1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Сб СО Рэ = — й е — ™в!пИх, 2 рг Нетрудно убедиться, что внутренние интегралы сходятся равномерно. Стало быть, можно поменять порядок интегрирования: гчг — — — ~ г(х е — "эг в!п ! й, гчэ = = ~ Их ~ е-"и сов ! Ж. 2 Г Р 2 Внутренние интегралы можно теперь вычислить по формулам т. 1, гл. !Ч, $4, пэ 4 (своеобразный случай интегрирования произведенья) 340 ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ (Ч и интегралы Френеля приводятся к сравнительно простым интегралам от рациональных функций: 2 Г х' а а г— 2' Упражнения 1.
Вычислить ~ х"е " (Гх, 2. При каких значениях а, Ь, е з (о"з+ть"У+ Уз) ах ау= 17 3. Вычислить несобственные интегралы +:о +оо З вЂ” (ах + тзхУ+ оУ ) (Алз + 2ВХу + Суз) ЛХ Пу. а) +оо +со ( е — (ахз+ тзхУ+ зУ') (ахз + 2Ьху -)- суз) з(х Лу (а ) О, ас — Ь' ) О). б) 4. Вычислить следующие интегралы: К (а) = ~ е а" созх згх; оз е ал — е-ах соз х Пх (а ) О, Ь.о О); х а б) 7(а) = ~ в " оз(хз з(х) а з1п (ах) Уз (Ьх) х з(х з а в) г) где Уз обозначает функкню Бесселя нулевого индекса, определенную в упр.4, стр, 245. С помощью подстановки х= - убеждаемся, что второй интеграл 1 равен первому, а первообравная функция для Рт вычислена в первон 'томе (стр.
274). В результате получается 141 а а. интвгвял ФуаьВ Г ь1п'ах 6». Локааать, что ~ лх имеет тот же порядок роста> что и 1пл а при л со и что л)п' ах — ип' Ьх 1 а х >ух = — 1п —. 2 Ь о б. Заменить утверждение»интеграл ) Р(х, у) >гу ие является равномерно о сходящимся> эквивалентным утверждением, не содержащим ни в какой Форме слов»равномерно сходящийсяь (Ср. т.
1, стр. 67, упр. 1.) В 6. Интеграл Фурье 2) Интеграл ~ 1у'(х)) йх=С является сходящимся. 3) Во всякой точке разрыва х нашей функции вначениеу(х) принимается равным среднему арифметическому предельных значений функции слепа и справа, т. е. у(х)= — 1у(х — О)+Д(х+ О)!. При этих допущениях интегральная теорема Фурье выражается так: у (х) = — ! йт $ у (1) соа т (! — х) а! ! 1' 0 -»> нли„в комплекской записи, >» >» У(.) ~ й ~ У(!) м11- )л! 1 2» (2) 1. Введение.
Теория, наложенная в й 4, п»2, иллюстрируется важной теоремой, иввестной под названием интегральной теорема Фурье или, короче, интеграла Фурье, Вспомним, что ряд Фурьедает представление кусочно гладкой, но в остальном произвольной, периодической функции с помощью тригонометрических функций.
Интеграл Фурье дает соответствующее тригонометрическое представление функции У(х), определенной на всей оси — со(х(+оо и не подчиненной никакому условию периодичности. Относительно функции у'(х) мы сделаем следующие допущения: 1) у(х) есть кусочно гладкая функция; это значит, что у(х) и ее первая производная в любом конечном интервале непрерывны или имевот конечное число разрывов первого рода, т, е. конечных скачком 342 дополнзния к глмв гсг Интегральную теорему Фурье можао изложить и в следующем виде: Если ~ у(!) ги Г'2я .! то Х(!) = = ~~ а( ) ом с2 ° Ь'2я ~ В последней записи теоремы обе фо!мулы явлвотся взаимно обратными, т, е.
если рассматривать пер!ив формулу как уравнение для неизвестной у(!), то вторая формул: лдает его решение, а если во второй формуле видеть уравнение длс д(т), то решением будет первая формула. Введем новую переменную и = —, а а окончательном результате вновь заменим букву и буквой ж Тогда снтегральная теорема Фурье выразится с помощью следуюшин двух азннмно обратных формул: У(!) = $ И (с) ео"~" с!т, И(т)= ) У(!)е о'и'ст1, где И(т)= 3~ 2ку(2кс) У(х) = — соя(тх) с!т ~ )(о'дсаз(т!) ссй 2 с= о Если же 1(х) — функция кечетная, т.
е е~ли г( — х)= — У(х), то У(х) = — Л! я!п (сх) Ус ~ !(О з!п(сг) й. 2 о о Прежде чем перейти к доказательству есоремы, приведем несколько примеров лля ее иллюстрации. а) Пусть у(х)=1> когда )х(~ 1, у(х)=0, когда !х(~ 1. Перед нами четная функция, и О, !х!)1, .Г (х) с= — ом(тх)с!с ) соа(тс)стт= — ) асс= 2, /х )= !с 2 Г Г 2 Г ванов (сх) 1 о о 1, !хс(1. Возврзщаясь к записи (1) интегральнса теоремы Фурье, заметим, что, если Дх) есть четная функция, т.е. У( — х)=У(х), то формула (1) приводится к более простому виду: 843 э а. интеГРАл ФРРЬЕ Последний интеграл часто встречается в математической литературе пол названием разрывного мноисителя Дира»хе. б) Пусть у(х)=е "» (д)0) при х)0, и пусть у( — х)=у(х).
Тогда Г(х) = — ~ соз (тх) ят ~ е "' сов (ге) ог = — ~ от = е 2 Г Г 2 (' Асов(тх) — ~ Ав+ ° в а — е "» при х)0 2 1 0 при х=0, — — еа» при х(0. 2 т в(п тх -в — -т в(т = о сов(тх) и е " "' — от=— Ав+т' 2 Э .»в в) функция Г(х)=е дает интересную иллюстрацию взаимно обратз 1 ных формул. Из решения упр. 4в, стр. 340 н Я4, при а= —, находим 2 ~ е-тв!золвтздз е — На е Отсюда вытекает, что для функции У(х) =е обе взаимно обратныеформулы для л(т) и г (Е) совпадают.
Х Доказательство интегральной теоремы Фурье, В доказательстве этой теорфмы мы будем опираться на предельную формулу Лирихле иу(х)= 1)щ ~ у(х+1) — втт, Г и (лг) л- 3 С -а справедливую при любом положительном значении а. Мы докажем эту формулу с помощью следующей леммы, доказанной в первом томе, гл. 1Х, стр. 824: Если функция а(4) кусочно непрерывна в интервале а~(~~, то Вщ ) в(Г)з(п ЛГ((1=9, л Если же положить Г" ( — х) = — у(х), то получим У(х) ~= — ~ в)п (тх) от е а' в(п (Ст) от = 2 Г о СО е-а» 2 1 тип(тх) — Ь=~ 0 о — еа" Отсюда вытекают при Э~О следующие лве формулы: при х~О, при х=О, при х< О. 344 дополнения к главе !ч Рассмотрим сперва интервал 0 ~ З = а и введем вспомогательную функцию у(х+ !) — У(х + О) (1)= которая, очевидно, является кусочно непрерывной в этом интервале.
В силу требований, наложенных нз функцию Дх), ясно, что Иш з(г) = с э =У'(х+ О). Имеем $ У(х+г) — Ш= $ У(х+О) Ю+ $ з(г)з1п(ЛГ)Ж Согласно цитированной выше лемме, последний интеграл этой формулы стремится к нулю при Л-+со; что касается первого интеграла в правой части, то его предел О а! Вш 1т Дх+О) — з(З= Нт 1(х+О) ~ — УЫу= , а!1 А У о о У(х+О) ~ — !!у= — Д(х+О) у о (см.
стр. 338Л Аналогичное рассуждение покажет, что о д 1цп 1 Дх+9 — !й= — У(х — О), з!и ЛЗ 2 а 1 а так как — [г(х+ О)+г(х — 0))=У(хЛ то формула Дирихле доказана. Следующей ступенью в доказательстве интегральной формулы Фурье является подстановка з формулу 1Лирихле выражения ! ап Л! — соз Зт !рс. а Интеграл, участвующий в формуле )Аирихле, является функцией от а и от Л, и мы его обозначим через Р(Л, а). Тогда О О Х ав >-1гь.!-а — ","аа=1г! -!-аа~ ° еаи = -а — а Х а = ~ !(т ~,! (х+ 1) соз (гт) Ж О -а Формула )Лирихле утверждает, что яг(х)=11ш Р(Л, а).
аа 343 В а ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Так как этот предел не зависит от а, то можно писать и так: вг(х)= Иш Иш ге()с, а), а со 6 со Если быть уверенным, что порядок предельных переходов в этой формуле можно переставить, т. е. что позволено выполнить предельный переход а — ~-оо над символом интеграла по 1, то получится формула 6 со СО СО иг(х)=Иш )6Й ) г(х+г)сова«й=~ г(т ~ у(х+Г)совать. о а -оо Сделаем теперь в правой части преобразование х+Г=и, Ю=64и, а после этого заменим букву и буквой 1, и формула Фурье будет доказана.
Стало быть, доказательство будет завершено, когда мы докажем правомерность перестановки предельных переходов: Иш Иш Р()„а)= Игл 1пп гч(Х, а). а со 6 со Согласно полученным ранее результатам (стр. 333), для этого достаточно показать, что предел Иш гч(А, а)= ~ г(х+1) — г(1 а1п АГ СО г является интегралом, сходящимся равномерно относительно ~, )тля этого требуется установить, что по любому наперед заданному а >О можно найти такое число А, не зависящее от 1, что 1гч(Х, а) — гч(Х, Ь)) а, лишь только оба числа а и Ь превзойдут А Но ведь при Ь >а А 6 ~ гч (Х, а) — тч (?ь Ь) ~ ( ~ ~ Дх+ 1) ~ ( — ~ 616+ О -а со + 1 ~у(Х+ГИ ~61птт~,(Г(2 1!ИНАГ. — 6 — со Так как, согласно допущению 2А последний интеграл меньше С, то гч(Х, а) — Р(~, Ь)(( —, так что в качестие числа А, соответствующего числу а, можно взять 2С А= —.
Тем самым завершено доказательство интегральной теоремы с Фурье. 349 Йополняння к Глава 17 Э 6. Интегралы Эйлера (гамма-функция и бета-функция) Одной нз важнейших функцнй, определенных несобственным интегралом, содержащим параметр, является гамма-функция Г(х). Мы даднм здесь довольно подробный очерк свойств этой функции, введенной Эйлером. Изложение, во многом близкое к нашему, см. в книге: Аг(1п Е., Е1п1ййгппй 1п о11е Тнеог)е о1ег Г-гппкт)оп, (е)ра1я, 1931 1русск, перев.: Артнн Е„Введение в теорию гамма-функции, М.— Л„ ГТТИ, 1934]. 1, Определение н функциональное уравненне гамма-функции.
Функция Г(х) определяется для всех значений х~О как несобственный интеграл Г(х)=(„а"- Ю. о Этот интеграл мы уже изучали в т. 1, гл. 1Ч, стр. 291, прв целых положительных значениях и. Там же мы обнаружили, что этот интеграл сходится при всяком х >О, н нетрудно показать, что он сходится равномерно во всяком замкнутом интервале положительной части осн х, не содержащем точки х=О. Стало быть, функция Г(х) непрерывна лри х ° О. Интеграл для Г(х) можно привести с помощью простых преобразований к другим вцпам, которыми часто пользуются. Мы укажем здесь только подстановку 1=и', которая приводит гамма-функцию к внду Г(х)=2 ~ е-о'и~-'-' с(и.
о Стало быть, н обратно, часто встречающийся интеграл ) в=я*и'Ыи о (а) — 1), выражается через гамма-функцню: (О -() е- о й г(и = — Г ~ — ) (а) — 1) . в 1 Го+1~ 2 2 о (ср. стр. 323 и стр. 340, упр. 1). Методом интегрирования произведения обнаруживаем (как и в т. 1, стр. 292), что соотношение Г(х+ 1) хГ(х) справедливо прн любом х) О. Это равенство называется функциональным уравнением гамма-функции Квнечно, требование, чтобы Г(х) было решением функционального уравнения р (х+ 1)=ху(х), не определяет этой функция однозначно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
