1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 50
Текст из файла (страница 50)
2) Функцяя г" (х> у) =(у — х')'+х' имеет единственную стационарную точку — начало координат. В атой точке выражение /„лу'„— улн обращается 8 Р. Курант ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ !П а нуль, и нощ критерий не дает ответа. Однако нетрудно убедиться, что данная функция не имеет в начало координат экстремума, ибо а любой окрестности начала она принимает как положительные, так н отрицательные значения. 3) Функция У(х, у) = (х — у)' + (у — 1)' имеет единственную стационарную точку х, = 1, у, = 1.
В этой точке дискримннант у у — у' абра«« ху «У щается а нуль. Однако, з отличие от предыдущего примера, эта функция имеет а своей стационарной точке (1; 1) минимум; действительно, в этой точке У(1, 1) =О, а во всех других точках У(х, у)~0. Упражнение Дава фуНКцИя т(Х), у Катарай т(а) =ЛфО И о'(а) ~0. Даяааата, Чта функция у(х) +у(у) +у(«) при дополнительном условии Е (х) Е (у) т (л) = Йо имеет при х=у=а=а максимум, если только у' (а) !! —, — — ~ )у" (а). Гт" (а) т' (а)1 ~2'(а) Е(а) 1 ф 2. Особые точки плоских кривых В гл. 1!1, 2 2, п'2 мы видели, что кривая т(х, у)=0 может иметь в точке (хо, уо), удовлетворяющей трем условиям у(хо Уо)=!.! у«(хо Уо)=0 ~у(хь Уо)=0, особенность (особую точку).
Для изучения этих особых точек предположим, что в окрестности рассматриваемой точки (хь уо) функция у(х, у) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно и что в самой этой точке производные второго порядка не обращаются одновременно в нуль. Пользуясь формулой Тэйлора с остаточным членом )ть мы аапишем уравнение кривой в следующем виде: 2Х(х, У) =(х — хо)'У««(хь Уо)+ 2 (х — хо)(У вЂ” Уо)У«у(Хь Уо)+ +(у — уо)оУ (хо, уо)+ор'=О, где ро=(х — хо)'+(у — уо)', а о-ь 0 при р-ь О. Любую прямую, проходящую через точку (хь уо), можно задать параметрическими уравнениями вида х — хо=а(, у — уо —— Ы, где т — переменный параметр, причем а и Ь вЂ” две произвольные постоянные, координаты направляющего вектора прямой; мы будем пользоваться единичным направляющим вектором, так что ао+ Ьо= 1.
Для определения точек пересечения этой прямой с кривой у(х,у)=0 подставим выРажениа х — хо и У вЂ” Уо чеРез ! в УРавненне кРивой, развернутое по формуле Тэйлорз: ао!от „+ 2аЬ!от + Ьо1оУ „+ о)о = О; а г. осовыв точки плоских квнвых 227 ив этого уравнения определятся значения параметра Ь для точек пересечения прямой с кривой. (Пало помнить, что в Х„.м У„у и утт подставлены аначения х=хь, у=уй указание на это мы, для сокращения записи, опустили.) Одно решение, 1= О, видно сразу; оно дает точку пересечения (хь уа), которая была известна заранее.
Однако замечательно, что левая часть уравнения содержит множителем гя, так что г= О является двойным корнем уравнения.' Поэтому точку (х„ уь), если она оказывается особой; называют двойной точкой кривой. Опустив множитель гг, мы имеем еще уравнение а~У'„„+ 2ад~„т+ Ь~тл+ а = 0 для определения остальных точек пересечения (неизвестное 1 содержится в скрытом виде в а, которое зависит от х и у, а следовзтельно, и от ~).
Поставим теперь вопрос: возможно ли, чтобы другая точка пересечения прямой с нашей кривой (или одна из других точек пересечения, если число их больше двух) стремилась к точке(хв уь), когда прямая стремится к некоторому предельному положению, т. е. когда направляющий вектор (а, Ь) секущей стремится к предельному вектору (аь, Ьь). Такое предельное положение секущей мы, согласно известному определению, должны называть касательной, Чтобы разобрзться в этом вопросе, заметим, что когда точка (х, у) стремится к (хь, уь), то и ь' стремится к нулю и а стремится к нулю. Поэтому, так как написанное выше уравнение при указанном вращении секущей все время удовлетворяется, то выражение агт «+2ад~„т+ЬгУхт должно тоже стремиться к нулю, когда секущая стремится к своему предельному положению.
Стало быть, координаты направляющего вектора (аь Ь,) касательной должны удовлетворять уравнению аеХ, + 2аьдвУ я+ дадут — — О. Если пара чисел аь, Ьь является решением этого квадратного уравнения, однородного относительно обеих неизвестных, то и пара ),аь ХЬь является решением. Любую такую пару чисел можно принять ва координаты касательного вектора. Присовокупив еще уравнение аь+Ьь —— 1, получим единичный касательный вектор. Возможны три различных случзя. 1) Дискриминант квадратного уравнения имеет в точке (ха, у,) отрицателысое значение, т. е.
х А,— л (о. В этом случае существуют дае различиые дейстаалгельные маса тельные. Кривая имеет узловую точку, Такую точку имеет, например, лемниската (х' +у')Я в (х' — у')= 0 в начале координат и строфоида (ха+у')(х — 2а)+а'х=О в точке хь — — а, уь — — О. 9' 228 дополнения к Главе !и Так как уравнение каждой из двух касательных в точке (хь ув) х — хв у — уч можно записать в виде = — (со своими значениями аз, Ьа), оо Ьч где теперь х и у — текущие координаты нз касательной, то, под- ставив в уравнение для аь Ьз пропорциональные нм рззностн х — хч и у — уь получим (» хв) Хсх + (х — хв) (у — уа)г + (у у )з у это уравнение выражает, очевидно, совокупность обеих касательных в узловой точке. Обратим внимание на то обстоятельство, что его можно получить, приравнивая нулю члены второго порядка в разло- жении функции у(х, у) по формуле Тэйлора.
2) В точке (хь ув) дискриминант положителен: УтУуу Хсу ) О В этом случае (действительных) касательных вообще нет. Точка (хь ув) является иэолпрованной точкой кривой. Изолированной нли уединенной точкой кривой называется такзя ее точка, в достаточно малой окрестности которой кривая ие имеет других точек. Например, кривая (х' — а')'+(у' — Ьа)'=а4+Ь' (афО, Ь~О), имеет уединенную точку в начале координат. Действительно, значения х=О, у=О удовлетворяют уравнению кривой, но зо всех другйх точках области 1х!(а г'2, /у!(Ь)'2 левая часть уравнения меньше правой. 3) В точке (хь уа) дискриминант обращается в нуль: Ухо еуу Учху — О. Тогда кривая имеет в точке (хи у,) две совпадающие касзтельные. [Подробное исследование показывает, что здесь возможны различные ситуации. Точка (х„у,) может быть точкой заострения (няаче называемой точной возврата); такой точкой является начало координат у полукубичесвой параболы у' = х' и у кривой (ау — ха)" = х' (а ф О).
(Ср. упр. 15 иа стр. 237.) У первой кривой двойной касательной является ось у, у второй в ось х. Возможна изолированная точка,как,например, начало координат у кривой у' хч (х — 1), Возможна также точка саноирихоснотния, когда через точку (х,у,) проходят две ветви кривой, причем каждая ветвь порознь ие имеет никаких особенностей в зсе же дзя кривой в целом (х„у,) является особой точкой, так кая в ней обе ветви касаются друг друга. Например, кривая у*+ х у — 2х'=О имеет точку самоприкосновения в начале координат. Эта кривая представляет собой совокупность двух парабол, у =х' и у = — 2х, касающихся друг друга в начале координат.) Мы опустили тот случай, когда в точке (х„ у,) все частные производные второго порядка обращаются в нуль.
Такой случай требует более сложных и тонких исследований, и мы нм аанимдться не будем. Через такую точку может проходить несколько ветвей кривой; в такой точке могут быть и разнообразные другие особенности, В заключение отметим вкратце связь между этими вопросами и теорией максимумов и минимумов. Так как в стационарной точке 229 а д. ОСОБые тОчки поверхностей (хну,) функции е=Д(х,у) частные производные первого порядка обращаются в нуль, то урзвнение касательной плоскости к соответствующей поверхности упрощается и получает следующий вид: х — г(ха, уа)=О.
Поэтому уравнение Д(х, У) — У(хь Уа) = О, рассматриваемое на плоскости ху, дает проекпию на эту плоскость линии пересечения нашей поверхности со своей касательной плоскостью в точке (хиуах ясно, что точка (хьуа) может оказаться особой. точкой этой кривой. Если эта точка изолированнан, то в некоторой ее окрестности касзтельная плоскость не имеет других общих точек с поверхностью, и функция у(х, у) имеет в (хь уа) максимум или минимум (ср. стр. 22б). Если же точка (ха, уа) является узловой точкой проекции, то касательная плоскость пересекается с поверхностью по кривой с двумя ветвями и (ха, уа) является для функции точкой перевала (седловиной), в которой нет ни максимума, ни минимума.
Эти замечания иллюстрируют достаточные условия экстремума, найденные в й 1. Упражнения 1а. Найти кривизну в начале координат каждой из двух ветвей кривой у (ах + лу) = сх' + ех'у + уху' + ау". 2. Исследовать особые точки следующих кривых: д) Р(х,у) таха+ау' — сху=О; 6) Р (х, у) ни (у' — 2х')' — х' = 0; в) Р (х, у) = (1 + еч") у — х = 0; г) Р(х, у) ииуа(2а — х) — х'=0; д) Р (х, у) нн (у — 2х)' — х' = О. 3.
Пусть (х,у) — узловая точка кривой Р(х,у)=О. Вычислить угол Т между обеими касательными в точке (х, у), предполагая, что в атой точке не обращаются сразу в нуль все частные производные второго порядка от функции Р. Найти угол между касательными в узловой точке а) лемнискаты, б) декартова листа (см. стр. 139). 9 3. Особые точки поверхностей (Различение между обыкновенными и особыми точками поверхности вводится аналогичным образом. Точка поверхности Р(х, у, з) = 0 называется обыкновенной или регулярной, если в' окрестности этой точки можно одну ив координат представить в виде непрерывно днфференцируемой функции двух других, например выразить з кзк функцию х=у(х, у). Всякая точка поверхности, не облздающая этим 230 дополнвния к главе ш свойством„ называется особой точкой.
В каждой своей обыкновенной точке поверхность имеет определенную касательную плоскость. Ив теории неявных функций видно, что точка поверхности, в которой хотя бы одна из частных производных Р„, Р«, Р, не обращается в нуль, является обыкновенной точкой. Ясно, что особые точки дифференцируемой поверхности надо искать среди точек, удовлетворяющих системе уравнений Р=О, Р„=О, Р =О, Р,=О, т. е. среди стационарных точек функции Р, лежащих на поверхности. Пусть Ро(хо, уь «о) есть такая точка; тогда уравнение касательной плоскости 6 — ~~)Р„+(о~ — у)Р~+(ч — «о)Р,=О обращается в точке Ро в тождество 0=0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
