1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Решая обычным путем задачу на экстремум, обнаружим, что период Т имеет единственный экстремум, а следовательно, наименьшее значение при Г,='к а = з —. / го МаЯтник, ось вРащениЯ котоРого находитсЯ на Расстоании Га= зг =г' М от его центрз массы, будет относительно нечувствителен к малым ЛТ смешениям оси, ибо прн г=гя производная — обращается в нуль, аг так что изменениям расстояния г первого порядка будут соответствовать изменения периода Т второго порядка.
Этот факт используется в технике при конструировании точных часов !маятник ШулераЬ 4. Потенциал поля тяготения. В гл. !1, $7, п'6 мы видели, что, согласно закону тяготения Ньютона, неподвижная частица ьт' массы Гл с координатами ~с, .я, Г) притягивает другую точку Р массы а т. пяиложення к визнкв 30б 1 с координатами (х, у, г) с силой Р= зтад —, где «= [г (х — Е)я+(у — т1)" +(г — ".)' есть расстояние между точ- ками (г и Р. Направление силы совпадает с направлением вектора РЯ, а ее величина обратно пропорциональна квадрату расстояния между точками Я и Р. [При вычислении градиента надо рассматривать 1, и, с как посто- янные параметры и дифференцировать по х, у, г.
Автор здесь и ниже предполагает, что единицы участвующих в этой формуле величин выбраны таким образом, что постоянная тяготения равна единице. Если пользоваться любой заранее установленной системой единиц, то необходимо включить в правую часть множителем постоянную 1 тяготения Т, так что Г= угп исае†.) г' Если источником поля тяготения является система и точек Яь Яь ..., Я„, снабженных массами ть гля, ..., гп„, то результирующая сила притяжения, действующая на материальную точку Р массы 1, тоже можно представить в виде Р=ягаб ~ — '+=+;..+ — "), где гв обозначает расстояние между точками Яь и Р. Если сила поля может быть представлена как градиент некоторой скалярной функции точки, то эту функцию точки обычно называк~г потенциалом силового поля; в соответствии с этим мы будем называть потенциалом поля тяготения системы частиц ггь Ям ..., Я„ в точке Р(х, у, г) скалярную функцию и (1(х, у, г)= (х — Еа)'+ (у — Ча)'+ (г — ьа)' --Х, [В физике эту функцию (1(х, у, г) обычно нззывают силовой функцией, а потенциалом принято называть функцию У= — К так что сила поля Р=ягай У= — ясам У.] Предположим теперь, что массы, порождающие поле тяготения, не сосредоточены в конечном числе точек, а распределены по области О простраиствз либо по участку ~ поверхности, либо по дуге Е кривой с непрерывной плотностью р($, т1, с), [В первом случзе это будет объемная плотность, во втором — поверхностная, в третьем— линейная плотность.) Тогда в качестве определения потенциала поля в точке Р, лежащей вне области О или участка ~,".поверхности, или дуги 1., естественно, принимают: в первом случае тройной интеграл ~~~ иЛ ъС)йг,(„й, о Гл.
пл КРАтяые ннтвгРАлы во втором случае — интеграл по поверхности') в третьем случае — обычный определенный интеграл где переменной интегрирования служит длина дуги а кривой 1.. Во всех трех интегралах г обозначает расстояние между точкой Я (л, тЬ () области интегрирования и точкой наблюдения Р поля тяготения. Так, например, потенциал в точке Р(х,у, л) сплошного шара К радиуса 1, с центром в начале, при постоянной плотности )л=1, приводится к следующему виду: ()= ~ ~ ~ Л1 Лч ЛС ') й )У'(х — Е)л+(у Ч)л+( С)л +Г +У! — Ы +ГТ-Ы вЂ” 'Чл =М ~ "') ~ — „'ж, — — У~ — Ы вЂ” чл л,= — ~ ~(" ' лл,л.
Рл= — ~~~ Р,= — ~~~ У„,' )1 (г("., о л — ( г" а (;<(Г. ') В этом месте автор рассматривает интеграл по поверхности как понятие интуитивно очевидное. Точное изложение вопроса и способ вычисления такого интеграла даются в Дополнениях к этой главе, й 3, и' 1 и гл. )г> $4. (Пряли лерга.) Во всех этих выражениях координаты точки Р участвуют не в качестве переменных интегрирования, а в качестве параметров, так что потенциал является всякий раз функцией этих параметров, т. е. функцией точки Р. Для того чтобы получить иа потенциала проекции силы на оси координат, надо дифференцировать соответствующий интеграл по параметрам х, у, л. Правила дифференцирования по параметру распространяются непосредственно на кратные интегралы; поэтому на основании й 1, и' 2 можно выполнить дифференцирование под знаком интеграла, если только точка Р не принадлежит области интегрирования, т.
е. если расстояние г не обращается в нуль ни для какой точки области интегрирования. Например, для координат силы притяжения телом, занимающим область 0 пространства, единичной массы, помещенной в точку Р(х,у, л), получаются следующие выражения: 307 $7.
ПРиложюния к Физика В заключение подчеркнем, что выражения для потенциала и его первых производных по х, у, а сохраняют все же смысл и в том случае, если точка Р лежит внутри области интегрирования, заполненной притягивающими массами. В этом случае интегралы являются несобственными, но их скодимость нетрудно установить с помощью признаков сходимости из й о, п 2. В качестве примера вычислим потенциал, порожденный массами, распределенными по шзровой поверхности В радиуса а с плотностью р= 1, как во внешней, так и во внутренней точке шара. Из соображений симметрии ясно, что потенциал должен зависеть только от расстояния точки поля Р от центра шара. Примем центр шаровой поверхности за начало координат, а ось х проведем через внешнюю или внутреннюю точку Р, считая положительным направление от центра к точке Р. Тогда точка Р будет иметь координаты !х, О, 0) (х) 0), и потенциал запишется так: где колечко, нздетое на символ поверхностного интеграла, показывает, что он распространяется на замкнутую поверкность.
Введем на шаровой поверхности Е сферические координаты с осью абсцисс в качестве полярной оси: 1=асоз6, ~=аз!пиксову, ~=аз!пбз)пу. Тогда ы а' з!и а = 2я 1 пб = — )' х'+ а' — 2ах сов 0 | .! р х' + а' — 2ах соа 6 х !а=о о = — ),)' ха+ ля+ 2ах — )' х'+ а' — 2ах) = — )х+ а — ~х — а!). <:гало быть, если х)а, то 4ла если ке 0(х(а, то )7= 4яа. ! !ри х= 0 требуется отдельное вычисление, которое приводит к тому же результату У=4яа. Так как любая полупрямая, выходящая из пснтра сферы, может быть принята за положительную полуось , бсцисс, то х означает здесь просто расстояние от центра до любой ~очки поля.
308 ГЛ. !Ч. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Следовательно, потенциал поля вне сферы — такой, как будто бы вся масса сосредоточена в ее центре, внутри же сферы потенциал имеет постоянное значение, На самой поверхности потенциал остается непрерывной функцией; выражение для (у сохраняет на ней смысл кзк сходящийся несобственный интеграл и имеет значение 4ла.
Сама же сила притяжения (точнее, напряженность поля) Р имеет на поверхности шара конечный разрыв. Чтобы это было яснее, ззменим букву х, означающую расстояние точки Р от центра шара, более привычной для этого расстояния буквой г.
Тогдз потенциал 4лал — при г=:а, (т= г 4ла при г ( а. Напряженность поля 4ла' аб(У вЂ” —., г при г а, О при г(а, где г' — единичный вектор направления радиус-вектора. Стало быть, при переходе через поверхность вектор Р совершает скачок от значения О до значения — 4лг'. Потенциал (У! шара радиуса Я, заполненного веществом с объемной плотностью р = 1, в любой точке Р, лежащей вне шара, легко вычислить так: помножить потенциал шаровой поверхности радиуса а во внешней точке на оа и интегрировать по а от О до )т' Я Г 4ла' 4лгг' Ц= ~ — !(а= — „при г)гс Зг з Отсюда видно, что потенциал однородного шарообразного тела в любой точке, лежащей вне его, таков, как будто вся масса — л)т з 3 сосредоточена в центре.
Упражнения 1. Для следующих ниже тел найти объем, центр мзссы и моменты инсрцин относительно каждой нз осей х, у и з (объемная плотность и=1)! а) параллелепипед Ол~х~а, О~у(Ь, 0 =я~с! ч,г „г ~~а:* — г; в) треугольная призма с вершинами (О, О, 0), (а, ОГО), (О, Ь, 0), (О, О, с). 2. Определить центр массы боковой поверхности прямого кругового конуса (поверхностнвя плотность постоянна). 3. Найти координаты центра массы сегмента параболоида у'+з'=рх, отсекаемого плоскостью х = а. 4ь. Трубчатая поверхность задана как огибающая семейства сфер радиуса 1 с центрами на некоторой кривой плоскости ху.
Обозначим через 2 площадь куска втой поверхности, лежащего над плоскостью ху, и через 3— площадь проекции этого куска поверхности на плоскость ху. Доказать, что аппликата ь центра массы куска ь трубчатой поверхности равна З,Х. 609 % 7. ПРИЛОЖЕНИЯ К ФИЗИКЕ Б. Вычислить момент инерпии тела, ограниченного двумя цилиндрическими поверхностями х'+у'=Р' и х'+у'= Р' (Р)Р) и двумя плоскостямн г=й и г= — Ь относительно а) оси г; б) оси х (объемная плотность Р= !). 6. Пусть А, В, С вЂ” моменты инерции произвольного тела положительной плотности относительно осей х, у и г.
Доказать, что эти трн величины удовлетворяют внеравенствам треугольника» А+В) С, А+С)В, В+С) А. х' ув г' 7. Вычислить момент инерции эллипсонда —,+ —,+ —,=1 (объемная плотность )л= !) относительно а) оси г; б) произвольной прямой, проходящей через начало координат — — — (а + Ел+7 = 1).
х у г в в и р 7 8*. Найти огибающую поверхность семейства плоскостей, относительно которых эллипсоид х" у' г' а+ +с а' д' с' имеет один и тот же момент инерции й. Объемная плотность эллипсоида равна единице. 9. Дано произвольное тело, и пусть Π— произвольная точкз. На всяком луче, выходящем из точки О, отложим отрезок 01 = !9»/г, где 17 — момент инерции тела относительно прямой, совпадающей с этим лучом.
Доказать, что геометрическое место концов 1 этих отрезков есть эллипсоид (так назы- ваемый эллипсоид инерции тела для точки 0), х' у' г' 10. Найти эллипсоид инерции эллипсонда †, + †, + †, = 1 для точки (1, ть ь). Объемная плотность )л= 1. 11. Найти координаты центра массы шаровой поверхности х' +ув + 1 + г' = 1, если поверхностная плотность )/(х — 1)'+ув+г' 12. Найти абсциссу центра массы октанта (восьмой части) эллипсоида: х' у' г' — в+ —,+-л=1, х~0, у)0, г)0.
13. Тело А состоит из двух частей А, и А,. Обозначим через 1, /о 1, моменты инерции тела А и его частей А, и А, относительно трех параллельных осей, проходящих через соответствующие центры массы этих трех тел. Доказать, что 1 1+/+ ' в йв, т,+тв где т, и т,— массы частей А, и А„а д — расстояние между осами„проходящими через их центры »вассы. „в(,в в 14. Вычислить потенциал эллипсоида вращения — + — =1 в его ав йв центре (Ь ) а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
