1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Однако предельные значения, к которым стремится функция, когда мы приближаемся к какой-либо точке обшей границы двух районов, могут быть различны, когда мы приближаемся к этой точке из одного или из другого района. Интеграл от функции у(х,у) по каждому району 0» подходит под наше первоначальное определение двойного интеграла, если только мы дополним определение функции в О» соответствую- шими ее значениями на границе до функции, непрерывной в замкнутом районе 0». Двойной интеграл от функционале всей облости 0 мы определим теперь как сумму интегралов от этой функции по всем частичным областям О».
В качестве примера рассмотрим функцию У(х, у), определенную на квадрате 0(х =.1, Оку( 1 следующим образом: 1, если у(х, у(х, у) = 2, если у ~х. Для атой функции прямая у=х является линией разрыва. Вычисляя, согласно сделанному определению, несобственный двойной интеграл по ука- занному выше квадрату, получаем ~ ~у(х, у) иклу=и —. и ') Гладкой дугой называется дуга кривой с непрерывна вращающейся касательной, а а. нвсовстввнныв кгатныв интвггллы 2. Кратный интеграл от функции, обращающейся в бесконечность в изолированных точках, Если подынтегральная функция у обращается в бесконечность в единственной точке Р области интегрирования О, то несобственный интеграл по области 0 мы определим процессом, аналогичным тому, которым пользовались в случае одной переменной.
Вырезаем из области 0 вокруг точки разрыва Р некоторую ее окрестность У», так что остающаяся замкнутая область 0»=0 — У» уже не содержит точки Р. Можно построить весьма разнообразные последовательности таких окрестностей У„, диаметры которых стремятся к нулю с возрастанием !г, например, последовательность кругов (в двумерной области) или шаров (в трех- 1 мерной области) с центром в точке Р и с радиусом с= —. Если последовательность интегралов по остающейся области О„стремится к определенному пределу (числу) ! при !г -+со, т.
е. если 1!ш ))!(х, у)сЫ=! о» и если этот предел не зависит от выбора последовательности О», то несобственный интеграл от функции ! по области 0 называется сходяи»пяся и упомянутый предел ! называется значением этого несобственного интеграла: '))!(х, у)ио= 11ш ')')у(х, у)йо=!. о о» Если предел ! равен бесконечности или не существует, то несобственный интеграл по области О называется расходящилгся. Наше определение пригодно, очевидно, и для того случая, когда точка Р является изолированной точкой неопределенности, как, иапри- 1 мер, начало координат для функции а|п —. Если в окрестности х»+у'' точки неопределенности Р абсолютная величина функции остается меньше некоторого постоянного числа, то несобственный интеграл всегда сходится.
Общее условие сходилгости несобственного интеграла можно, на основании сказанного выше, формулировать следующим образом. Пусть любому наперед заданному сколь угодно малому положительному числу а соответствует число Ь=д(а), обладающее следующим свойством: если У и У' — какие угодно две различные (открытые) окрестности точки Р (бесконечного разрыва или неопределенности), диаметры которых меньше Ь, то разность интегралов от функции у, распространенных на замкнутые остающиеся области 0 — У и 0 — У', по абсолютной величине меньше». При выполнении этого условия несобственный интеграл по области 0 сходится. Поясним эти идеи на примерах.
280 ГЛ. !Ч. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ функция у(х, у)=!пВгха+у' обращается в бесконечность в начале коордйнат. Для того чтобы выяснять, сходится ли несобственный двойной интеграл от этой функции по области О, содержащей начало координат, например, по кругу ха+уа(1, надо вырезать нз области О произвольную окрестность Ц начала координат, диаметр которой меньше Ь, а затем вычислить предел интеграла по остающейся области Оа= О в Ц, когда Ь стремится к нулю.
Любая окрестность начала координат, диаметр которой меньше Ь, наверняка лежит внутри круга радиуса Ь с центром в начале координат. Преобразуем интеграл по области Оа к полярным координатам (Э 4, и' 2); тогда ~ 1п Вгх'+ у' 6(х цу = Ц г 1п г абг 6(В, 6 аа причем интеграл в правой части берется по той области О' плоскости гВ, которая соответствует облзсти Оа.
Следовательно, если область О есть круг ха+уз(1, то область Оа содержит прямоугольник Ь(г<1, Оц=В~2я плоскости гэ, но не доходит до прямой г=п. Так как 1!ш (г1пг) =О, то г о подынтегральная функция г1пг становится непрерывной при г=О, если приписать ей в этой точке значение нуль. Поэтому, заставляя Ь стремиться к нулю, можно рассматривать преобразованный интеграл ~ г1п г я оВ = 1цп )! г 1и г 6(г пВ 6 опт как обыкновенный (собственный) двойной интеграл. Это и доказывает схо- димость предложенного интеграла.
В то же время этот пример показывает, что, как и в случае одной независимой переменной, подходящее преобразование координат может иногда превратить несобственный интеграл в собственный. Из этого факта ясно, какие недопустимые ограничения пришлось бы ввести, если бы мы отказались от рассмотрения несобственных интегралов. В качестве следующего примера рассмотрим интеграл взятый по области О. Пусть область О полностью лежит внутри круга К с центром в начале координат и радиусом )с.
Если сходится интеграл по кругу К, та сходится и интеграл по области О. Если, напротив, круг К постоянного радиуса )с содержится в области О и интеграл по кругу К расходится, то, очевидно, расходится и наш интеграл по области О. И здесь мы сначала вырежем из круга К малый круг радиуса Ь и возьмем интеграл по остающейся области Ка. после перехода к полярным координатам получим 1 г (Ка) = ~ 'т — 6тг о'В 1Г" ' 282 [а ГЛ. [У. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ и рассуждение, аналогичное предшествующему, обнаруживает, что этот несобственный интеграл сходится в том и только в том случае, если а( 3.
Пользуясь этим результатом, получим следующий общий достаточный привнак сходимости тройного интеграла. Пусть функция Д(х, у, г) обращается в бесконечность в начале координат и непрерывна во всех остальных точках трехмерной области О, содержащей начало координат. Если существует такое постоянное число М и такое положительное постоянное число а( 3, что 1л", и )1~(,,,„ во всей области О, то несобственный интеграл ЯУ(х, у, г)йхйуйх и сходится. С помощью этих признаков сходимости нетрудно вывести следующие несколько более общие результаты: двойной интеграл вида я(х, у) ахну 1 ('г [х — а)" -[- (у — Ь)') и тройной интеграл вида ( ~ 1 (г(* — ~ ~.~у — ч'~-~ — рг где (а, Ь) или (а, Ь, с) — постоянная точка, лежащая внутри области О„сходятся, если функция а непрерывна в замкнутой области О.
)Аля того чтобы сделать возможным применение к этим интегралам наших признаков сходимости, надо лишь перенести начало координат в точку (а, Ь) или (а, Ь, с) с помощью параллельного переноса осей, 3. Интеграл от функции, обращающейся в бесконечность вдоль линии. Если функция у(х, у) обращается в бесконечность не только в отдельной точке, но и вдоль некоторой линии С, лежащей в области О, то несобственному двойному интегралу от функции у по области 0 можно дать определение, следуя тому же пути.
Линию разрыва С вырезаем из области 0 вместе с такой окрестностью У, этой линии, площадь которой меньше а. Если при а — Р О интеграл от функции у'(х, у) по остающейся области О в У, стремится к конечному пределу У, не зависящему от выбора изменяющейся окрестности Уа то несобственный двойной интеграл от функции з ло области 0 называется сходящимся (говорят также, что он сходится), а этот предел 1 считается значвнием несобственного интеграла. Простейший пример — тот, в котором линия С есть отрезок прямой, например отрезок оси у. Если функция у' удовлетворяет во всей а а. нзсозставнныв кРАтные интзгРАлы 283 области О неравенству ()'(х, у)( ( †„, где М и а — постоянные числа и 0(и(1, то )) тгх, у)бхбу схоо дится.
Доказательство проводится знакомым нам путем: можно, например, вырезать из области 0 полосу, содержащую ось у и ограниченную двумя прямыми, параллельными этой оси. 4. Интеграл по бесконечной области. Если область интегрирования 0 простирается в бесконечность, то ее «исчерпывают» последовательностью конечных частичных областей Оь Оэ, ..., Ол, ..., обладающих тем свойством, что любая ограниченная частичная область, содержащаяся в О, лежит внутри всех областей О„, начиная с некоторого номера т, т. е.
при всяком л~ т. Если, например, областью 0 является вся плоскость, то за последовательность Оь можно принять совокупность кругов радиуса й 11г = 1, 2, ...) с центром в начале координат. Если интеграл ДУ1х, у)йо о„ стремится к определенному пределу, числу 1, при й -ь со, и этот предел не зависит от выбора последовательности областей Ол, то говорят, что несобственный интеграл ДУ(х, у) ао а по бесконечной области О сходится, и число 1 нааывается значением несобственного интеграла ')')У(х, у)г1о= Пш ')')У1х, у)йо=Е а о„ Если же предел )) бесконечен или вообще не существует, то говооь рят, что несобственный интеграл от функции т по бесконечной области 0 расходится.
Поясним это определение на примере интеграла ~~ е кл У с1хи в котором областью интегрирования 0 является вся плоскость ху. Для того чтобы проверить, сходится ли этот несобственный интеграл, попытаемся сначала исчерпывать плоскость ху последовательностью кр1тов К„ с радиусами со кл+у'~ч', которые удовлетворяют, очевидно, поставленным выше требованиям. Стало быть, надо исследовать предел интеграла е л > ихиу л ГЛ. 1У.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
