1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 52
Текст из файла (страница 52)
е. такой точки, в которой гл =Ел =..=У =О. Рассмотреть второй полный двфкт к„-. — хп— и ференциал функции У в точке Рм дау(Р,) = ~ ул„дх! йха. Он представт, а=.-1 "~"в ляет собой квадратичную форму от п переменных йхо дхь..., дхл. Если эта квадрзтичная форма не аырожденнин, т. е. если ФО, о лил' " '' лплл то да((Рэ) может быть 1) положительно определенной формой, 2) отрициталыш определенной или 3) неопределенной формой.
Доказать, что функция у имеет в точке Р;. в сл)чае 1) минимум, в случае 2) максимум, а в случае 3) не имеет ни максимума, ни минимума. 8. Функция У(х, у) =(у — ла) (у — 2х') имеет стационарное значение в начале О (х=у=о).Доказать:1) что вдоль любой прямой, проходящейчерез О, функция у ил~еет минимум в этой точке и 2) что У, рассматриваеман ') В условиях задач 7, 9, 11, 12 предполагается, что читатель знаком с элементами теории квадратичных форм. 236 ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ П! как функция свободной точки (х, у), не имеет в О ни максимума, ни минимума.
9. Дан плоский треугольник ЄЄЄ, любой )кол которого меньше 1Ю'. Пользуясь критерием упр. 7, доказать, что во внутренней точке Р этого тРеУгольника, в котоРой Е Р,РР,= Е Р,РР,= Е РгРРэ=1Ю', сУмма РР, +РР,+РР, действительйо ймеет минимум. (Ср. гл. 61, 9 6, п' 3, пример 4.) 1О. В какой точке имеет минимум сумма РР, + РР,+РРн если в треугольнике из упр.
9 угол Р,Р,Р„ ) 120'? 11. Для того чтобы исследовать стационарные точки функции у =у (хо ...,х„), гле переменные подчинены ш условиям 7, (хн...,х„)=0,...,7,„(хн...,хя)=0 (ш(л), (1) построим вспомогательную функцию Р=У+ А!у~+ "эяэ+" + "муж Предположим, что мы нашли численные значения переменных х„...,х„и множителей Аю удовлетворяющие условным уравнениям (1) и уравнениям — =0 — =О,... — =О, дР дР дР (2) причем якобиан функций 7„...,7 по переменным хн ...,хм не равен нулю. Для применения критерия йз уйр. 7 можно действовать так. Рассматривая х ~„...,х„ как независимые переменные, дифференцируем ш уравнений (1) и иэ нил т!алодим первые и вторые дифференциалы от хн...,хш как Функции от х „..., х; затем вводим полученные для атил дифференциалов выражения в д'У= ~ У„.„д !дх„+У„, ',+ ...
+У„д'х„. ,а ! "гль л! ! " лш м (3) дэР= Х Рх,. а х! ах» — — дую+1, д*ут+ ... + Лт а'ут, вычислить дх„..., дхж из уравнений ду =ув, дх, + ...+7 „дхя.— — 0 (и=1,..., гл) и внести эти выражения в дэР; в результате получится квадратичная форма ЗэР от переменных дх +н...,дхя. Если эта квадратичная форма не вырожденная, то ф)нация У имеет соответственно максимум либо минимум илн вообще не имеет экстремума смотря по тому, является ли форма Ь'Р отрицательно определенной, положительно определенной или неопределенной.
12. В задаче о нахождении максимума функции у =х,х,...х„при дополнительном условии и аш х, + х, + ... + х„— а = 0 (а>0) правило неопределеннык множителей дает стационарное значение функции у в точке а х,=х,= ...=х„= —. Показать с помощью правила нз упр. 11, что функя — л. ция у действительно имеет максимум в этой точке. 13. С помощью критерия из упр. 11 доказать, что среди всех треугольников с постоянным периметром наибольшую площадь имеет равносторонний треугольник. (Ср.
гл. 111, 46, и' 7, пример 2,) 14. Кривая х'+у' — Заху= О (декартов лист) имеет узловую точку в начале координат. Определить касательные к кривой в втой точке. Доказать нижеследующее второе правило, не требующее вычисления вторых дифференциалов дэхн...,дэх . Трактуя все я переменных х„...,х„ нак независимые, рассмотреть СМЕШАННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ !П 237 15. Построитз график кривой (у — х')' — х'=О и показать, что эта кривая имеет точку возврата в начале координат. Чем отличается эта точка возврата от такой же точки кривой х' — у' = О и кривой у' — х' = Оу 10. а) Доказать, что если все участвующие здесь буквы обозначают положительные величины, то стационарное значение функции /=!х+ гну+ + ил при условии хР+ уР+ ГР = гР есть с(пт + же + ле) те, где 6 = —.
Р р — 1' б) Показать, что это значение является максимумом, если р) 1, и минимумом, если р С 1. !7. Найти стационарные точки (х, у) функции и =2х'+(х — у)' — Оу и выяснить их характер. 18. Лана замкнутая выпуклая кривая: вокруг нее описан треугольник АВС, имеющий наименьшую площадь. Доказать, что точки касания кривой со сторонами треугольника лежат в серединах его сторон. 19; Показать, что каждая из кривых (х с!з а — у йп а — Ь) ! = с (х мп е + у соз а) э, где а — переменный параметр, имеет точку заострения и что все эти точки заострение лежат на окружности. 20.
Пусть С=/(а, Ь) есть собственный максимум или минимум функции Р"(х, у) при дополнительном условии 6 (х, у) = С'. Показать, что тогда вообще С' = у(а, Ь) является собственным мэксимумом или минимумом функции 6 (х, у) прн условии У(х, у) = С. 21. Окружность радиуса а катится беэ скольжения по неподвижной прямой и несет на себе свою кзсательную, жестко связанную с ней (с окружностью). Примем за начало координат начальное положение точки касания, когда движущаяся касательная совпадает с неподвижной прямой, а за ось х — неподвижную прямую. Показать, что огибающая движущейся касательной выражается следующими параметрическими уравнениями: х = а (6 + оз 0 жп 6 — а1п О), у = а (ссз'0 — соа 0). 22. Координаты (х, у, л) точки шаровой поверхности даны уравнениями (гл.
И1, % 4, и' !) х=а апэ соя р, у=аап 0 апф л=асоа6 (Π— полярный угол, е — географическая долгота). Через любую точку (0„6 ) шаровой поверхности проходит по одной кривой каждого из семейств 6 + 6 = а и 0 — е = !!. Показать, что всякая такая пара кривых пересекается 1 — з!и'6 под углом агссоз, (Ср. стр. 182.) а(1 + ! РО)З/э Показать, что радиус кривизны каждой из этих кривых равен (5+Змп'О)'!э (Ср.
упр. 10 на стр. !32,) ГЛАВА ~Ч КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Дифференцирование функции многих переменных и действия с частными производиыии получаются почти непосредственно путем приведения к соответствующим операциям для функции одной переменной. Много сложнее вопрос об интегрировании функции многих переменных и о его связи с дифференцированием, так как понятие интеграла допускает обобщение на функции многих переменных различными путями.
В этой главе мы будем изучать наиболее естественное обобщение — интегралы по области или кратные интегралы, с которыми мы уже встречались в глзве Х первого тома. В дальнейшем, в главе т', мы ззймемся другими обобщениями понятия интеграла — криволинейными интегралами на плоскости, интегралами по поверхности, а также криволинейными интегралами в трехмерном пространстве.
Однако всюду мы обнаружим, что в конечном итоге все вопросы интегрирования можно привести к первоначальному понятию интеграла от функции одной переменной. В 1. Обыкновенные интегралы как функции параметра Прежде чем приступить к изучению новых свойств функций многих переменных, рзссмотрим предварительно одно понятие, непосредственно примыкающее к вещам, нам уже знакомым. 1. Определения н примеры. Пусть в прямоугольной области а(ха-.р, а -у«=,б задана функция у(х, у), непрерывная в этой области, Сперва представим себе величину х неизменной и, рассматривая у(х, у) как функцию от одного лишь у, проинтегрируем ее по интервалу а <у < Ь.
Получится а )у(х, у)г(у, а причем его значение еще зависит от выбора величины х, т. е. является функцией от х. В некотором смысле можно сказзть, что рассматривается не один единственный интеграл, а сразу семейство таких интегралов, которые получаются при различных значениях х. Эта величина х, которую сохраняют неизменной в процессе интегрированна и которой можно придать любое значение из интервала ее изменения, называется ларамеглролс Стало быть, наш обыкновенный ииелегуал является функцией лара.иетра х. и $1.
Ояыкновенные интегРАлы как ФУнкции пАРАметРА 239 Такие интегралы, являющиеся функциями параметра, часто встречаются в анализе и его приложениях. Так, например, 1 х оу = агсюп х. )Г1 — х'у' о Этот интеграл легко вычисляется подстановкой ку= Г. Другой пример: при интегрировании степенной функции можно рассматривать показатеаь степени как параметр и в соответствии с этим писать 1 у*ау= (,, о предполагая, что к ) — 1. На рис. 61 изображен прямоугольник, в котором определена функция т (х, у); этот прямоугольник пересечен прямой АВ, параллельной оси у и соответствующей выбранному значению параметрах. у у Рис.
62. Рис. 61, Функцию, подлежащую интегрированию по у, мы получим, рассматривая совокупность значений у(х, у) как функцию одного лишь у, определенную на отрезке АВ. Можно сказать, что мы интегрируем функцию г(х,у) вдоль отрезна АВ. Это геометрическое рзссмотрение подсказывает обобщение на произвольную область О, граница которой пересекается любой прямой, параллельной оси у, не более чем в двух точках (рис. 62). Если функция 1"(х, у) определена в такой области О, то ее можно интегрировать, при фиксированном значении х, по переменной у, вдоль отрезка АВ, по которому прямая, параллельная оси у, пересекает область О. В этом случае, при изменении параметра х, начальная и конечная точки промежутка интегрирования тоже будут изменяться.
Другими словами, заслуживает изучения также интеграл типа Фэ 1х1 у(х, у)аух В(х), Ф1 1х1 т. е. интеграл по у, содержащий параметр х, причем от х зависит не только подынтегральная функция, но и пределы интегрирования, 240 гл. !ч, кьатныв интвггдлы Если, например, область определения функции У(х, у) есть круг радиуса 1 с центром в начале, то рассматриваемый интеграл имеет следующий вяд: + УТ-«» у(х, у) ау.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
