1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Объемная плотность Р= 1. 15. Вычислить потенциал телз вращении г=)'л'+у*(/(г), а(г(Б в начале координат. Объемная плотнос~ь )»= 1. доподнвння к Глйзз ттг ДОПОЛНЕНИЯ Н ГЛАВЕ !Ч В 1. Существование кратного интеграла 1. Понятие меры плоской и пространственной области. Прежде чем приступить к аналитическому доказательству сугцествования кратного интеграла, необходимо. сначала рассмотреть понятие мери обласлта (площади плоской, объема пространственной области). В т. 1, гл. 'тг, й 2, по 2 мы видели, каким образом можно при некоторых общих условиях выразить площадь плоской области с помощью ннтегралз. Мы не будем здесь ссылаться на этот факт, не станем также и на ту точку зрения, что существование площади обеспечивается геометрической интуицией, но дадим общее определение легри области и заодно исследуем, при каких ятредположениях процесс построения этого поня~на имеет смысл.
Начнем с понятия меры плоскогу области. Сначала дадим определение меры (площади) прямоугольника как произведения его основания на высоту. Если разбить прямоугольник на. ь.еньщие прямоугольники проведением некоторого числа прямых, параллельных его сторонам, то нз принятого определения вытекает, что мера данного прямоугольника равна сумме мер всех составляющих его прямоугольников. Теперь можно определить меру области, состоящей из конечного числа црямоугольннков, стороны которых параллельны осям координат, как сумму мер всех этих прямоугольников. В дальнейшем тексте этого параграфа слово прямоугольник будет всегда означать прямоугольник, стороны которого параллельны осям.
Определенная таким образом мера области, составленной из прямоугольников (совпадающая, очевидно, с обычным определением ее площади) не зависит от способа разбиения втой области на прямоугольники. Действительно, если имеются два различных разбиения, то можно построить тзкое новое разбиение, которое получается дроблением каждого из двух исходных разбиений. Для этого достаточно продолжить все прямые, параллельные осям, фигурирующие в каждом из двух разбиений, через всю область, рассекая тем самым каждое из этих разбиений на еще более мелкие прямоугольники. Сумма мер всех этих мелких прямоугольников равна сумме мер всех прямоугольников как первого, так и второго разбиения. Для того чтобы дать определение меры произвольной ограниченноп области В, построим нижнее н верхнее приближение к измеряемой области, т.
е. построим две области, состоящие нз прямоугольников: внутреннюю область Вт (г — первая буква латинского слова 1п1егпна, внутренний) и охватывающую область В, (латинское слово ех(егпцз означает внешний), таким образом, что область В, лежит полностью внутри В, а область В, содержит внутри себя данную область В. а ь существовАние кРАтнОГО интеГРАлА ВН Это можно выполнить, например, так, Сначала строим большой квадрат, содержащий область В. Этот квадрат разбиваем прямыми, параллельными осям, на малые прямоугольники. Совокупность тех прямоугольников, которые лежат целиком внутри В, образует область Вг, ваключенную внутри В, а совокупность всех прямоугольников, имеющих общие точки с областью В, составляет область В„которая включает внутри себя область В. Понятию меры к(В) области В мы должны теперь дать такое определение, чтобы она удовлетворяла неравенству Фв 1В1) ~ ьк (В) —.
ьь (В ) при любом выборе областей Вь и В„ Если производить последовательное дробление наших раабиений таким образом, что диагонали всех прямоугольников будут стремиться к нулю, то меры областей Вь образуют монотонно возрастающую последовательность, а меры областей В, — монотонно убывающую последовательность, так как при этой операции области В; могут только приобретать новые прямоугольники, а области В, — только терять прямоугольники.
Следовательно, как мера В1, так и мера В, стремятся к определенныч пределам. Если пределы В1 и В, равны, то этот обгиий предел называется мерой области В. При каких же обстоятельствах предел меры области Вь равен пределу меры области В,? Конечно, в том случае, когда равность ыгь 1'В,) — Ф (В!) = Ьь СВ, — В1) стремится к нулю при неограниченном дроблении обоих разбиений, когда диагонали всех прямоугольников будут стремиться к нулю. Но область В, — Вь состоит иа тех прямоугольников, которые имеют общие точки с границей области В, — она образует как бы кайму иэ прямоугольников, которая содержит границу области В.
Стало быть, если площадь этой каймы В, — Вь стремится к нулю, то это значит, что граница области В может быть заключена в кайму иа прямоугольников, плошадь которой сколь угодно мала. Обратно, если граница области В может быть заключена в кайму К сколь угодно малой площади, состоящую из прямоугольников, то при достаточно мелком разбиении все прямоугольники приграничной области В, — В, окажутся внутри каймы К, так что мера этой области станет меньше меры каймы К и в силу этого будет стремиться к нулю. Резюмируем полученный реаультат: предел меры В1 равен пределу лгеры В, в том и только в толь случае, еслк граница из.яеряемой нами области В мозкепг быть заключена в кайльу сколь угодно малой лгеры, состоящую из пряльоугольников, В этом случае наше построение действительно дает возмогкносгпь приписагпь области В определенную меру. дополнвния к гллвв гч Наше определение меры имеет с геометрической точки зрения тот недостаток, что оно исходит,из некоторой, тем самым выдеаонной системы координат.
Однако не представаяет существенных затрудиений доказать, что мера области ие зависит от выбора системы коордияьт не только з случае двух, но и в общем случае л измерений. Мы здесь опускаем это доказательство по двум причинам. Во-первых, оно не используется для нашей конкретной цели в доказательства существовании кратного интеграла. Вовторых, независимость меры области от выбора системы коордьиат выяснится впоследствии сама собой, когда мы получим выражение меры с помощью кратного интеграла; что значение этого интеграла не изменяется при переходе к новым прямоугольным координа- У У йх! там, будет тогда видно из самих фор- Г мул преобразования. Представляется наглядно правдоподобным, что асякал кусочно гладкап кривая, т. е.
непрерывнзя кривая, состоящья из конечного числа дуг с непрерывно изменяющейся касательной, мигнет х быть заключена внутри облад сти, имеющей зид йепочкгг приРис. 78. лгоугольникоа, площадь которой сколь угодно мала В следующем номере этот факт будет доказан аналитически. Из этого будет вытекать, что для области, состоящей из конечного числа частей, имеющих кусочно гладкую границу, наше условие существования меры непременно выполняется. Стало быть, такие области имеют однозначно определенную меру, а на практике только такие области и встречаются. В следующем номере будет также доказано, что если область В разбивается кусочно гладкими кривыми на конечное число частей, то сумма мер этих частичных областей равна мере всей области В.
Здесь же мы только еще покажем, что наше определение меры плоской области находится в согласии с прежними определениями плогцадя прн помощи интегралов. Рассмотрим сначала область В (рис. 78), ограниченную осью х, прямыми х=а и х =Ь и дугой кривой у =У(л). Области Вь и В, выбираем, как показано на рис. 78: область Вь ограничена сверху сплошной ломаной, область В,— пунктирной ломаной. Согласно определению обычного интеграла (т.
1, гл.!1, й 1, по1), мера(площадь) Вь цредставляег собой нижнюю сумму е'„, а мера ь (площадь) В,— верхнюю сумму Р„для иитегралз ),7(х)дх. Поэтому ь ь а!У(Вг) = ~ У(х)йл:==. сХ(В,), О % Ь СУЩЕСТВОВАНИЕ КРАТНОГО ННТЕГРАЛА Сопоставляя зту формулу с неравенством .Х(Вг)~ й(В) «,й(В,) и учитывая, что 1ппягг(В1)=1пп Ф(В,), приходим к заключению, что а чав(В)= )т (х)т(х, т. е. определение меры криволинейной трапеции Ф совпздает с прежним определением ее плошади.
Таким же путем нетрудно показать и для общего случая произвольной плоской области В, пользуясь разбиением области прямыми, параллельными осям, что наше определение меры зквивалентно выражению площади с помощью двойного интеграла Наше определение меры области допускает непосредственное обобщение нз пространственные и да ке л-мерные области.
Меру или объем прямоугольного параллелепипеда определяют как произведение длин трех его ребер, выходящих из одной вершины. Мера (объем) области, состоящей из конечного числа таких параллелепипедов, определяется кзк сумма мер всех составляющих параллелепипедов. т(лЯ пРоизвольной области В стРоЯт области Вв составленные из парзллелепипедов, ребра которых параллельны осям, и лежащие внутри В, и такого же типа области В„ охватывающие данную область В. Тогда определение меры области В как общего предела объемов областей Вг и В, имеет смысл при том условии, что граница области В можег быть заключена внутри окаймляющей ее оболочки, составленной нз параллелепипедов и имею1цей сколь угодно малый объем, В следующем номере будет покззано, что зто условие выполняется для всякой области, граница которой состоит из конечного числа кусков поверхностей, имеющих непрерывно изменяющиеся касательные плоскости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
