1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Предполагается при этом, что вращающаяся дуга кривой не пересекает оси г и что тело вращения ограничено снизу плоскостью я=а и сверху— плоскостью л=б. Вводим вместо х, у, г цилиндрические координаты а з. приложения к гзомзтрии 289 г, р, 9 с поыошью формул х=рсозВ, у=рз(п6, г=г. Тело определяется, очевидно, неравенствами 0 ( р = ) х' +уа ( р(г), 0(В(2я и а(«~Ь. Лля объема сразу получается выражение о э роя ) (аа а о После выполнения двух простых интегрирований по р н по 9 приходим к формуле(ср. т. 1, гл.
Ч, стр. 329) а )'= « ~ Ы~ («)Г (г а Эту формулу можно вывести и непосредственно, наглядным путем. Разрежем наше тело врашения плоскостями, перпендикулярными к оси г, на тонкие пластинки гь ( г ( «ааа и обозначим через та наименьшее и через Мь наибольшее значения расстояния ~6(г) от точки поверхности до оси врашения в пластинке с номером Ь. Тогда объем этой пластинки ззключается между объемами двух цилиндров с общей нысотой бг=гя»1 — га и с радиусами гла и Мн Стало быть, объем Г тела вращения удовлетворяет неравенствам Яшабг ( (Г~ ~ ЯМ1»Л« Согласно определению обыкновенного определенного интеграла, отсюда вытекает, что Ь' = к ~ (р (г))э с(«. о Если поверхность тела выражается в сферических координатах г, 6, у несложным уравнением вида г=У(6, р), где функция У(6, у) однозначна, то для вычисления объема тела часто удобно перейти к этим сферическим координатам.
Так квк якобиан ' ~' = г'з1п 6 (см, 9 4, п' 2 этой главы), то д(г, О, т) Э» . Г1ою \/=Яр(хг(ус(«=Ц~газ1пбйгЫВИу=~ вьб~з1пВИВ ~ гэй. о 'о' о о О Выполнив первое интегрировзние (по «), получим г»» »-т $ а» ( Ров, тэ' ~ 8 .'а В частном случае шара, когда У(а, ч) =ат=сопэ1, по этой формуле 4 ам ян вычисляется объем шара Р= — яК». 3 10 Р. Ктраат 290 гл.
тж кялтные интегвллы 3. Площадь кривой поверхности. В свое время мы выравили длину луги кривой с помощью обыкновенного определенного интеграла. Теперь мы найдем аналогичное выражение для площади кривой поверхности с помощью двойного интеграла. Длину дуги мы рассматривали как предел периметра вписанной ломаной при стремлении к нулю всех ее прямолинейных звеньев. Для определения площади кривой поверхности естественно напрашивается аналогичный путь: надо вписать в поверхность многогранник, состоящий нв плоских треугольных граней, и найти площадь этого многогранника; затем надо изменять вписанную сеть треугольников таким образом, чтобы она становилась все более частой и чтобы наибольшее иа ребер многогранника стремилось к нулю; остается наконец найти предел переменной плошади многогранника.
Этот-то предел и следовало бы рассматривать как определение площади кривой поверхности. Оказывается, однако, что такое определение площади было бы лишено точного смысла, ибо намеченный здесь общий процесс не дает единого предела. Объясняется это следующим обстоятельством. Ломаная, вписанная в гладкую дугу кривой, обладает тем свойством, что каждое ее звено дает сколь угодно точное приближение направления кривой в соответствующей вершине ломаной, если только все звенья достаточно малы.
Это вытекает иа теоремы дифференциального исчисления о среднем значении. Совершенно иначе обстоит дело с поверхностью. Грань вписанного в кривую поверхность многогранника может иметь сколь угодно крутой наклон относительно касательной плоскости в какой-либо соседней точке поверхности, как бы малы ни были стороны всех треугольных граней. Поэтому площадь поверхности такого вписанного многогранника отнюдь не может служить приближением к плошади кривой поверхности. В последнем параграфе Дополнений к этой главе мы подробно разберем пример, иллюстрирующий эти соображения. Однако, в основу определения длины гладкой кривой можно положить вместо вписанной ломаной опггганную, т. е. такую ломаную, каждое звено которой касается кривой. Делается это следующим образом.
Пусть дана кривая у= г'(х), причем функция г имеет непрерывную производную г"'(х); требуется определить длину дуги этой кривой между ее точками с абсциссами а и Ь. Разбиваем интервал ох а до Ь точками деления а=хь хь хя,..., х„=Ь на и равных или неравных частей; выбираем в А-и частичном интервале произвольную точку 1а и в соответствующей точке кривой проводим касательную.
Длина 1а того отрезка втой касательной, который лежит в полосе хь(хч-ха ь выражается так: 1а = (х„„, — ха) )'г1 + (Г (са)Г. Тогда длина дуги кривой между точками х=а и х=Ь определяется как предел суммы Я ~Гы когда число точек деления и безгранично а ! 291 а к пяиложеиия к гаоматяни возрастает, а длина наибольшего из частичных интервалов стремится к нулю. Из определения интеграла сразу вытекает знакомая нам формула для длины дуги з: » = ~ )Р 1+ К (х))»а .
О По аналогии с таким определением длины дуги как предела длины олисанной ломаной действительно можно построить определение площади кривой поверхности. Рассмотрим сначала поверхность г=У(х,у), где функция у(х,у) однозначна и имеет непрерывные частные производные. Пусть интересующий нас кусок этой поверхности проектируется на плоскость ху в виде замкнутой области 0 этой плоскости. Разобьем область О на л ячеек Оь Оь ..., О„с плошадями ЬОь ЬОь ..., ЬО„и в каждой из этих ячеек выберем по точке: (Еьта), (Еьт1,), ..., (Е т1„). В точке поверхности с координатами Е», а» н Е»=р(Е», л») мы построим касательную.плоекость и найдем площадь Ьа» того куска касательной плоскости, который имеет своей проекцией на плоскость ху ячейку О». Обозначим через Т» угол между касательной плоскостью г — Е» = У» (Еь ч») (х — Е») + Ур (Еь 3»Ну — 1») и плоскостью ху.
Согласно гл. 1Н, й 2, вс 1 соз һ— У 1+ К,(Еь а)1'+ (ур(Еь ч»)1» Так как ячейка О» является проекцией куска ао» касательной плоскости на плоскость ху, то аО» = ае» ° ! соа т» 1 ° ЬОь Составим а следовательно, ае» = теперь сумму всех этих плошадей: а затем будем безгранично увеличивать число ячеек деления и, одновременно заставляя стремиться к нулю' диаметр (а вместе с тем и площадь) наибольшей из ячеек Оь На основании определения двойного интеграла эта сумма будет тогда стремиться к пределу =И У +л+л~~ о Этот интеграл, значение которого не зависит ни от способа разбиения области 0 на ячейки О», ни от выбора точек (",», ч»), мы и лри.ие.и за олределение площади заданного куска кривой лоаерхнослги.
10' |а ГЛ. |Ч. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Если вайанная поверхность есть плоскость, то это определение совпадает с данным ранее, что нетрудно установить. Проще всего это проверить, если д=У(х, у)=0; в этом случае получается о = ~ ~ о|8= ~ ~ ах |~у. о о Подынтегральное выражение интеграла, выражающего площадь кривой поверхности, а'=|ар-| оч-у||а-|' рр-ьЛ+7|р рр принято называть злелгелтогг площади поверхности л =Дх, у). Тогда интеграл, дающий площадь поверхности, можно написать символически в следующем виде: В качестве примера вычислим площадь шаровой поверхности, Уравне° -*=|а а— — р .р * - ° ..р.р.рр р. „'а.
р....р... дг х дг у дх )Р /~' — х' — ут ду )Р р|2' — х' — у' стало быть, площадь полусферы равна интегралу г г (' ртх рту 2 ~35 У'Л" — х' — у*' о в котором область интегрирования 0 есть круг хр+ур(Яг в плоскостиху. Введем полярные координаты г, 0 и прелстлвим двойной интеграл в виде повторного; тогда тг Н о о о Стоящий справа определенный интеграл легко вычисляется с помощью замены переменной |2Р— г' = и, откуда г Г ||и Гди — = — яД ~ — =в22 ~ ==2нй)|аи =2лЖ 2 )ри )'и и" е о Следовательно, площадь шаровой поверхности г=4г22г, что совпадает с известной формулой элементарной геометрии.
Пусть теперь поверхность задана не уравнением вида л=г(хрур), а неявным уравнением рр(х, у, г)=0. Предположим, что на рассматриваемом куске поверхности рго'= О, например рг ) 0; тогда дг Т . дг рр„ дс Тг' ду тг а В. ПРнложвния к гвомвтяии 293 и для площзди участка поверхности получится выражение Я= ~ ~ 1' У»+9у+ 3>» их 4', , 1 напоминаем, что областью интегрирования 0 служит проекция куска поверхности на плоскость ху. В обеих формулах. для площади мы выделяли координату г, С тем же правом можно задзть поверхность уравнением вида х=х(у, г) или у=у (х, гу тогда площадь куска поверхности выра- зится интегралами вида ~~)»»1+х'„+х':пуЫг или ~~~/1 — , 'у„-'+у»'аГгг(х, о а" в которых область 0' есть проекция куска поверхности нз пло- скость уг, а 0" — ее проекция на плоскость гх.
Если поверхность задана неявным уравнением з(х, у, г)=0, то формулу для площади можно также записать в трех разных видах: и виде интеграла, найденного выше, и в виде следующих двух интегрзлов: , 1 Г „,, 1 а = ~ ~ ~' з'„+»у+ а»' — г(у иг или а = ~ ~ )l у"„+ д+ д — агг г(х. Что все эти выражения действвтельно определяют одну и ту же площздь, видно из самого процесса, послужившего определением пло- шади кривой поверхности. Можно, однако, проверить равенство всех этих различных по форме выражений прямым преобразованием, При- меним, например, к интегралу )~ т» + ту + т» г( с( г(х с(у о преобразование х=х(у, г), у=у, в котором мы х=х(у, г) получили, разрешив уравнение е(х, у, г)=0 относительно х. Якобиан преобразования — '' = — х, = —.; следовательно, д(х, у) (у г) т» ~ )~ т'+ т"„+ т', „„Г (' ') т'+т*, + т,' Ф» я» и о Область 0', по которой берется интегрзл в правой части, есть проекция куска поверхности на плоскость уг.
Из трех интегральных формул для площади получаются следующие три выражения для элемента плошади Ыа поверхности, заданной неявным уравнением з(х, у, г)=0: ) я»+чу+т» (, р'т»+т7+ч»',~ )~ах+чу+т»1 дэ= Ыхф~= Ыу с(г ' с(гЫх. 'т» 'т» '»У гл. нл кРАтныв ннтвгРАлы 4. Площадь поверхности, заданной параметрическими уравнениями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
