1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 56
Текст из файла (страница 56)
о Это нетрудно доказать, исходя из определения двойного интеграла. б) Если в области 0 всюду г(х,у)) р(х,у), то ЯДх,у)й8= Цу(х,у)йЯ. Это свойство легко выводится из предыдущего свойства, Б1 $ а интеГРАл от нанти»Изной ФУнкции по ОБлАсти 2бб В) )) У(х,у) й8!-5 !Лх,уН й8 1- о 1 а )сок азатель ство. Из свойства б) вытекает, что а это и есть лишь другая запись доказываемого неравенства.
г) Так как функция у(х,у) предполагается непрерывной в замкнутой области О, то она принимает в этой области свое наименьшее значение т и наибольшее значение М, Из свойства б) вытекает, что т Цйг~ЦУ(х,у)йз~л~~аг а о или тя«= )) р(х, у) йЮ== Мя, а где 8 обозначает площадь области О. Наш интеграл равен поэтому произведению площади о' на некоторое число 1», промежуточное между тиМ: Р(х, У) й8= 1»Я Это равенство называется формулой оценки двойного интеграла.
Относительно зизчения промежуточного числа 1» более точные общие указания сделать невозможно. (Как и в случае непрерывной функции одной переменной, функция г'(х,у), непрерывная в замкнутой области О, непременно принимает значение р в некоторой внутренней точке (1, т)) в области О, так что 1»=Д3, т)), и формула оценки запишется так: 11у(х,у) йз ЯУ(х,у)юЫ=Я~(Е, ~) или =Х(%, »)Л о Эти формулы выражают теорему о среднем значении в теории двойных интегралов. Доказательство последней формулы см.
в книге: Смирнов В, И., Курс высшей математикц т. 11, «Наука», 1967, стр. 197 — 198. Смысл этого названия следующий. Отношение ~~ Г(х,у) дз называется средним значением функции У(х, у) в области О. Это— важное понятие, часто встречающееся в физике и технике. Теоремз ГЛ. !7.
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ о среднем значении утверждает, стало быть, что функция, непрерывная в замкнутой области О, обязательно принимает свое среднее значение в этой области по крайней мере в одной ее внутренней точке.) д) Формулу оценки двойного интеграла и теорему о среднем значении можно несколько обобщить. Пусть наряду с непрерывной функцией Г(х,у) задана еще произвольная функция р(х,у), сохраняющая постоянный знак и непрерывная в 0; тогда ((р(х, у)У(х,у) аЮ=р((р(х,у)а8, а о где р — некоторое число, лежащее между наименьшим и наибольшим значениями функции г в области О. (И далее: Яр(х, у)У(х,у)бЮ=У6 ч) Др(х,у) б8, где (с, я) — некоторая внутренняя точка области О.) е) На основании изложенного нетрудно доказать„что двойной интеграл непрерывно зависит от подынтегралъной фунпишь Точнее, если г(х,у) и ~Р(х,у) — две функции, удовлетворяющие неравенству ( Д(х, у) — о (х, у) ~ ( а, где е есть положительное число, одинаковое для всей области 0 (с площадью Ю), то ')')у(х,у)б8 — ')') э(х,у) аЯ~(аЯ, о о т.
е. меньше числа, которое стремится к нулю при а- О. ж) Тем же путем убеждаемся, что двойной интеграл непрерывно зависит от области. Это означает следующее. Пусть две области Ог и Оя получаются одна из другой добавлением или удалением частей, общая площадь которых не превышает а, и пусть г'(х,у) есть функция, непрерывная в обеих областях, причем 1г(х,у)~(М, где М вЂ” постоянное число. Тогда ((у(х, у) сБ — Ц у(х, у) гЖ~ ( гИа ! о, о, и, стало быть, меньше числа, которое стремится к нулю, когда а — Р О, т. е, когда равность площадей обеих областей стремится к нулю.
Доказательство этого факта тоже понятно само собой на основании последней теоремы предыдущего номера Это свойство позволяет вычислить двойной интеграл по области 0 с любой точностью, заменив область О ее подобластью 0', площадь которой отличается достаточно мало от площади О. Можно, например, вписать в область О прямолинейный многоугольник, площадь которого сколь угодно мало отличается от площади О. Можно также заменить Я аз. интаграл от нвпрврывной вункции по озласти 2бу область 0 многоугольником, стороны которого поочередно параллельны координатным осям; такой многоугольник составлен нз прямоугольников со сторонами, параллельными осям. 6. Интегралы по трехмерным и многомерным областям (тройные м многократные интегралы).
Все сказанное выше о двойном интеграле, т. е. об интеграле по области плоскости ху, можно распространить без каких-либо осложнении и не нуждаясь в новых идеях на области трех и большего числа измерений. Как ввести, например, понятие тройного интеграла, т. е. интеграла по трехмерной области О? Пусть дана функция >(х, у, г), непрерывная в замкнутой области О. Разобьем область 0 с помощью конечного числа поверхностей на частичные области (трехмерные ячейки) которые мы обозначим через 0„0ь ..., Он. В каждой ячейке О> выберем по произвольной точке (с>, яь ч>) и построим сумму (так называемую интегральную сунну) где ЬО> теперь обозначает обьем ячейки Оь Суммирование производится по всем ячейкам О, или, если это нам удобнее, лишь по тем ячейкам, которые не примыкают к границе области О.
Если мы станем теперь увеличивать безгранично число И ячеек таким образом, чтобы наибольший из их диаметров стремился к нулю, то интегральная сумма будет стремиться к пределу, не зависящему ни от способа последовательного дробления ячеек, пи от выбора точек (сь яь г>) во всех ячейках. Этот предел называется (тройннм) пнтегралолг функции у (х, у, г) ло области 0 и обозначается так: ЯУ(х. у, г)а'К о Если мы, в частности, разобьем область 0 на конгруэнтные ячейк>ь имеющие форму прямоугольных параллелепипедов с ребрами, параллельными осям координат, длиною соответственно цх, цу, цг, то все внутренние (т. е.
не примыкающие к границе) ячейки будут иметь одинаковый объем >>х>>у>>г. Совершенно так же, как у двойного интеграла, этот способ разбиения и переход от суммы к ее пределу отмечают введением для тройного интеграла, наряду с прежним, еще и следующего символа: Я у(х, у, г)йхйуйг. а Все свойства, установленные выше для двойных интегралов, со. храняют силу и дла тройных интегралов с учетом, конечно, необходимых изменений в обозначениях.
Понятие интеграла по многомерной области, т. е. по области пространства, число намерений которого больше трех, вводится таким 9 Р, Курант 2б8 ГЛ. 1У. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ же путем, надо только предварительно установить понятие объема многомерной области. Ограничимся пока прямоугольными областями. Прямоугольной областью называется множество точек (хь хм ..., х„), координаты которых удовлетворяют неравенствам следующего вйда: а,(х,(а1+йь ая(ха(па+а ", а„~х„---а„+й„. Объем такого прямоугольника мы будем считать, в порядке определения, равным произведению й~йа...л„. Прямоугольные области мы будем разбивать на прямоугольные ячейки такого же типа. Тогда определение многомерного интеграла не нуждается в дальнейших разъяснениях.
Такой интеграл по л-мерной области () обозначают так: Д...~у(х„хь ..., х„)г(х, (х,...йх„. Для непрямоугольных областей и для разбиений более общего вида придется опираться на абстрактное определение объема, которое будет дано в й 1 Дополнений к этой ~лаве. Впрочем, если не считать $ 3 Дополнений, мы удовольствуемся рассмотрением интегралов в пространстве с числом измерений, не ббльшим трех. 7. Дифференцирование по области, Масса и плотность. Когда мы имеем обыкновенный интеграл от функции одной переменной, то подынтегральная функция получается обратно из интеграла процессом дифференцирования: берем интеграл по промежутку длины л, делим результат на л и находим предел отношения при л -Р О.
Для функции одной переменной этот факт выражал основную связь между дифференциальным и интегральным исчислением и нашел свое наглядное истолкование с помощью физических понятий обшей массы я плотности. Такая же связь сугдествует и для кратных интегралов, т. е. для интегралов от функции многих переменных по многомерной области.
рассмотрим интеграл Цу(х, у)аЮ влн ))).г(х, у, г)й~ от непрерывной функции г двух или трех переменных по области В (двумерной или трехмерной), содержащей внутри себя фиксированную точку Р(хм уа) или Р (хь ум за), и пусть область В имеет площадь ЬЯ в первом случае и объем Ь'Р' — во втором. Разделим значение интеграла на площадь ЬЯ (объем б'Р) области В; согласно теореме о среднем аначении из пч б, это отношение будет равно значению подынтегральной функции в некоторой внутренней точке Я области В. Заставим теперь диаметр В (В) области В, окружающей точку Р, стремиться к нулю, так что и площадь ЬЯ (объем ЬУ) будет стремиться к нулю; тогда в силу непрерывности функции у, ее значение в точке Я будет стремиться к значению функции в точке Р. Стало а г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
