых условий свободного экстремума дР дР дР дх, ' дх, ' ' " дхь — =0 — =0 ... — =0 (при вычислении частных производных считать Л,, Ль ..., Л постоянными). Полученные и уравнений вместе с гн данными уравнениями связей юг=О, у,=О...„у„=о 216 гл. пь постРоение диФФеэенциального исчислении р образуют систему т+и уравнений с т+п неизвестными хь хэ ..., х„, )ч, АФ ..., ), .
Этим уравнениям обязательно удовлетворяют координаты любой точки экстремума данной функции У, если толысо не имеет места тот исключительный случай, когда в этой точке обращаются в нуль все якобианы и функций уэ рэ °, р»» по т из числа переменных хь хз...,, хн По поводу этого метода неопределенных множителей важно подчеркнуть следуюшее, Сформулированное выше правило дает лишь формальный способ для определения точек, в которых только и возможны экстремумы функции; стало быть, оно дает лишь необходимое условие.
Естественно возникает вопрос, дают ли точки, найденные с помощью правила множителей, действительно максимум или минимум функции и при каких обстоятельствах, т, е. вопрос о достаточных условиях максимума и минимумз. Этого вопроса иы здесь и не затрагиваем, его исследование завело бы нас слишком далеко. Кзк и в случае свободного экстремума, в практических приложениях обыкновенно заранее известно, что экстремум существует. Если при этом правило множителей определяет точку Р однозначно и в этой точке не воаникает исключительный случай (равенства нулю всех якобианов), то нет сомнения, что найдена именно точка экстремума 7.
Примеры, Поясним практику пользования методом неопределенных множителей иа нескольких примерах, 1) Найдем наибольшее значение функции У(х, у, з) =ху»с» на сфере х'+у'+с» с'. На этой поверхности функция должна принять свое наибольшее значение, а так как сфера не имеет краевых точек, то ьто наибольшее значение должно быть максимумом. Стало быть, надо найти максимумы функции У х»у'а' при дополнительном условии х'+у'+с'=с'. Строим вспомогательную функцию р= хау»с»+ Х (х'+у'+ е' — с') и ее частные производные по х, у, с приравниваем нулю; 2ху»з»+2Х =О, 2х'уз' + 2Ху = От 2х'у'с + 2Лс = О. Те решения, в которых х, либо у, либо с равен нулю, можно опустить, так как в этих точках функция У принимает свое наименьшее значение — нуль. Остальные решения удовлетворяют уравнениям х'=у' = я', 1= — х' и х'+у'+ я' с*, откуда легко находим искомые значения координат с с с х =-»- —, у=-»- —, а=-»- —.
Р'3 ' ~'3 ' У'3 ' Во всех этих восьми точках функция принниает одно и то же значес' ние 27, которое и является поэтому ее наибольшим значением на заданной шаровой поверхности. В З. МДКОИМУМЫ И МИНИМУМЫ 217 Отсюда, кстати, вытекает, что для любой тройки чисел (х, у, г) выполняется соотношение с' х'+ '+г» у' х'у'г' ( — = 3 3 т, е. среднее геометрическое трех положительных чисел х',у', г' никогда не п евосходит их среднего арифметического.
праведлива и общая теорема, что среднее геометрическое любого количества и положительных чисел не превышает их среднего арифметического. Ее можно доказать аналогичным путем, в результате решения задачи об определении наибольшего значения функции У=-х»х»» ...х,', при дополнительном условии х'+л'+ ... +х' =с».
в - »в По поводу другого доказательства втой теоремы см. т. 1, стр. !97, упр. !3. 2) Требуется найти треугольник (со сторонами х,у, г), который при заданном периметре 2р имел бы наибольшую площадь. По формуле Герона, квадрат площади треугольника выражается следующей функцией его сторон: у(х,у, г) =*р(р — х) (р — у) (р — г). Стало быть, требуется найти наибольшее значение этой фуякции при дополнительном условии ч (х, у, «) ив п х + у + г — 2р = О; к тому же переменные х, у, г ограничены неравенствами хЯ, у)0, ггвО, х+угвг, х+г)у, у+а)х.
Эти неравенства определяют замкнутую область изменения переменных х, у, г. На границе этой области, т. е. всякяй раз, как одно из неравенств превращается в равенство, функция у везде принимает значение нуль, которое, очевидно, является ее наименьшим значением. Следовательно, свое наибольшее значение функция принимает внутри области, и именно в точке локального максимума. Строим вспомогательную функцию Р(х, у, г) =р(р — х) (р — у) (р — г) + Л(х+у+г — 2р), дифференцированием которой получим три уравнения — р(р — у) (р — г)+Л= О, — р(р — х)(р — г)-(-Л=О, — р(р — х)(р — у)+Л О. Вместе с уравнением связи х+у+ г — 2р= 0 они дмот 2р х аю у = г = — .
3' Стало быть, при данном периметре наибольшую площадь имеет равносторонний треугольник. 3) Неравенство Улльдера (Нб!пег). Докажем сначала следующую т е ар е и у: неравенство ио ~ — и» -(- — ов а » справедливо при всех и~О, о)0 и всех а) О, р ьО, для которых 1 1 — + — =1 а 218 гл.
ш. поствопннп диеэввкнцнлльного исчисления 1т Это неравенство, очевидно, выполняется, если либо и, либо е равно нулю. Следовательно, можно ограничиться рассмотрением таких значений и и е, произведение которых ие~О. Далее„нетрудно убедиться, что если неравенство справедливо для пары чисел (и, е), то оно справедливо и для ( -" —:) 1 Ц пар чисел вида ит" ' етгу' е), где à — любое положительное число. Поэтому достаточно рассматривать лишь ~ акне пары чисел (и, е), для которых ие = 1. Стало быть, требуется доказать, что для всех пар йоложительных чисел (и, е), для которых ив=1, выполняется неравенство — й+ — еС- 1.
1 1 7 Для доказательства мы поставим и решим задачу на определение на- 1 „1 именьшего значения функции у (и, е) = — и" + — ег при дополнительном л условии ие=!. Это наименьшее значение, очевидно, существует и достигается функцией У в некоторой точке (и, е), где ифО и еф.О. Стало быть, существует такой множитель ( — Л), который удовлетворяет в втой точке уравнениям и" ' — Ле=О, еР ' — Ли=О. Помножив первое уравнение на и, а второе на е, получим и"=Л и ез =Л, а так как ие=1, то окончательно и=о=!. Таким образом, наименьшее 1 „1 1 1 значение функции у = — и" + — ей равно — + — = 1, и наше утверждение 1 „1 что — и" + — из ) 1, коль скоро ие= 1, доказано.
Тем самйм доказано (см. выше) н неравенство 1 „1 ие « — и" + — еа а при условиях, перечисленных в условии теоремы. Подставим теперь в зто неравенство вместо и и е следующие выражения: и! и е= — ' —,- ег ( ~ , 'и"Г~! где ин и„..., и„и е„е„..., е„— любые не отрицательные числа, среди которых по крайней мере одно из и; и по крайней мере одно из ег не равно нулю. Просуммируем полученнйе л неравенств по 1 от 1 до я; тем самым будет доказано новое неравенство: 1 1 х (х",)'(х 1)' которое называется иерлаенеюлом 'гальдера. Оно справедливо для любых 2л чисел (ин ег), где иг)0, егтвО (1=1, 2,..., и) прн показателях а ~0 и 1 1 Р)0, связанных условием — + — =1.
Кроме того, предполагается, что по а крайней мере одно иг н одно ег йе равны нулю. 219 % 6. МАКСИМУМЫ И МИИИМУИЫ 4) Наконец, будем искать такие точки поверхности р(х,у, г) =О, в которых расстояние от данной точки пространства А (х„у„г,) до поверхности имеет экстремум. Так как одновременно с расстоянием имеет экстремум и его квадрат, то задача приводится к нахождению экстремумов функции у (х, у, г) = (х — х,)' + (у — у,)' + (г — г,)' прн дополнительном условии ч(х, у, г) =О. Составляем вспомогательную функцию Р(х,у, г) = (х — х,)'+(у — у,)'+(г — г,)'+Лр(х, у, г).
Для определения неизвестных х, у, г и Л получаем (в дополнение к уран- нению у=О) еще трн уравнения 2(х — хо)+Л|рх=О 2(у — уо)+Лру=О, 2(г — го)+Луг=О откуда х — хо У вЂ” Уо г — го рх ру Чо Это значит, что вектор АР„ идущий от данной точки А до той точки Р, поверхности, которая дает экстремум расстояния АР, является нормалью к поверхности в ее точке Р,.
Следовательно, для того чтобы прямолинейный путь от данной точки А до (дифференцируемой) поверхности бмл короче (или, напротив, длиннее) любого соседнего достаточно близкого прямолинейного пути до нее, надо двигаться вдоль нормали к поверхности. Конечно, кажлую найленную точку надо еще подвергнуть специальному исследованию для выяснения вопроса, дает ли она действительно экстремум, и если да, то какой: минимум или максимум. Для конкретности рассмотрим, например, точку А внутри шара. Точки, дающие экстремум расстояния от точки до его поверхности, лежат на концах диаметра, прохолящего через А.
Расстояние от А до одного конца диаметра есть минимум, до другого конца в максимум. Здесь минимум дает вместе с тем и наименьшее расстояние от А ло поверхности, а максимум— наибольшее. Упражнении 1. Найти наибольшее и наименьшее расстояние от точки эллипса — + — = 1 до прямой х+у — 4=0. х' у' 4 Т 2. Сумма длин двенадцати ребер прямоугольного параллелепипеда ло равна а; сумма площадей его шести граней равна —. Вычислить, каковы должны быть длины ребер параллелепипеда, чтобы разность между его объемом и объемом куба, ребро которого равно самому короткому ребру параллелепипеда, имело наибольшее значение. 3. Определить максимумы и минимумы функции (ало+луг) е " у (0(я(Ь).
4. Показать, что максимум выражения ах'+ 2лху + су' оь Г.оооо б. Вычислить максимумы следующих выражений: х' + бху + 3 за х' — ху + у' 6) + х'+уъ ' б. Определить стационарные точка функции у(х,.у)=у»~гш х — — ) и выяснить их характер. 7е. Найти полуоси а н Ь эллипса — + — = 1 нзиненьшей площади, солт Ьэ— держащего внутри себя окружность (х — !)'+уз= !. 8. Найти четырехугольник с заданными сторонами а,Ь, сия',имеющий наибольшую площадь. 9.
Какая точка шаровой поверхности хэ +у' + г' = ! наиболее удалена от точки А (1, 2, 3)? !О. Дан выпуклый четырехугольник Р,Р,Р,Р,. Найти такую точку О, расстояния которой от вершин Ро ЄЄР, имеют наименьшую сумму. х' у' г' 11. Дан эллнпсоид — + — + — = 1. Обозначим через А, В, С отрезки, л' Ь' с' отсекаемые на осях координат касательной плоскостью зллнпсоида в его точке (х, у, г), (х)0, у)0, я~О). Найти на данном эллипсонде такую точку (х, у, г), для которой величина а) А + В + С; 6) )/АЬ + 3'+ Са имеет наименьшее значение.
12. Среди прямоутольных израллелепипедов, вписанных в эллипсоид х' у' гт ~+ — + — = 1, найти тот, который имеет наибольший объем, х у~ 13. Среди прямоугольников, вписанных в эллипс — + — =*1 найти тала Ьэ кой, который имеет наибольший периметр. 14. На эллипсе бх' — бху + бу' = 4 найти такую точку, в которой касательная имеет наибольшее расстояние от начала координат. 1бе. Доказзть, что длина ! самой большой оси эллипсоида Ат'+Ву'+ Сгт+2Вху+ 2Вхг+20уг= ! равна наибольшему действительному корню уравнения ! А —— Р 1  —— Р 220 гл. ш. поствоинии диееизинциальиого исчислинии !т равен большему из корней квадратного уравнения относительно Л! (ас — Ь*) — Л (ай — 2ЬГ" + ее) + Лэ (ен — Я = О. й а и достаточныв головин экстявмкмл эгнкции двгх пкявмвнных 221 ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ ГН $1.
Достаточные условии экстремума функции двух переменных 1. Постановка вопроса. В основном тексте этой главы, в теории максимумов и минимумов, мы ограничились выводом необходимых условий экстремума Во многих случаях специальный характер решаемой практической задачи повволяет судить о природе найденной стационарной точки и выяснить, дает ли она экстремум и какой. Однако же важно иметь общие достаточные условия наличия макси-.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
