1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 72
Текст из файла (страница 72)
В силу элементарной теоремы об изменении порядка интегрирования в соб- ственном повторном интеграле имеем а оо А о П-% у) ! у ="' ) '(х )(.г (-% у) 4!у + ~ гс» (х) ах = о а » о =~ г(у)У(х, )!)г(х+ ~ ЙА(х)бх; а В а ь нвсоьстввнныв интвггалы как ьгнкцин паьамвтьа 333 стало быть, по теореме о среднем значении нв интегрального исчис- ления, ! ~ Л у)гу — )гу1Ла))г (~ )А))) — ). а о а При А-ьсо отсюда вытекает формула, подлежавшая доказательству. Если интегрирование по параметру тоже производится по бесконечному промежутку, то изменение порядка ие всегда допустимо даже в том случае, если сходимость равномерна. Однако если соответствующий несобственный интеграл ло двумерной области сходится (гл.
1Ч, $5, по 5), то перемена порядка интегрирования допустима. Так, например, если двойной интеграл ~') г"(х,у)йхс(у, распространенный на всю первую четверть, сходится, то ~ йх ~ У(х, у) йу = ~ ау ) .г (х, у) ах. о о о о Доказательство втой теоремы вытекает иа того факта, что, в силу своего определения, сходящийся несобственный двойной интеграл не зависит от способа исчерпываиия области интегрирования. С одной стороны, это исчерпываиие можно произвести с помощью бесконечных полос, параллельных оси х, а с другой стороны — с помощью полос, параллельных оси у. б) Аналогичный результат получается и в том случае, если промежуток интегрирования исходного интеграла конечен, но подынтегральная функция имеет в области интегрирования конечное число линий разрыва (например, прямых у=сапог) Соответствующая теорема формулируется, например, так: Лусть е полосе и =х(~ функция г (х, у) имеет разрывы толысо на конечном числе прямых у=а), у=аь ..., у=а„ ь и лусть интеграл ~ г (х,у) ау сходится равномерно относительно х; а тогда этот интеграл представляет е промежутке иь~хю р неиреръ)оную функцию от х, нричем ь ь Р $ Ых $ у(х, у) ~Ху = $ йу $,у(х, у) йх, т.
е. при указанных условиях порядок интегрирования безразличен. Доказывается эта теорема тем же способом, что и предыдущая. 3. Дифференцирование несобственных интегралов по параметру. Столь же легко распространить на несобственные интегралы и правило дифференцирования по параметру. Это правило выражается в виде следующей теоремы. 334 дополнвния к глава )ч Еслгг в интервале а~х~~ пункция ~(х, у) илгеет кусочно непрерывную производную яо х и оба интеграле р(х)=~ У(х,у)бу и ~ г (х,у)Ыу о о сходятся равномерно, то нроизводная Оа га(х)=~ ~„(х, у)г(у, о т.
е. прв указанных выше предположениях можно переставить порядок действий интегрирования я дифференцирования по параметру. Бля доказательства положим 0(х)= ~ ~„(х, у)с(у. о Тогда, по доказанной выше теореме о перестановке двух действий интегрирования, имеем г г со аа а $ 0(х) Нх = $ )ах $ ~ (х, у) )Еу = $ )Ку ) ~ (х, у) Их. о « а о Так как внутренний интеграл в правой части г $У (х, у))(х=У((, у) — У(а, у), а а аа $ ~О(х)б =~ И ~~.(,у)И = а о а Оа аа = ~,) ($, у) г(у — ) Д(а, у) ггу = Р ( о) — Р (а).
)(ифференцируя правую и левую части по о н заменив затем о через х, получим требуемый результзт; Р'(х) = О(х) = ~ уа (х, у) Ыу. о Правило дифференцирования по параметру можно распространить и на такой интеграл, у которого один из пределов интегрирования тоже зависит от х. Для этого достаточно разбить промежуток интегрирования на две части каким-либо постоянным числом а, лежащим внутри его: аа а СО ) (х, у))ау= ~ )(х, у)))у+ ~ г'(х,у)бу, т(а) т)а) а а затем применить доказанные Ранее правилта к каждому интегралу в отдельности.
Правило дифференцирования по парам~тру справедливо и для несобственного интеграла по конечному продыежутку, но с разрывной подынтегральной функцией. 4. Примеры. 1) Рассмотрим при х) 0 иитегюлл 1 л ллоу= —, х' При х)! этот интеграл слодится Равномюрио, так как для любого положительного числа А л л-тду~~ е Уг(у=ю — А, А причем правая часть уже не зависит от х и может быть сделана сколь угодно малой путем выбора достаточно большогчз значения,4. Это утверждение справедливо и для интегралов от частных производных подынтегральиой функции по х. Поэтому путем последовательного диффереицироваиия по,х находим 1' -="--~ —.
=:. ° у'е ллбу=р, " у"е лду= о 1 уе луку= — „ х" Подставив в послелиее равенство х=1, получим Г (л + 1) = ~ у"е У лу = я1, Эту формулу мы уже вывели другим путем в первом томе, гл. 1(г, стр, 2й2, лу я 1 2) Рассмотрим интеграл х+у' 2 х И адесь легко убедиться, что при х)л, где а — любое положительное число, все условия, обеспечивающие право дифФеренцирования под знаком интеграла, выполнены. Поэтому повторное дифчьереицироваиие дает последовательность формул: ку я 1 1 (х'+у*)' 2 2 х' ' о Ну я 12 ! (ха+у')' 2 2 4 х'' Ну ч 1 3... (2я--3) „(х'+у')" 2 2.4„. (2л 2) ' хая-г 9 41 в 4. нвсовстввнныа интвгвлды клк вл-акции плвлмвтвл 335 ззе дополнения к главе гя Кстати, нз этих формул можно извлечь другое доказательство формулы Валлнса, лающей разложение числа я в бесконечное пронзведенне (ср.
т, ), гл. 1У, В 4, и 7). Для этого, подставляя х=)ти, получаем оу я 1 ° 3...(2п — 3) ( ') уа!л 2 2 ° 4 ... (2я — 2) 1+ — ) я) о Интеграл в левой части этого равенства прн я»оз имеет своим пределом интеграл л ау= — !тая . Для доказательства заметим, что абсолютная 2 велнчнна разности обоих интегралов удовлетворяет неравенству уэ!л а так как (1+ — ) )у', то тэ 1 тз 1 -) (, у)~ Т о г Выберем теперь Т столь большим, что е г «у+ — с — а ззтем прн Т 2' выбранном Т возьмем настолько большое л, что также н т в "—, бус —; 1 о уз 1-я это зыполннмо, так как 1нп (1+ — ) =е У . Тогда я) Са, 41 ь 4, нисоьствкнныь инткгвллы клк екикции плвлмптвл 837 а отсюда вытекает соотношение 1пп 1 ° 3...
(2п — 3) 1 у~л = —, ю2 ° 4...(2л — 2) )Уя ' которое эквивалентно формуле Валлиса, выведенной на стр. 265 первого тома, 3) рассмотрим несобственный интеграл Р(х) = ~ е лу — У а~у у о зависящий от параметра х. Мы имеем в виду с его помощью вычислить — Иу. Интеграл Р(х) сходится равномерно при х~О, интеграл же ап у у ) Е ау а)цуау, о полученный дифференцированием по х подыитегральной функции интеграла Р(х), сцепится равномерно при х~Ь )О, где Ь вЂ” сколь угодно малое положительное число. Оба вти утверждения будут доказаны ниже. Позтому функция Р(х) непрерывна при х~О, а при х)Ь ее производная Р" (х)= — ~ е ллашуду. о Этот интеграл легко вычислить с помощью формулы (т.
1, стр. 253): еал еелащЬхдх= (аапЬх — Ьсоабх)+С. еа+ Ьв В итоге получим 1 Р'(х) = —— 1+ х" откуда Р(х) = агсс!п.х+ С, где С вЂ” некоторая постоянная. Для определения С заметим, что о апу ~ Г е-У! ! Р(х) = е "У вЂ” ~Ху — е «УЫУ= — ~ =— х ! х' так что Иш Р(х)=О; с другой стороны, и !!щ агсс!3х=О. Следовательно, Х ОЭ Х ОЭ С=О и Р(х) = агсс!д х. Выполним в атом равенстве предельный переход х +О.
Так как 1!ш агсс!3х= — и Пщ Р(х) = т — оу, Г апу л +о к+е 3У 338 ДОПОЛНВНИЯ К ГЛАВВ )Ч то СО а)ну я — сгу =— 2' э Это п есть искомая формула (ср. т. 1, стр. 527). Остается теперь доказать те два утвержденна, на которые мы опирались. а) Докажеи, что 1 е .«У — с(у сходится равномерно при х«0. Пусть С э)ну у а А — произвольное положительное число, и пусть йя — наименьшее целое кратное от я, пйевосходящее число А. Тогда «остаток« нашего интеграла можно записать в следующем виде: СО а СО ! +!)« е-«у с!у е-«у с)у + р ~ е .«у — с)у, «а «« Ряд в прзвой части — знакочередующнйся, абсолютные величины его членов монотонно убывают н стремятся к нулю; следовательно, этот ряд сходятся по признаку Лейбница (т.
1, стр. 431), и его сумма по абсолютной величине меньше его первого членз. Поэтому из последней формулы вытекает неравенство СО !а+ !) « !а+!) « е "У вЂ” с(у ~ е "У вЂ” сгу С вЂ” асу( —, ~пу « „. (э)пу) Г 1 2я у А А' правая часть которого не зависит от х и может быть слелана сколь угодно малой. Это и доказывает, что интеграл сходится равномерно. СО б) Остается доказать, что ) е «У а1пуду сходится равномерно при х« э «Ь «О. Но зто сразу вытекает из следующего неравенства: е- А«е- Аа е «Уапуду ( !е «Умпу)с)у( е «Ус)у= — ~— х а СО 4) В п' 2 мы выяснили, что для интеграла ) с)х~ У" (х, у) с«у достаточным « условием допустимости изменения порядка интегрирования является равномерная сходимость интеграла по бесконечному промежутку. Из нижеследующего примера видно, что простой сходнмости может оказаться недостаточно.
Положим у (х, у) = (2 — ху) хуе "У. Тогда д У(х, у) = — (ху'е "У) ду СО н интеграл ) у(х, у) асу сходится при всяком х из интервала О~к~1, прнэ чем для всех зтих энакеиий х )г у (х, у) с)у= (ху«е "У) =О, й В в к нвсоаственныя интвгаалы клк егнкцнн павлмятял 339 Поэтому 1 ю ~дх) У(х, у) ау=о. о э С другой стороны, /(х, у) = я- (х*уэ-~г), так что д дх 1 У(х, у) Лх=уе У при у~о )г лу )г У (х, у) дх = )г уе У ду = 1. о о о Стало быть, 1 а оэ 1 ~ Лх г! г" (х, у) ду Ф г! ду ~ Г (х, у) вж о 6 б о 6.
Вычисление интегралов Френеля. Встречающиеся в теории света интегралы +ОЭ +~~ г э= ~ в!п(т )г(т, Рэ= ~ сов(тэ)г(т называются интегралами Френеля. Их скодимость была докавана в кон- це гл. !Ч первого тома. Йля вычисления этих интегралов введем вместо т новую переменную (=тэ. Тогда Рэ = ~ — г((, Рэ= — э(й С эю 1' соэв — — «эг Пользуясь тем, что === ! е-"э'ох (это можно проверить, выУг У числяя интеграл в правой части с помощью замены переменной х==, дх= — ), приводим наши интегралы к следующему виду: у 2 гчэ — — — ь Ю ~ е-хэ'сов Их.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
