1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Если в точке Ро не обращаются одновременно в нуль все частные производные второго порядка от функции Р(«г, у, «), то геометрическим местом касательных ко всем кривым, лежащим на поверхности и проходящим через Ро, будет уже не плоскость, а конус второго порядка (действительный, мнимый, распадающийся на пару плоскостей или вырождающийся в прямую). Для доказательства рассмотрим любую кривую, лежащую на поверхности Р(х, у, «)=О и проходящую через точку Рь' пусть она задана параметрическими уравнениями =л((), у=у(с), «= () Эти функции удовлетворяют уравнению поверхности при всех значениях Д Представим себе, что они подставлены в уравнение Р(х,у, «) = О, и продифференцируем полученное соотношение два раза по ~.
Второе дифференцирование дает (ят) + ««(дт) +Р" (Ж) + х«фогт + «' 'дтлт+ ах гГ«Н'х воу воа + 2о хх,гт,гг+Рх кто +Р«дго+о о то — О. Подставим сюда х=хо, у=уо, « — «о и значение го, соответствующее точке Рь Тогда последние три члена обратятся в нуль, и уравнение примет следующий вид: Ро (~~)~+ по (глУ) + по ~~~) + 2по (гдх) ( У) + (2) й+ ' Ф.Ф.=О где значколо 0 (наверху или внизу у скобки) отмечено, что соответ- ствующая величина вычислена для точки Ро. за. осозый точки повизхностий Лля того чтобы получить уравнение геометрического места касательных, надо исключить !л†,.
1, ! -.! и ! †! из последнего уравнения и из уравнений касательных е — ло Ч уэ с яо В результате получится уравнение Рхл(1 хэ) +Рлт(т! Уэ) +Ргали лэ) +2Рлх6 лэ)Й Уэ)+ + 2Руа (т) уэ) (г лэ) + 2Рчла 6 хэ) (г — лэ) = О. Это уравнение представляет конус второго порядка, касающийся нашей поверхности в ее особой точке (жэ,уь лэ). Если касательный конус действительный, то особая точка Рэ называется конической точкой поверхности.
Если конус мнимый, то Рэ является изолированной точкой. Это кажется наглядно ясным, а строгое доказательство сложно, и мы его приводить не будем. лэ ув яв Примеры. 1) Эллипсоид —,+ —,+и=!. Имеем Р„= —,, Рх — — — „ я' В' е' 2а Р = —,. Зтн выражения обращаются в нуль только при значениях я=у~ е' ' =а=О, которые не удовлетворяют уравнению эллипсоида. Стало быть, эллипсоид не имеет особых точек. 2) Найдем особые точки поверхности Р ьи я' + л' -(- у' — 2У вЂ” Зя — 1 = О. Находим Р„=2к, Р„2у — 2, Р' =Зя' — 3.
Частные производные обращаются в нуль в двух точках; (О; 1; 1) и (О; 1; — 1), но первая из них не лежит на поверхности. Остается точка Р, (О; 1; — 1). Вычислив значения частных производных второго порядка в втой точке, найдем касательный конус б*+(ч — 1) -з(б+ !) =о. Это дебешаитвльный конус с вершиной в точке Рм которая является, стало быть, конической точкой повеэпхности.
3) Поверхность Рннят — л — у'=О. Четырем уравнениям Р=О, Р =О, Р„= О, Р =0 удовлетворяет единственная точка в начало координат. Касательный йонус в втой точке имеет уравнение Зэ + ч'=О. конус выродился в прямую 6= О, Ч = О. (Ср. пример 5 на экстремум на стр. 205.) 4) Конус второго порядка а' — х' — у' =О. Бдннственной особой точкой оказывается его вершина †нача координат, а именно конической точкой. Касательный нонус в вершине, как и следовало ожидать, совпадает с заданным конусом. б) Поверхность Рвнз' — х' — у'=0 имеет единственную точку, в которой одновременно Р, Р' Ра=О, а именно, начало координат.
Тем не менее начало 0 является обыкновенйой точкой поверхности, ибо я выражается как явная непрерывно дифференцируемая функция (проверить!) от х н зч а= (х' +ут)ок переход к цилиндрическим координатам дает г= (сш' у + эш' у)'Р р'!'. ()тсюда видно, что любое плоское сечение 232 дополнвния к гллвв ш поверхности, проходящее через ось г, есть кривая вида г= ах'!', напоминающая параболу по своему облику. Аналогичный пример дает поверхность (Ах+ Ву+ Сз+ Р)з = О, которая является плоскостью (считаемой два раза). Все ее точки, конечно, обыяновеииые, несмотря на то, что во всех этих точках Р,=Р„=Р~=О.) ф 4.
Связь между уравнениями движения жидкостн в форме Зйлеря и в форме Лагранжа Обозначим через (а, Ь, с) координаты частицы движущейся непрерывной среды (жидкости или газа) в момент времени г=О. Тогда движение можно описать с помощью трех функций х=х(а, Ь, с, 1), у=у(а, Ь, с, г), г=г(а, Ь, с, г) (Е) илн, что то 'же самое, с помощью переменного радиус-вектора г= г(а, Ь, с, г)=г(гь г), где постоянный вектор па††(а, Ь, с). [Этн уравнения позволяют проследить движение индивидуальной частицы, характеризуемой начальным положением ха †(а, Ь, с).) Скорость и ускорение движущейся частицы определяются первой н второй производными по времени Е Стало быть, вектор-скорость есть г= (х, у, г), а вектор-ускорение есть г= (х, р, г), причем как эти даа вектора, так и их координаты являются функциями начального положения (а, Ь, с) и параметра — времени й )(ля каждого значения Ь мы имеем преобразование, которое переводит координаты (а, Ь, с), определяющие начальное положение различных точек движущейся среды, в нх координаты (х, у, г) в момент времени Е Таковы уравнения движения жидкости в форме Лагранжа.
Эйлер ввел другой метод описания движения жидкости †уравнения движения з форме Эйлера. По этому методу движение жидкости задается тремя функциями Х =и(х, у, г, г), у=в(х, у, г, ф Ь =тв(х, у, г, 1), (Е) определяющими координаты 2, у, Ь вектор-скорости Г в каждой точке (х, у, г) движущейся жидкости в момент времени Е [Уравнения Эйлера дают возможность проследить в любой точке области пространства, занятой движущейся жидкостью, изменение скорости со време. нем; с другой стороны, в любой фиксированный момент времени Ф они описывают распределение скоростей в различных точках этой области.! Как перейти от уравнений Лагранжа к уравнениям Эйлера? Е(ля этого надо из уравнений (Е) выразить а, Ь, с через х, у, г и 1 и найденные функции подставить в выражения х(а, Ь, с, г), у(а, Ь, с,г), г(а, Ь, с, г), полученные дифференцированием по г тех же уравнений: и(х, у, г, Ф)=х [а(х,'у, г, 1), Ь(х, у, г, ф с(х, у, г, Я, и т.
д. Затем находим координаты вектор-ускорения нз уравнений х(а, Ь, с, г)=и [х(а, Ь, с, г), у(а, Ь, с, ф г(а, Ь, с, ~), 1) и т. д. в в. тангенциалъное пэедстазлвние заввкнкгой канвой 233 следующим образом: Х=гг,2+а„й+и,2+из и т. д. или У=и„и +иго+и,те +иь 9 =п„и +в,о+о,те +оь 2=те и+вито+те ш+тее В динамике непрерывной среды играет фундаментальную роль следующее уравнение, связывающее представления движения по Эйлеру и Лагранжу: ьт б!Уг=и,+ э„+те,= —, где есть характеризующий движение якобиан.
Предоставляем читателю доказать эту теорему, а также соответствующую теорему для двумерного случая, пользуясь различными правилзми дифференцирования неявных функций. й б. Представление замкнутой кривой с помошью семейства ее касательных Дано семейство прямых, зависящее от параметра ш хсова +ув!пз — р(з)=0, — х в! и и +у сов з — р' (в) = О. Решив эту систему уравнений относительно х и у, получим параметрическое представление огибзющей С х р(з)сова — )э(а) в!Пз,'( у =р (а) в! и а + ~> (а) соз а (2) с тем же параметром а. Уравнение (1) определяет семейство касательных кривой С и называется тангенциильныж уравнением этой кривой, где р(з) обозначает заданную периодическую дважды непрерывно дифференцируемую функцию с периодом 2я (так называемую тангенциальную функцию).
Огибающая С этого семейства прямых является замкнутой кривой, определяемой уравнением (1) в совокупности с уравнением 234 дополнения к главе !и Так как х= — (р+р)з!па, у=(р+р) сова, то сразу находим следующие выражения для длины Е и плошади Р замкнутой кривой С: )-=г (р+р)й, =г,р(а)йа а о 2 (~ У ) 2д(Р+Р)Р 2д(Р 1 г е е (Мы воспользовались тем, что))(а), как ир(а), есть функция периода 2я) Таа яаа тангенциальяой функцией лля параллельной кривой, отстоящей от линии С на расстоянии с, является сумма р(е) + с, то из полученных формул нетрудно вывести выражения для длины н площади параллельной кривой.
(Ср. т. 1, стр. 334, упр. 2! и стр. 684.) Из последних формул можно вывести изопериметрпческое неравенство ).ь) 4яр, в котором знак равенства имеет место только для окружности, Это можно выразить словесно в виде следующей теоремы: среди всех плоских замкнутых кривых данной длины наибольшую площадь охватывает окружность. Для доказательства разложим функцию р(а) в ряд Фурье (т. 1, гл. 1Х): р (а)= 2 + (аьсозйа+Ь*а!Пйф тогда )1 (а) = й (Ьь соа ди — аь з!п й а). Подставив эти ряды вместо р и р в выведенные выше интегралы и воспользовзвшись соотношениями ортогональности тригонометрических функций (т.
1, стр. 247), получим 1. = и аь, Р ~= ' ~~ а' — У (й~ — 1) (аз+ Ьь)1. Следовательно, яа', Е' 4 4я 235 Омиптлпные гпвлжниния к главе и Е' Частный случай Р= — наступит при том и только при том условии, если аа=Ьа=О при й)2, ио тогда р(и)= —,' + а,созз+Ьтз(пи, 2 в при втой тангенциальной функции параметрические уравнения (2) определяют окружность. СМЕШАННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ П! 1.
Найти огибающую переменной окружности на плоскости, проходящей через заданную точку О, и центр которой описывает центральную кривую второго порядка с центром О. 2. Если Г есть плоская кривая, а Π— ззданная точка в ее плоскости, то геометрическое место Г' ортогональных проекций точки О на касательные кривой Г называется подэрой этой кривой относительно точки О. Доказать, что, если точка М описывает кривую Г, то нодара Г' является огибающей переменной окружности, построенной на радиус-векторе ОМ как на диаметре. 3.
Найти огибающую переменной сферы, построенной на радиус-векторе ОМ (ср. упр. 2) как на диаметре. 4. Какие булут огибающие у переменных окружностей и сфер в упр. 2 и 3, если Г есть окружность, а точка О лежит на этой окружности? 5. Найти огибающую семейства окружностей, построенных на хордах 'эллипса, параллельных его малой оси, как на диаметрах 6. Плоскость движетсн таким образом, что она касается двух парабол: а=о, у'=4х и у=о, г'=4х. Показать, что огибающая этой переменной плоскости состоит из двух параболических цилиндров. 7'). Обобщить исследование достаточных условий экстремума (Доп. к гл. Ш, 91, и !) на функции и переменных и для этой цели показать следующие предложения. Пусть у(хо..., х„) — трижды непрерывно дифференцнруемая функция в окрестности стационарной точки Р,(х,", х„',..., х„'), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
