1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Если т и и одновременно стремятся к бесконечности, притом так, что т =и, то Рьн-+2ж Если положить ч$ т=и~, то !пить „= 2я ~/ 1+ 4 и т. д. Однако, из того, что Р„м~ 2па!и —, а 1!щ 2псдп — =2я, видно, что нижний предел л' (нижняя точка сгущения) числового множества Р„м равен 2ж В ваключение сообщим без доказательства следующий факт, касающийся определения площади поверхности. Этот факт представляет принципиальный интерес и приведенный выше пример можно рассматривать как его иллюстрацию.
Если имеется последовательность многогранников, вписанных в данный кусок поверхности и неограниченно к нему приближающихся, то, как мы видели, площадь многогранника может и не сходиться к площади этого куска поверхности. Однако, предел последовательности площадей многогранников (если он существует) или, общде, всякая точка сгущения этой последовательности площадей всегда больше или по крайней мере равна плошади куска кривой поверхности.
Если для всех таких последовательностей многогранников найдем нижние пределы их площадей, то эти нижние пределы составляют определенное числовое множество, свяаанное с изучаемым куском кривой поверхности. Так вот илоя4адь куска поверхности можно определить как нижний предел (нижнюю точку сгущения) етого множества. Это аамечательное свойство площади поверхности нааывается иолунепрерывностью, точнее, полунеирерывностью снизу.
366 ДОПОДНЙНИЯ К гнавй 1Ч СМЕШАННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ П( -ч-- (о'+з') — о' + — а'я — — яуза если ОСя(а 2 ~ 3 — (а'+ зэ) + а' — -ля.а'з — — ярла, если з) ш я 2' 1 3 6. Построить кривую 1 — Л' Л вЂ” Ла х= —, у=— !+Л 1+Л и вычислить ограниченную ею площадь.
( — 1 -Л~+ 1) 3 1. Пусть г(х)=)1п (1 — х'соз'0)30. Доказать, что а) если хэм 1, то о У(х) конечна; б) если х'(1, то 3 У'(х) ~ — 1п (1 — х'сшэ 0) 40. г .) бх о Пользуясь этим, вычислить интеграл. Е Показать, что площадь ~ ', поверхности прямого гелнкоида х=гсоэз, у=гэ(пз, я У(0), заключенной между двумя плоскостями, проходящими через ось а, и цилинд- рической поверхностью, уравнение которой в цилиндрических координатах есть г =у" (0), относится к своей ортогональной проекции на плоскость ху как () ' 2 + 1п (1 + р' 2 )]: 1. 3. Допустим, что земля есть шар радиуса 3, объемная плотность кото- рого зависит только от расстояния г от центра и выражается Функцией вида Р0 А — Вг', причем у поверхности плотность равна 2,5 а(сма, а средняя плотность зем- ли равна 55 г)см'.
Показать, что при этих допущениях напряженность силы тяжести в любой внутренней точке на расстоянии г от центра есть 3 г' г' 3 = — — ~20 — 3 — ь П А 'Л )(а)' где 3 есть напряженность силы тяжести на поверхности. 4. Вершины треугольника площади 3 находятся в точках (хо ут),(хвуа), (х„у,), причем порядок индексов соответствует положительному направле- нию обхода. Доказатьч что момент инерции площади треугольника относи- тельно оси х равен 3 6 (у'+у" +у'+у' у'+уэуа+у'у')' 5.
Полушар радиуса а и постоянной объемной плотности р расположен так, что его центр находится а начале координат, а круг, его ограничиваю- щий, лежит з плоскости ху. Покаэаттч что потею!мал в точке (О, О, я) равен 882 сметпАнныи упвлжнзния к глАВВ гт 1. Сфероид с полуосями а, а, е покрыт веществом с постоянной поверхностной плотностью !ь Показать, что сила притяжения на каждом полюсе равна тв 2ай ~ г(! — соз 6) в(г> о где 2авс соз 0 г а' соз' 0 + е' аа'6' 8; В интеграле I= 3 в(х 3 (у — 4)а>у т вгл изменить порядок интегрирования, а затем вычислить интегрзл.
9. а) Вычислить интеграл а в!а 6 у~~ К ) в/у ~ 1п (х'+у') в/х (О()) с ") у втт 6 преобразованием к полярным координатам. б) В исходном интеграле изменить порядок интегрирования. 19. Найти объем И тела, вырезаемого из прямого конуса (И )в !йв (О И) вертикальной цилиндрической поверхностью, направляющая которой в плоскости ху имеет в полярных координатах г, 0 уравнение (И !и а — г)' = Ив тяв а вв' 6 сгнв 6. Имеется в виду объем, расположенный вне цилиндра и внутри конуса. 11. Показать, что интеграл д(!+з;+ху)' взятый по куску поверхности гиперболического параболонда з ху, ограниченному двумя прямолинейными образующими, проходящими через начало коордннзт> и двумя, проходящими через его точку (1, Ч, 1,), равен 6>в!в '"" >Чав» +вес 1Й Доказать, что если — !(а(1, то в К (а) в !п(1+ос>их) ах=а агсзща.
сов х е 13. Показаттч что площздь, ограниченная кривыми хв = а у, х' = Ь у у' = ах и у' = 6х, где Ь ) а ) О и р ) а ) О, равна в в в в !2 (Ьв а>)(рв ав) ГЛДГ)Д У КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ИНТЕГРАЛЫ ПО ПОВЕРХНОСТИ Кратные интегралы, которыми мы занимались в предшествующей глзве, представляют собой не едннственное возможное обобщение понятия ннтегрзла на функции многих переменных. Напротив того, существуют еще н другие обобщенна, в соответствии с тем фактом, что в многомерные области можно вложить многообразна меньшего числа измерений, а затем рассматривать интегралы по таким многообразиям. У функции двух независимых переменных мы будем рассматривать, наряду с интегралом по двумерной области (двойным интегралом), интеграл вдоль кривой, т.
е. по одномерному многообразию. Функции трех переменных мы будем интегрировать не только по трехмерным областям (тройные интегралы) и вдоль кривых (криволинейные интегралы), но н по поверхностям, т. е. по двумерным многообразиям, вложенным в трехмерное пространство. Эти понятия: криволинейного интеграла, поверхностного интеграла н т.
д. (все они непосредственно связаны с практикой) — мы введем в этой главе и исследуем их взаимные связи. $ 1. Криволинейные интегралы Определение простого интеграла мы связали с наглядным представлением ллояьади, а естественное обобщение на функции двух и трех переменных привело нас к двойному и тройному интегралу. С другой стороны, н физическое понятие работы нас тоже привело к простому, одномерному интегралу. Если мы пожелаем дать математическое определение работы в произвольном простраьютвенном силовом поле, то в качестве нового обобщения исходного понятия интегралз от функции одной переменной получим крпаолииейиий интеграл. 1. Определение криволинейного ннтеграла. Обозначения.
Начнем с математического определения криволинейного интегрзла для трехмерного пространства хуг. Пусть в этом пространстве задана кусочно гладкая') кривая своими параметрическими уравнениями х=х(г), у=у(Г), г=г(ь), ') Напомним (ср. стр. 56), что кривая называется кусочно гладкой, если ояа состоит из конечного числа дуг, каждая из которых имеет касательную, изменяющуюся непрерывно вдоль всей дуги, включая ее конечные точки. а !.
кРиВОлинейные интеГРАлы 369 где хЩ у(ф «(1) — непрерывные функции с кусочно непрерывными первыми производными. Рассмотрим дугу Р,Р этой кривой, ограни- ченную точками Рл(хл, уь «л) и Р(х, У, «). Пусть точки этой дуги, которую мы обознзчим через С, соответствуют значениям параметра ! нз интервала и -.С(~. Если в какой-либо области, содержащей эту дугу, определена непрерывная функция точки у(х, у, «) то вдоль дуги С кривой эта функция обращается в функцию Дх(!),у(!), «(!)), зависящую только от параметра й Лля того чтобы, по аналогии с обычным интегралом, определить криволинейный интеграл этой функции вдоль дуги С, разобьем эту дугу с помощью точек Рь Рл, Рь " ° , Р (Р„= Р) на мелкие дужки и обозначим разность абсцисс точек Рг„! и Р, через Ьхг=хлл! — х!.
Построим теперь сумму л — 1 ~~ ', У [х ((!), у (г!), « (г!)) Ьхг, ! - л где через ~! обозначено любое число, выбранное в интервале измене- ния параметра 1, соответствующем дужке РгР;,л, а затем заставим число и точек деления безгранично возрастать таким образом, чтобы длина наибольшей иа дужек Р,Рг, стремилась к нулю. Тогда мы вправе ожидать, что построенная нами сумма будет стремиться к оп- ределенному пределу.
Зтот предел мы обозначим символом ~ у(х, у, «)йх с и будем называть криволинейным интегралом функции У(х, у, «) вдоль дуги С нашей кривой. Луга С называется путем интегриро- вания. Что этот предел действительно существует и притом не зави- сит от выбора промежуточных точек деления, можно доказзть тем же методом, которым было докззано существование обычного инте- грала.
Но это предложение докзаывается совсем просто, если пере- пнсзть нашу сумму в следующем виде и — ! у[х(я ущ «(С!)) — лиг„ л=о где М! обозначает приращение параметра Г при переходе от точки Р! к точке Р! ь Теперь можно опираться на теорему существования обычного определенного интеграла: при нашем предельном переходе эта сумма имеет своим пределом определенный интеграл ~ у[х(г), у(!), «(!)) — йг, а где а и р — значения парзметра 1, соответствующие начальной н конечной точкам дуги С, 370 Гл, ж кРиВОлинейные интеГРАлы. НнтеГРАлы по пОВВРхнОсти Заодно мы получили формулу ,Г(х,у, «)с(х= у(х,у, «) — "й, ь которая приводит криволинейный интеграл к обычному определенному интегралу от функции параметра 8 по этому параметру. Ясно, что обычный 'интеграл есть частный случай криволинейного интеграла, когда в качестве пути интегрирования берется отрезок оси х. Следуя выполненному выше образцу, нетрудно теперь определить и следующие криволинейные интегралы: У(х, у, «) йу = Дх, у, «) ~~ бг ,Г(х, у, «)б«= у(х, у„«) — «б(.
а Три полученные формулы, выражающие криволинейные интегралы эффективно через определенные интегралы, позволяют легко доказать, что криволинейные интегралы зависят только от выбора пути интегрировашиа С и совершенно не зависят от способа его задания, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
