1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Приведение тройного интеграла к повторному, Если число измерений области интегрирования больше двух, то соответствующие теоремы настолько аналогичны, что можно ограничиться их формулировкой без доказательств. Начнем с интеграла по трехмерной прямоугольной области гто(хо -х~хь уо~у =.уь хо(з(хо) от функции У(х, у, зА непрерывной в этой области.
Такой тройной интеграл можно привести различными способами к обыкновенным и двойным интегралам. Так, например, го Я У(х, у, з) И)У = ~ г(х Ц У(х, у, з) лоха, где ))у(х,у, з)ЫхНу есть двойной интеграл от функции у(х,у, з) яо по двумерной прямоугольной области гго(хо~х(хь уо(у -у,), причем з рассматривается при этом интегрировании клк постоянный параметр, так что этот двойной интеграл является функцией параметра ж Таким же путем можно вместо х выделить в качестве параметра х или у.
Тройной интеграл Р можно также представить в виде повторного интеграла Уо )г=~ Ых~ Ыу~ У(х, у, х)Нз, «о Уо го т. е. привести к последовательному вычислению трек обычных интеко гралов. При этом сначала вычисляют интеграл~ у (х, у, з) дз при го Уо го фиксированных значениях х и у, затем интеграл ~ оту ~ у(х, у, х)г(з Уо го при фиксированном х, и, наконец, интегрированием по х от хо до хо полУчают значение тРойного интегРала Р'.
ПовтоРный интегРал можно с таким же успехом составить в любом другом порядке: например, сначала интегрировать по х при постоянных у и з, затем по ГЛ. !Ч. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ у при постоянном г и, наконец, — цо г. Ч»о порядок интегрирования можно изменить как угодно — вытекает из того факта, что повторный интеграл всегда равен тройному интегралу по области йь Итак, имеем следующую теорему: Повторный интеграл от непрерывной функции у(х, у, г) по замкнутой прямоугольной области ггл не зависит от порядка интегрирования. Едва ли нуждается в особом объяснении, как приводить к повторному тройной интеграл по непрямоугольной области О.
Достаточно, пожалуй, показать такое приведение для шаровой области «'+у'+ г'» (1: +! + г ! !— г» + т'! — г»вЂ” г» г)г)г)у(х, у, г)йх агу йг= ~ йх ~ йу ~ у'(х, у, г)йг. — '»'»-㻠— ! »-г»-у» Упражнения Вычислить интегралы в упр. 1 — 8 1. Ц х у*дх Ву по кругу х +у»~1. 2. О +У У( +У)в~дуло ругу х»+у»~1. (х'+у')»а 3, Я(х»+у»+г ) хугахду Вг по шару х»+у»-)-г»~а». 4. Ягдх»(уаг по области, определенной неравенствами х»+у»~г», х'+у'+ г'~1.
6. '))) (х+у+ г) ху»г'»Гх»»у»Гг по области х+у+ г(1, к)0, у)0, г;в О. »гл»гу вг » !» 6. ~ ~ 1 .. и. по шару х'+у'+г»~1. »гх ву»гг «+у+ ~ — -'-' 8. ~ ~ по квадрату 1х)(1,,'у1(1. вх ву )» х»+ у» 9. Доказать, что для непрерывной функции у(х) +! 1!ш 1 —,,у(х)»Гх= »у(0). а,! Л»+ х» — ! ф 4. Преобразование кратных интегралов Мы уже внаем, что введение новой переменной является одним из главных методов преобразования и упрощения простых, т. е. одномерных интегралов. Введение новых переменных имеет большое значение и в теории кратных интегралов.
Правда, несмотря на то, что $ Е ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 271 кратный интегрзл всегда приводится к последовательному вычислению простых интегралов, его явное вычисление, как правило, труднее и еше реже выполняется в элементарных функциях, чем у одномерного интеграла. Все же многие кратные интегралы удается вычислить после преобразования переменных интегрирования. Однако, и помимо вопроса об эффективном его вычислении, преобразование кратного интеграла к новым переменным интегрирования имеет само по себе важное значение, так как теория такого преобразования приводит к более полному овлздению понятием интеграла. 1.
Общая формула преобразования двойного интеграла к новым переменным, Практически самым важным частным случаем является преобразование двойного интеграла к полярным координатам, которое уже было выполнено в т. 1, гл. Х, стр. 590. Теперь же мы сразу перейдем к обшей теории замены переменных под знаком двойного интеграла 11 У(х, у) 418 = ')') У(х, у) 41х Ыу, распространенного на область 0 плоскости ху.
Пусть замкнутая область 0 отображается взаимно однозначно на замкнутую область 0' плоскости ио с помощью преобразования х= р(44, О), у=ф(и, о). Предположим, что функции р и 14 имеют з области 0' непрерывные частные производные первого порядка н что их якобиан = 9итГи Фини 'Ги Фи во всей замкнутой области 0' нигде не обращается в нуль; для определенности допустим, что Р >0 всюду в 0'. Как известно, при этих предположениях существует единственное обратное преобразование (гл. 1П, й 3, и' 6) и=р(х, у), О=д(х,у). Кроме того, два семейства кривых и=сопз1 и О=СОпз1, т. е.
р(х, у)=сопа1 и д(х, у)=сопз1, покрывают в виде сетки область О, Нетрудно придумать наглядные соображения, которые подскажут, как преобразовать ~ ') У(х,у)41хбу в интеграл по и и ц До сих пор а мы для вычисления интеграла ~ ~ Г (х, у) ГГЯ разбивали область 0 на а ячейки сеткой прямых, параллельных осям х и у. Сама собой напрашивается мысль воспользоваться другим разбиением области 0 — сеткой кривых и— : р(х, у)=сопзс и О: — 47(х,у)=сопзй С этой целью выберем какие-либо числа )4=йи и Л=ЬО и рассмотрим значения и„=та и т>и=974, где ч и 14 пробега4от все те целые числа, при 272 Гл.
Рл кгатныв ннтвгвллы которых прямые и = «Ь и о= РЬ пересекают область О', а стало быть, соответствующие им исходные кривые р(х, у) =«Ь и «7(х, у) = =РЬ пересекают область О, Эти последние кривые обравуют на плоскости ху совокупность петель, имеющих вид криволинейных четырехугольников, напоминающих параллелограммы. Те из этих петель, которые лежат внутри области О, мы и примем за ячейки О« (рис. 72 и 73) Надо теперь найти площадь такой ячейки. Рис. 73.
Рпс. 72. Если бы ячейка 0«была не криволинейным четырехугольником, а прямолинейным параллелограммом, то ее плошадь была бы равна удвоенной площади треугольника с вершинами, соответствующими точкам (и„, о ), (и„+Ь, и ) и (и„, о + Ь) плоскости ио, т.
е. равнялась бы определителю ! ф(и„+Ь, о„) — ф(и„, е„) ф(п„о„+Ь) — ф(п„з„)~ ф(п„+Ь, т~в) — ф(п„, о„) ф(п„, о„+А) — ф(и„о„)~ который приближенно равен выражению ! ф„(п„, о„) ф (и„, и„) ф„(п„, о„) ф,(п„, о„) Помножим теперь площадь каждой ячейки Оп вычисленную по этой формуле, на значение функции в какой-либо точке этой ячейки, и просуммируем полученные произведения по всем ячейкам, лежащим полностью внутри области О; совершив затем предельный переход Ь -«.
О и Ь -«. О, получим следующее выражение для преобразования двойного интеграла к новым переменным: ~ ~Дх,у)ЫхЫу=()У(ф(и, и), ф(и, о)) ЙЫиЫж Пля того чтобы придать полную убедительность этому наводящему рассуждению, надо доказать, что замена ячеек параллелограммами и последующее приближение площади параллелограмма выра- а 4. пявовгазозлнив кялтныя интзгвллов 273 жением (~„ф,— Уя7,)йА дозволены, т.
е. что возникакнцаа в силУ этого погрешность стремится к нулю при выполнении предельного перехода Ь-ч-О н л-ьО. Вместо того чтобы завершить это доказательство, выполнив оценку погрешности, мы предпочтем докззать формулу преобразования несколько отличным способом, который легко поддается обобщению на многомерные облзсти. Для этой цели мы воспользуемся результатами гл. П1, Э 3; пь 6 и выполним переход от переменных х, у к новым переменным а, о не сразу, а в две ступени. Сначала мы заменим переменные х, у новыми переменными х, о с помощью равенств х=х, у=Ф(х, о), Мы предполагаем при этом, что частная производная Ф, отлична от нуля во всей облзсти О, например Ф,)О всюду в О, и что вся область 0 отображается взаимно однозначно на область В плоскости хо (рис.
74 и 75). После этого мы отобразим область В тоже Рис. 74. Рис. 75. взаимно однозначно на область 0' плоскости' ип с помощью второго преобрааовзния х=Ч(п, е), о=о; при этом мы делаем второе предположение, что и производная Ч"„>О во всей области В. Преобразование нашего интеграла ~)7'(х,у)Фхду мы вьшолнпм теперь тоже в два этапа. Начнем с того, что разобьем область В плоскости хо двумя семействзми прямых х=х„=сопз1 и е=е„= = сопз1 на прямоугольники со сторонами Ьх=й и Ье=7г (рис.
75). Этому разбиению области В соответствует разбиение области 0 плоскости ху на ячейки 0; (рис. 74), каждая ив которых ограничена двумя параллельными прямыми х~х„и х=х„+д и дугами двух 274 гл. нл килтныв интегаллы По теореме о среднем знзчении из интегрального исчисления зто можно записать в следующем виде: Ь0;=й «Ф(х„п„+7г) — Ф(х„, ея)«, где х, есть некоторое промежуточное число между х„и х,+л. Применив теперь теорему о среднем значении из дифференциального исчисления, получим Фм 4;л) Ьа, = йй Ф, (х„н„), где и — некоторое промежуточное число между оя и о„ + л, тзк что (У„ Э„) являются координатами некоторой точки соответствуюшего прямоугольника В; области В. Следовательно, нзш интеграл от функции г(х, у) по области 0 есть предел интегральной суммы ~я~Л Ь0,=~я~ лЦ'«х„, Ф(х„, и,И Ф,(х„, н„) Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
