1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 57
Текст из файла (страница 57)
ннтвггал от непгсяывной эгнкции по озллстн 259 быть, получаем следующие предельные равенства: 1нп — ~ ~ г (х, у) аЯ=Дхь уа), 1 о1в1-о ал в Э вЂ” ~ ) ~ Л, » *И»=. ( и». *,>. 1 о<в>-оа" Этот предельный переход, соответствующий дифференцированию интеграла от функции одной переменной, называется дифференцированием кратного интеграла ио области, а полученный предел — производной по области в точке Р. Итак, производная кратного интеграла ло области интегрирования равна лодьгнтегральной функции.
Этот результат дает возможность истолковать роль подынтегральной функции по отношению к интегралу также и в случае многих переменных с помошью физических понятий плотности и обгцей лгассм. Представим себе, что масса некоторого вешества распределена непрерывно по двумерной илн трехмерной области, т. е. в любой достаточно малой частичной области содержится сколь угодно малая масса. Лля того чтобы определить плопюсть вешества в точке Р, рассматриваем сначала некоторую окрестность В точки Р, имеющую плошадь ЬЯ (или объем й1»), и делим массу, содержащуюся в этой окрестности, на площадь ЬВ (объем Ь1г).
Полученное частное естественно назвать средней плотностью вещества в окрестности В точки Р. Заставим теперь диаметр окрестности В стремиться к нулю; тогда предел средней плотности в окрестности В даст плотность вегцества в точке Р, предполагая, конечно, что такой предел, не зависящий от выбора последовзтельности окрестностей Вь сушествует. Если обозначить эту плотность через 1»(х, у) или р(х, у, г), то сразу видно, что только что описанный процесс нахождения плотности представляет собой не что иное, как дифференцирование по области интеграла )) 1»(х, у)йЯ или ))) (г(х, у, г)й)г в любой точке Р области О. Естественно предположить, что этот интеграл, взятый по обласги О, дает обгцую лгассу вещества, содержащегося в О, какова бы ни была эта область.
Этот вывод верен, но для его оправдания остается сделать епге один шаг. В последних рассуждениях исходным пунктом было заранее заданное распределение массы (на плоскости, нли в пространстве), так что любой указанной (в известных границах) области О соответствовала известная, заданная масса. Таким образом, масса была задана как функция области. С другой стороны, двойной и тройной интегралы тоже являются функциями своей области интегрирования. И вот мы только доказали, что первоначально заданная масса как функция Э' 260 гл.нь хгатные интеггалы области и кратный интеграл (*) имеют тождественные прснзводные по области. Остается еще доказать, что исходная функция области определяется своей произиодиой по области однозначно.
Доказательство это нетрудно, но мы его приводить не будем. Оно напоминает доказательство теоремы Гейне — Бореля о покрытии. С точки зрения физики понятие плотности распределения массы в точке Р и представление массы с помощью выражений (*) означают, конечно, идеализацию. В том, что такая идеализация разумна, т. е. что она описывает действительное положение дел с достаточной точностью, заключается как раз уже физическое допущение.
Добавим еще следующее замечание. Построенные нами понятия сохраняют свой математический смысл и в том случае, когда функция точки р(Р) не является всюду положительной. Отрицательные плотности и массы встречаются и в физике, например в учении о распределении электрического заряда. ф 3. Приведение кратного интеграла к повторному обыкновенному интегралу Для создания общего метода вычисления кратных ийтегралов решающее значение имеет тот факт, что всякий кратный интеграл можно привести к повторному интегралу, т.
е. 'к последовательному вычислению обыкновенных интегралов. Тем самым все ранее изученные методы неопределенного интегрирования ставятся на службу вычислени!о кратных интегралов. В Двойной интеграл по прямоугольной области. В качестве области интегрирования ,) возьмем сначала прямоугольник Й: . у;,; -' а(х -Ь,и(у(~ирассмотрим у функцию у(х,у), непрерывную в К Приведение двойного интеграла ))Дх, у)Ы8 к последовательному Рис. 66.
л вычислению двух простых интегралов мы сначала покажем путем наглядных соображений, которые будут затем, аналитически уточнены. Наш двойной интеграл дает объем прямоугольного параллелепипеда, усеченного поверхностью г =У(х, у). Вспомним, что этот объем мы сперва разбивали на стол- ь — а бики, основания которых — прямоугольники со сторонами Ь = — и !! — а Ь= —, а затем устремлялп л! и л к со таким образом, что Ь и Ь стремились к нулю. Но эти столбики можно объединить в слои или з — а пластинки (рис.
66) толщиною А= —, ограниченные семейством !1 в а. пвиввдзнив кьатного интвгвлла к повтогному 281 параллельных плоскостей у=а+ чй (ч=О, 1, 2, ..., и). Таким образом, тело разбито на и пластинок, которые тем тоньше, чем больше и, и их суммарный объем равен значению двойного интеграла Объем ч-й пластинки приближенно равен произведению толщины й на площадь ее левой боковой «стенки», т. е.
выражению И ~ г (х, а+ чй) ах, л — только приближенно, ибо площади левой и правой стенки не- сколько отличаются друг от другз. Введем следующее обозначение: ь ~У(х, у)йх= ь(у'й л тогда наш объем приближенно выразится суммой л-! ~ у (а+ чй) И. »=ь а — а При и-»оо толщина пластинки И= — неограниченно убывает, п и эта сумма будет иметь своим пределом ~у(у)йу. Стало быть, а естественно ожидать, что ЯУ(х, у)Ы8=~ т(у)Ну. я а Это равенство, которое еще нуждается в строгом доказательстве, дает искомое приведение двойного интеграла к последовательному вычислению двух простых интегралов: Сначала надо интегр!!ровать г (х,.у) при Яике!!роллином у по х ь в промежутке от а до Ь. Этот интеграл ) Г"(х, у)йх=!у(у) а являетея функцией параметра у, которую надлежит затем ин тегрировать от а до р.
В результап!е получаетея в ь Ядх, у)по=аду~ р(х, у)йх, и «л т. е. двойной интеграл равен повторному интегралу. Для того чтобы доказать аналитически это утверждение, вернемся к определению ..двойного интеграла, данному в $2, п' 2. Полагая 1! — л а — л И вЂ” — и А = —, имеем т и )г)гУ(х, у)йЯ= 1пп ~Ч',' ~„' г (а+рЬ,'и+чй)ИИ, л!»»~ л л» 262 ГЛ. 1Ч. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ предползгая, что существование двойного интеграла по области )г, т. е. предела, записанного в правой части, доказано; притом самый этот предел надо понимать в том смысле, что абсолютная величина равности между значением двойного интеграла и двойной суммой правой стороны меньше любого сколь угодно малого положительного числа а, коль скоро числа ш и и оба превышают некоторое число Ф, зависящее только от а.
Смысл следующего ниже рассуждения состоит просто в том, что двойной предел при одновременном возрастании гл и л разбивают на два последовательных простых предельных перехода: сперва по лг -ь оо при фиксированном л, и лишь затем по л-Р оо (ср. Допол. пения к гл. 11, $2, п' 1), Для внутренней суммы (по 1т) введем обозначение Ф„= ~ у(а+рд, и+чл)Ь Р 1 при фиксированном ч. Тогда двойная сумма равна следующей сумме по и ! Выберем теперь любое постоянное л > М; тогда, как мы уже знаем, л ((У(х, у)г(8 — А ~~', Ф„~а =! при любом знзчении числа лг, лишь бы только оно тоже было больше, чем № Сохраняя л неизменным, будем теперь неограниченно увели- чивать лг; при этом предельном переходе, на основзнии определения обычного интеграла, выражение Ф„ имеет своим пределом интеграл ь ~Дх, а+И)г(х=у(а+И), а а написанная выше абсолютная величина разности не должна пре- взойти а: Это неравенство, повторяем, сохраняет силу при произвольно малом а для всех л, превышающих число М, зависящее только от а.
Если совершим теперь предельный переход л-аоо (так что л-РО); то неравенство ие нарушится, но при этом (иа основании определения а обычного интеграла и в силу непрерывности функции у(у)= ~т(ху)Их) а л 1пп А ~~ 1~(а+ чл)= ~ э(у)ау. л сл а Я а а пгивидзннз кяатного интвгяапа к повтояномг 263 Следовательно, приходим к нерзвенству Так как левая часть есть постоянное число, а е можно было выбрать сколь угодно малым, то левая часть может быть только нулем. Стало быть, Р ь Ц у(х, у)йо=~ у(у)йу=~г(у~ у(х, у)йх. Тем самым доказано, что двойной интеграл по прямоугольной области может быть представлен как повторный обычный интеграл; другими словами, интегрирование по области Й плоскости ху приводится к двум последовательныи простым интегрированиям.
Так кзк переменные х и у можно в нашем рассуждении поменять ролями, то без дополнительного доказательства ясно, что повторный интеграл можно записать и в обратном порядке, т. е. Цт (х, у)аЮ=~ йх ~у(х, у)Ыу, 2. Следствия. Изменение порядка интегрирования. Дифференцирование под знаком интеграла. Из последних двух формул вытекает соотношение ~йу ~ У(х, у)бх=~ г(х(У(х, у)йу, т. е.
прп повторном интегрировании непрерывной функции с постоянными промежутками интегрирозанпя можно изменить порядок обоих интегрирований Этой теореме можно дать еще и следующую формулировку: Если функцая г (х, у) непрерывна з замкнутом прямоугольнике Й(а -= х (Ь, а ~у( р), то вычисление интеграла по параметру у ь от выражения )у(х, у)бх можно выполнить, интегрируя по у е под знаком интеграла, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
