1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Впредь, как и раньше,'мы будем рассматривать только такие области; слово область будет всегда означать ограниченную замкнутую область, граница которой состоит из конечного числа кусков поверхностей, выражающихся непрерывно дифференцируемыми функциями. Мера цилиндра, образующие которого параллельны оси а, а основание лежит в плоскости ху, равна произведению плошади основания на высоту, Это очевидно, если основание состоит из прямоугольников, стороны которых параллельны осям х и у, В общем случае цилиндр можно заключить между двумя цилиндрами, основания которых состоят иа прямоугольников и меры (объемы) которых разнятся сколь угодно мало; стало быть, наше правило вычисления меры годится и для цилиндра с произвольным основанием.
Отсюда, как и выше, нетрудно вывести, что двойной интеграл )') У(х, у)1(хг(у дополнения к главе гг выражает меру тела, ограниченного областью 8 плоскости ху, поверхностью г= — >(х, у) и цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси г, а направляющей служит граница области Н.
Далее, тем же путем убеждаемся, что и для любой пространственной облзсти 0 наше определение меры приводит к знакомому тройному интегрзлу Я >~х >ау в>я, а т. е. определение меры пространственной области совпадает с прежним определением объема. 2. Теоремы о кусочно гладкой дуге плоской кривой и о кусочно гладком куске поверхности. В нашел> построении понятия меры (площади) плоской области мы пользовались теоремой о том, что кусочно гладкая дуга плоской кривой может быть включена в такую область-кайму, которая составлена из прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат, и имеет сколь угодно малую пло>цадь.
Достаточно, очевидно, доказать зту теорему для любой глздкой части втой дуги, т. е. для непрерывной дуги, вдоль которой и касательная изменяется непрерывно. Такая луга может быть представлена параметрическими уравнениями х=ф(г), у=ф(г), а(г =Ь, где параметром служит длина дуги г а ф (г) и ф(г) — непрерывно дифференцируемые функции. Тогда ! я>'(г) ! ~ 1 и ! ф'(г) !:.= 1.
Пусть г и г> — два значения длины дуги из .интервала а( г =Ь, и пусть х> — — ф(г>), у> — — ф(г>). На основании теоремы о среднем значении из дифференциального исчисления имеем 1 х — х> ! = ! 9 (г) — ф (г>) ! ~ ! г — г> !, !у — у>!=!ф(г) — ф(г>)!~ !з — з>!. Разделим нашу дугу а -.г(Ь иа и равных частей длиною е= =:е каждая и обозначим начальную точку Ь-и части через (хе, уе), Л а произвольную точку втой части — через (х, у) Тогда !х — х„! =е или хь — е~х(хе+а, !у — уе ! е или уе — е -.у(уе+е.
Стало быть, все точки Ь-й части дуги лежат в квздрате с центром в точке (хе, уа), стороной 2е и плошадью 4ее. Вся дуга содержится в области, обьединяюшей зги л квадратоц которые частично покры- з ь сгшвствованнв квлтного ннтвгвллл 3!б вают друг друга. Поэтому плошздь всей этой облзсти не превышает величины 4атл= 4е(Ь вЂ” а), которая, очевидно, стремится к нулю при а-ь О, Из этой теоремы вытекает важное следствие. Бели плоская область О, ограниченная замкнутой кусочно гладкой кривой, разбита на две части О' и О", отделенные друг от друга кусочно гладкими дугами, то мера площади области 0 равна сумме мер плошадей обеих ее частей: еЮ (0)= еФ (О') + ыб(О ). Для доказательства разобьем область 0 сеткой прямых, параллельных осям координат, со столь малым расстоянием между этими прямыми, что кайма, состояшая из прямоугольников, имеющих обгцие точки с границей области 0 или с линиями, отделяющими друг от друга области (У и 0', имеет сколь угодно малую плошадь.
Как и в пч1, обозначим через 0; область, состояшую из всех прямоугольников, лежзших целиком внутри О, а через О, — область, объединяющую все прямоугольники, имеюшие обшие точки с О. Соответствуюшие аппроксимирующие области для 0' и 0" обозначим через 0~, 0;, 0;.; О. Области О; и 0~' содержатся в Оь а друг от друга они полностью отделены; поэтому ыб(0) ~ т~(Оаэи ®%)+.®(О~') С другой стороны, области 0; и 0 вместе покрывают О„ио некоторые из прямоугольников сосчитаны при этом два раза; поэтому а(О;) ~ ж(0,') .Я(О,) ж(а). Когда диагонали прямоугольников сетки стремятся к нулю, то ыв(0;) и ай(0;) стремятся к общему пределу ый(О'); ый(0г) и Ф(0 ) стремятся к чав(0"), а яв(0;) и ау(0,) — к ый(О).
Следовательно, из выведенных неравенств вытекают два предельных неравенства ый (О')+ ыв(0 )» за (О) и 46(0')+ ый(0')) ыв(0) Стало быть, вФ Щ + аФ (О') = аХ (О). Ясно, что эта теорема сложения справедлива и в том случае, если пбласть 0 разбивается на любое конечное число п частей Оь 0„... ..., а„. Теореме о кусочно гладкой дуге плоской кривой соответствует я пространстве теорема о куске поверхности, заданном параметриюскими уравнениями х=э(~, и), у=)(п, и), «=т(, и), а(и =.Ь, а~о~~, З1В дополнения к глявв ш где функции р, ф, у имеют кусочно непрерывные частные производные. При этом предполагается еде, что одну из переменных х, у,з можно выразить как кусочно непрерывно дифференцируемую функцию двух других.
Такой кусок поверхности всегда 'можно включить в окаймляющую область сколь угодно малого обьема, состояцгую яз прямоугольных параллелепипедов, ребрз которых параллельны осям координат. Теореме сложения для плоских облзстей соответствует в пространстве трех и большего числа измерений своя аналогичная теопеаа сложения, которую читатель без труда сформулирует сам. Доказательства обеих теорем совершенно аналогичны доказательствам соответствующих теорем для плоскости.
3. Доказательство существования двойного интеграла от непрерывной функции. Пусть функция 1(е,у) непрерывна в замкнутой области О. Разобьем область Она Ж ячеек, каждая из которых имеет кусочно гладкую границу, как это описано в гл.!1Г, й 2, пп 1 и 2. Докажем, что когда наибольший диаметр ячеек О, стремится к нулю, то нижние суммы 2, 'гя,ЬОг и верхние суммы ~, 'М;Ьйг (введенные там же) стремятся к общему пределу, не зависящему от способа разбиения.
Доказательство по существу такое же, как у соответствующей теоремы для функции одной переменной (т. 1, Доп. к гл. П, $1), и яы поэтому позволим себе наметить его весьма кратко. Сначала предположим, что разбиение области 0 на ячейки 0; выполнено при помощи ломаных. Наибольший диаметр Ь ячеек 0; иы выберем столь малым, что в любых двух точках одной ячейки звачения функции будут отличаться меньше, чем на произвольно заданное число а, так что Мг — лг, (а. Тогда разность между верхней суммой и нижней будет удовлетворять неравенству б ( Х Мгь 0; — Х и; й О; ( а ~,' б О; = а .Ф (0).
Всякое разбиение, которое получается иэ данного разбиения путем его дробления, имеет, очевидно, такую нижнюю сумму, которая лежит между верхней и нижней суммзми исходного разбиения, Для докзэательства теоремы достаточно проверить, что у любых двух разбиений области 0 на ячейки, диаметры которых меньше й, верхние и нижние суммы одного разбиения сколь угодно мало отличаются от одноименных сумм другого разбиения, если только число ч выбрано достаточно малым. Итак, пусть наряду с разбиением области 0 на ячейки Ог имеется еще одно ее разбиение нз ячейки Оь, диаметры которых тоже меньше а; тогда и для этого разбиения можно написать соответствующее не- равенство з а оеоешенные воемглы ггльдинл.
поливный планнмета 317 Обз эти разбиения в совокупности определяют новое разбиение, когорое может быть получено дроблением любого из двух исходных рззбиений. Для получения этого нового разбиения надо только выделить общую часть каждой пары ячеек 0~ и Оь (если такая общая часть существует) в качестве новой ячейки 0)ь Согласно сделанному выше замечанию, нижняя сумма нового разбиения не меньше, чем нижняя сумма каждого из двух исходных разбиений, и отличается от каждой из этих сумм меньше чем на аые(0). Следовательно, сумма 2,лггЬОр отличается от суммы ~;таЬОь меньше чем на 2а ау(0).
Так как з можно выбрать сколь угодно малым, то отсюда (на основании критерия сходимости Коши) вытекает, что нижние суммы стремятся к пределу, не зависящему от способа разбиения области О. Выше мы видели, что верхние суммы отличаются сколь угодно мало от нижних сумм; стало быть, и верхние суммы стремятся к тому же пределу. Таким образом, существование двойного интеграла )) г'(х, у) пЯ от непрерывной функции г(х,у) доказано, но пока только для разбиений с помощью ломаных.
Это ограничение мы изложили на способ разбиения с целью обеспечить уверенность„ что получающееся новое разбиение действительно состоит из конечного числа ячеек О~ь Предположим, напротив, что разрешается имегь криволинейные границы ячеек, и пусть, например, часть границы одного разбиения есть отрезок прямой х=' О, а часть 1 границы другого — кусок кривой у = х' з(п —; тогдз результирующее х' разбиение будет иметь в окрестности точки х=О бесконечное множество ячеек! Однако, нетрудно теперь освободиться от стеснительного запрета пользоваться криволинейной сеткой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
