1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Наконец, статические лголгенти массы, распределенной вдоль пространственной кривой х==х(з), у=у(а), г=г(з) с линейной плотностью р(з), определяются как обычные определенные интегралы о 51 31 Т,=~ рхйз, Т,=() руйз, Т,=С) йгйз, ы ао аа где з обозначает длину дуги кривой. Иентром масси илн центром тяжести массы М, распределен- ной по объему, по поверхности или вдоль линии, назывзется точка, имеющая следующие координаты: Т„Т„Т ч=М, Ц= —, С= —,, где М вЂ” общее количество распределенной массы.
При этом, если масса распределена по пространственной области О, то М=~ ~ ~ 9(х, у, »)ахйуаг; о 0 7. ПРИЛОЖЕНИЯ К ФИЗИКЕ если масса рзспределена по куску поверхности 2,; то я=11т! =115(, !! 55Ргиюч в о если же масса распределена вдоль дуги кривой, то г! тИ=~ Р15)(Ь. га Рассмотрим два примера. 1) Найлем центр массы однородного полу- (парв Ей .
+зл+ 1 1г О) плотности р= 1. Статические моменты относительно плоскостей уг и гх равны нулю, т. е. Т =фхЙХ(ту(15=0 н Т„=фу(тхв(у(та=О, нбо уже интегрирование по х в первом случае и по у во втором дает в резуль- тате нуль. Для вычисления статического момента полушара относительно плоскости ху: перейдем к цилннлрическим координатам г, 0, г. с понощью преобразования х=гс(ма, у=гвш8, г=г и получим ! Г (-гв 2я 1 гв ! и Т = г ог г (1г 1 (10 = 2я (~ — г (12 = я ! — — — ! 1 = —, в 25 Так как масса нашего полушара М= —, то центр массы полушара нахо- 3 ' 01 л(пся в точке (О, О, 6 !. 2) Масса распределена равномерно по половине шаровой поверхности радиуса ((г = 1 с поверхностной плотностью Р= 1. Найти центр массы втой полусферы.
Из параметрических уравнений шаровой поверхности х=со5 и мпо, у=в!п и 5(по, я=гово вычисляем по формуле из й 6, и'4 элемент площади ив =угео — Г! 5(и ио= 51п о(ти (уо и с его помощью вычисляем статические моменты 2 тп Т„= ~ 51п в о ио ~ сов и (ти = О, 2 21! Ту — — ~ 51П'о оо) мни (хи=О, а 2 зп 2 5!П'О Т = ипосовойо йи=25 — ~ =я. 2 о о гл. |ч. кватныв интегвллы Так ллк, очевидно, полная масса М=2ч, то центр массы однородной полу- 11 сферы находится в точке ~0, О, — -1. ж Момент инерции.
Понятие момента инерции тоже легко обобщается на случай ббльшего числа измерений. Моментом инерции материальной точки относительно оси х называется произведение ее массы на ря=уя+»я, т. е, на квадрат расстояния точки от оси х. Соответственно этому момент инерции массы, распределенной непрерывно по пространственной области 0 с объемной плотностью 1л= =р(х, у, »), относителщ1о оси х определяется как тройной интеграл !„= 1))) 1л (у' -~- »Я)ггх гху сТ»; а моменты инерции этой массы относительно других осей координат определяются аналогичными интегралами. Порой вводят также определение момента инерции массы, распределенной по объемной области О, относительно начала координат 1называемого лотрным можектож инерцпп) как тройного интеграла Я р (ха +ух +»') Их оу и»; а легко понять, как надо видоизменить это определение для момента инерции относительно любой другой точки.
Момент инерции того же распределения массы относительно плоскости у» определяется тройным интегралом Я рхвс1х лу а»1 а аналогичными интегралами выражаются моменты инерции относительно плоскостей»х и ху. Момент инерции массы, распределенной по куску поверхности ~„', относительно оси х определяется как двойной интеграл ')) 1г (УЯ +»') до, где поверхностная плотность р(п, о) задана как непрерывная функция параметров и и и на поверхности, а Ио — элемент площади этой поверхности.
Момент инерции !с тела переменной плотности й(х, у, »), заполняющего область 0 пространства, относительно оси, параллельной оси х и проходящей через точку С(с, т1, ч), выражается интегралом го=ЯР Ну ч)) +(» — Г) ) о1х~Ууп». а $ Ъ ПРИЛОЖЕНИЯ К ФИЗИКЕ Это выражение можно представить в следующем виде: 1с=))) р(у'+г')а йуйг+(й'+~')Яр,йхбубг— о о — 27) ) ) ) Ру йх йу Ыг — 2ь )')) рл ах т(у йг = о и = 1, + (7Т + ~~) М вЂ” 2т!Т вЂ” 2. "Т, где М вЂ” масса тела, а ТР и Т,— статические моменты тела относительно плоскостей гх и ху. Если в качестве точки С(1, 7), 7) выбрать центр массы тела, то ТР=М71 и Т,=М";, тогда последнее равенство приводит к соотношению 1 =ус+(йа+"')М Так как любая ось может быть принята за ось х, то полученное соотношение можно сформулировать в виде следующей т е о р е м ы„ принздлежащей Штейнеру: Момент инерции твердого тела относительно любой оси равен моменту инерции этого тлела относительно параллельной оси, проходящей через его центр массь7, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния от центра массы до первой оси (квадрат расстояния между обеими осями).
Физическое значение момента инерции массы, распределенной по объему или по поверхности — совершенно такое же, как было отмечено в первом томе (гл, Ч, $ 2, п' 11): Кинетическая энергия тела, вращающегося равнолгерно вокруг оси, равна половине пооизведения лсолсента инерции тела относительно оси вращения на квадрат его угловой скорости.
Решим два примера для иллюстрации понятия моиснта инерции и техники его вычисления в простых случаях. 1) Вычислим моменты иисрцнн относительно осей координат однородного шара )г радиуса 11=1 с центром в начале координат, если объемная плотность Р = 1. Из соображений симметрии ясно, что все три искомых момента инерции равны между собой; обозначим их общее значение через 1: 1= $ (х +у ) ахау ля= ф (х +22) их!1у их= ф (у~+22) 41х дую(2, Сложив зги три интеграла, получим 31 = 2 ф (х' + у' + 2') дх ду йк Этот интеграл легко вычисляется, если перейти к сферическим координатам г, 6, у: ! 2 а2 1= — ~ г'ь'г ащ еда ау = — ° — ° 2 ° 22= —.
33 ) ~ 3 Ь 15' а1 ЗО2 гл. тч. кРАтные ннтегРАлы 2) Балка имеет форму прямоугольного параллелепипеда, ребра которого параллельны осям х, у, а и равны соответственно а, Ь, с; начало координат поместим в центре массы балки. Объемная плотность и = 1. Найдем момент инерции балки относительно плоскости ху. Имеем а Ь а 2 2 2 — — ~ Пх ~ ау ~ 2~Па= аь — 2, а Ь с 2 2 2 3.
Физический маятник Введенные выше понятия механики находят приложение к математическому исследованию физического маятника, т. е. твердого тела, совершаюшего под действием силы тяжести вращательные колебанна вокруг неподвижной оси. Проведем через центр массы С твердого тела плоскость, перпендикулярную к оси вращения; пусть эта плоскость пересекает ось в точке О (рис. 77).
движение тела будет, очевидно, полностью известно, если удастся определить угол 6 =6((А образуемый векто- С/ ром ОС с направленной вниз вертикалью, ! ! проходяшей через точку О, как функцию времени 1. Лля того чтобы найти эту функцию 6(1), а затем и период колебания маят! ника, мы воспользуемся законом сохранения энергии, который утверждзет, что во время движения тела сумма его кинетической и его Рис. 77. потенциальной энергии остается постоянной (ср. гл.
У1, 2 1, по 2А Потенциальная энергия нашего тела (7=МАЙ, где М вЂ” масса тела, А — ускорение силы тяжести, а 72 — высота центра массы над какой-либо фиксированной горизонтальной плоскостью, например над горизонтальной плоскостью, проходящей через положение центра массы в состоянии покоя. Обозначим расстояние ОС центра массы от оси вращения через г; тогда У = = Мпг (1 — соз 6). Кинетическая энергия врагцаюшегося тела (см. конец 1 предыдущего номера) есть Т= — 162, где 1 — момент инерции тела 2 ° а'0 относительно оси вращения, а 6= — „, Следовательно, закон сохранения- энергии' приводит к уравнению 2 1 '2 яМг — 1оа — Мпг соя 6=- сопз1 или — 6' — ~ сов 6=сопя1. (1) 2 2 т' В т.
1, гл. Ч, 2 б, п'3 было изучено колебание иатематического маятника, представляющего идеализацию физического маятника. Физическим осушествлением математического маятника может служить небольшое тело, подвешенное в поле силы тяжести на длинной нити 304 ГЛ. ПА КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ го или, если введем новую постояннную а= —, М' ~=Г+ — ', Осюда сразу видно, что у физического мзятника приведеннзя длина 1)г, а потому его период колебания всегда больше, чем период колебания математического маятника, который получится, если всю массу сосредоточить з центре массы.
Ясно также, что период колебания вокруг л1обой из параллельных осей, находящихся на одинаковом расстоянии г от центра массы, всегда один и тот же. Это видно из того, что приведенная длина физического маят~о ника зависит только от двух величин: г и а = †, и в силу этого М' остается неизменной, если сохраняется направление оси вращения и расстояние этой оси от центра массы. а Приведенная длина 1=Г+ — не изменяется и в том случае, если Г а подстзвим вместо г величину —, т. е.
если проведем ось вращения Г' того же напрзвлении не на расстоянии г от центра массы, а на раса стоянии — от него. Это значит, что физический маятник имеет один г и тот же период колебания вокруг всех параллельных осей, находя- а шихся на расстоянии г или — от центра мзссы. Г а Г+— г Из формулы Т=2Г.1г видно, что период колебания Т Ю неогрзниченно возрастает, если г стремится к нулю или к бесконечности. Стало быть, он должен иметь минимум при некотором определенном аначепии г,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
