1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Пользуясь соотношением В(х, у+ 1)= В(у+1, х), функциональному урзвнению можно придать другой вид: В(х, у+ 1)= У В(х, у).] 8. Связь между бета-функцией и гамма-функцией. Теперь мы покзжем, что бета-функцию можно выразить через гамма-функцою. Лля этого нам придется сделать некоторые преобразования, которые могут показаться на первый взгляд немного странными.
Помножив обе стороны формулы (3) выражающей бета-функцию, на е " и проинтегрируем по з от 0 до А: А А $ В (х, у) ) е ь» (2з)':+» — ' й = ~ е ы вз ') (з + 1)" — ' (з — г)» — ' Ж (о) о о о Щ з а интвгоалы вйлзоа (гамма-Ф»нкция и вать-Функция> 359 ЗВ0 ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ ГУ Повторный интеграл в правой части можно рассматривать как двойной интеграл функции е ее(з + 1)" '(з — 1)е †' по области, имеющей вид равнобедренного треугольника, стороны которого лежат на прямых а — 1=0, а+1=0 и а=А.
Этот интеграл мы теперь преобразуем с помощью отобрзжения и=з — г, о=а+С, о~~уда и+в а — и в другой интеграл 1 2 — ~ Š— 1и+Ю Пе — ' их — 1Е(в~бр, а Областью интегрирования 0 является теперь треугольник плоскости ив* огрзниченный прямыми и=0, О=О и и+О=2А. Заставим теперь А неограниченно возрастать. Тогда левая часть равенства (е) имеет своим пределом функцию — В(х,у)Г(х+у).
1 Поэтому должна сходиться и правая часть, равная интегралу (;), и ее пределом будет двойной интеграл по всей первой четверти плоскости ио, причем этот бесконечный квадрант исчерпывается с помощью последовательности равнобедренных прямоугольных треугольников, катеты которых лежат на осях и и ж Так как подынтегральная функция положительна„а интеграл („') сходится для монотонной последовательности областей, то, согласно гл. 1У', Э б, стр. 28б, получающийся в пределе несобственный двойной интеграл не зависит от способа исчерпывания (или аппрокснмирования) результирующего квадранта.
Стало быть, можно воспользоваться для этой цели квадратами, стороны которых, длины А, лежат на осях и и О, и соответственно этому писать лл В(х,у)Г(х+у)= 1пп ~ г)е-<е+ю и"-'иу — 'Ыиг(п= л юаа =~ е 'и" — ' 6о~ е 'иу — ' г(и. о е Таким образом, мы получили важное соотношение Г (х) Г (у) В(х У)= Г(х+у). Эту формулу, выражающую бета-функцию через гамма-функцию, можно также получить с помощью теоремы Бора. Сначала убеждаемся с помощью функционального уравнения бета-функции (и' 7) В(х+1,у)= В(х,у), х+у л) а в.
интегРАлы эйлеРА )гамма-ФУнкцип и БЕТА. ФУнкция) 361 что функция и (х, у) = Г (х+у) В (х, у), рассматриваемая как функцяя от х, удовлетворяет функциональному уравнению гамма-функции и (х+ !) = хи (х). Так как из теоремы примечания 2 в конце п 3 вытекает, что 1и и(х, у) является выпуклой функцией от х, то Г (х + у) В (х, у) = Г (х) ° а (у), к, наконец, полагая х=1, находим а(у) =Г(у). Мы знаем, что функция Г(х) является распространением факто- риала Г(«)=(« — 1)! Иа все положительные числа.
Подобно этому, из формулы, выражающей В(х,у) через гамма-функцию, можно выне/т+ «1, (т+ и)1 сти выражение бинолтттальнах коэффициентов и ! а!я! через бета-функцию В(а+1, «+1). Действительно, Г (а + 1) Г (и+ 1) т1 и) + ' + ) Г(а+и+2) (а+и+1)1' т ) 1 и ) т!«1 (т+«+1)В(т+1, и+1) 1 Следовательно, функция + + . + + при целых х= «т, /т+ и) у = « принимает аначения я Отметим еще, что из формулы (4) предыдущего номера видно, что л т а а1п" 1)11= ~ сов" 1111= е а л+! — Г— Г 2 Упражнении 1.
Доказать, что объем тела, лежащего в положительном октанте и ограниченного плоскостями х=о, у=о, л=й и поверхностью ха у" л — — — (а" 0) равен „-' Г(1+ — ) "'® ("-') Х Доказать, что интеграл ~~~у(-.,+,-„+ —,)" у * дополнения к главе га х' у' г' распространенный на положительный октант аллипсоида — + — + — ~ 1 а' Ь' г' равен Г(-2) ГЯГ (2) (' '+Я+' 3 !у+4+с Указание.
Ввести новые переменные $, Ч, С с помощью вреобра- аоваиия х' у* — +— я' Ь' и выполнить интегрирование по ч и по С 3. Найти абсциссу $ центра массы тела ! ! х~о, у~о, а~б. а а а 4. Найти момент инерции площади, ограниченной астроилой ха +у" =!та относительно оси х. б, Доказать, что Г (х) Г (х + — ) Г(2 ) 2Э я' ф 7. Дифференцирование и интегрирование нецелого порядка Интегральное уравнение Абеля. Мы воспользуемся знакомством с гамма-функцией для того, чтобы построить простое обобщение понятий интегрирования и дифференцирования.
На стр. 244 мы видели, что формула ~!~= ! !"„— ";„'лча=~!ч ~ ! — т-'!и ~~ а дает и-кратный (повторный) интеграл от функции у(х) по интервалу от О до х. (См. также т. 1, стр. 266.) Обозначим символом а) операх тор дифференцирования и символом 1) ' оператор ~...
йс, который о представляет действие, обратное дифференцированию. Тогда можно записать символически Р (х) = В "у (х). аэ +— аа аа +Р аа са х = а Р'1(1 — ч), нли у=Ь)/$Ч~1 — ~), а=еЬг~ в т. днсвяявнцияованнв и интзгяияовлннв нвцвлого новинка 363 Математическое содержание этой формулы таково: функция р(х) и ее первые (и — 1) производных обращаются в нуль при х=О, и к тому же п-я производная от Г(х) равна Дх» Теперь представляется возможным построить весьма естественным путем такое определение оператора 0 ~, которое сохраняет смысл, когда положительное число >. не является целым. Интеграл порядка Х от йдункйии Дх) по интервалу от О до х олределяетсн выражением 0 — "р(х)= 1 1 (х — С) у(1) К г(чд о С помощью этого определения можно теперь обобщить и действие дифференцирования и-го порядка, символизируемое оператором дч 0" = — „и построить оператор дифференцирования й-го порядка дх"' 0Я, где 1ь — любое неотрицательное число.
Пусть т — наименьшее целое число, превосходящее у., так что 1ь=т — р, где 0(р( 1. Тогда оператор 0" определяется следующим выражением: г 0" У(х) = 0" 0 ' г (х)= †„ — ~ (х — г)' ' Дг) ь(г. о Этому определению можно придать другой вид, поменявши порядок обоих действий (дифференцирования н интегрирования» н ОЯКО(х)=0- 0 Р(х)=,~ 1 (х — СУ- Р">(С) К о Предоставим читателю доказать, с помощью формул для гамма- функции, что 0 0'.Р(х) =0а 0" У(х» кзковы бы ни были действительные числа а и р. Надлежит показать, что это соотношение, а тзкже и обобщенная операция дифференцирования имеют смысл, если функция т (х) имеет обычные производные достаточно высокого порядка.
В частности, 0Я г (х) существует, если т(х) имеет непрерывные проиаводные до т-го порядка включительно. В тесной связи с этими понятиями находится интегральное уравнение Абеля, имеющее важные приложения. Так кзк Г~ — ) = ~' я, 1 то интеграл от функции у(х) порядка — выражается так: 2 1 0 ' г(х)== — ~ — оь'= ) (х). о 364 дополнения к глава ш Если ф(х) есть заданная функция, а функцию Г(х) требуется найти, то последнее соотношение есть интегральное уравнение Абеля.
Пусть у(х) — непрерывно дифференцируемая функция, удовлетворяющая условию у (0)=0. Тогда решение уравнения Абеля будет ! 1 1 у(х)= 0 "0 "Дх)=0'т'(х) или 1 д г ф (г) в ф 8. Замечание по поводу определения плошади кривой поверхности Определение площади кривой поверхности, данное в й 6 гл. 17, стр. 291, заметно отличается от определения длины дуги кривой, данного в т. 1, гл. У, стр. 320.
Определение длины дуги строилось на процессе вписывания ломаных, а в определении площади кривой поверхности использовались касательные плоскости вместо вписанных многогранников. (В этом параграфе мы для краткости вместо термина «многогранная поверхность» будем пользоваться словом «многогранник».) Мы сейчас покажем, что определение площади поверхности невозможно строить на процессе вписывания многогранников.
Лля этой цели рассмотрим в пространстве ху» кусок цилиндрической поверхности х'+у»=1, ограниченный плоскостями я=О и я=1. Боковая поверхность этого цилиндра равна 2г. В эту боковую поверхность мы теперь впишем многогранник, все грани которого — равные треугольники, следующим образом. Построим на поверхности цилиндра гп равноотстоящих горизонтальных окружностей, лежащих в плоскостях я=О (окружность основания), я=Ь, я=2Ь, ..., я=(лг — 1)Ь, где Ь=1Гт.
Каждую из этих лг окружностей разделим на л равных дуг таким образом, чтобы точки деления каждой окружности (кроие окружности основания в=О) лежали на образующих цилиндра, проходящих через середины дуг соседней снизу окружности. Рассмотрим теперь вписанный в цилиндр многогранник, ребрами которого служат хорды наших окружностей и отрезки прямых, соединяющие ближайшие между собою точки соседних окружностей. Все грани этого многогранника — равные между собой равнобедренные треугольники, и если выбрать лг и л достаточно большими, то многогранник будет лежать сколь угодно близко к боковой поверхности цилиндра. )(адин теперь числу л какое-либо постоянное значение; тогда можно число лт выбрать столь большим, что каждая треугольная грань будет сколь угодно близка к плоскости, параллельной основанию цилиндра, а следовательно, образует с его боковой поверхностью угол, как угодно а а, зьмачьниа к опевдвлвнию плошади канвой поввьхности Збб блиакий к прямому.
Иа этого видно, что нельвя ожидать, чтобы площадь нашего вписанного многогранника давала приближение к боковой поверхности цилиндра. Нетрудно показать, что предел этой плошади вависит от способа стремления чисел т и и к бесконечности. Лействительно, основание каждого равнобедренного треугольника а = 2а!и†, высоту же его Ь можно вычислить по теореме Пифагора: л' Ь= ~l —,+(1 — соа — ")' = ~à —,+4 а!п' —. Так как число треугольных граней равно, очевидно, 2тп, то пго. щадь многогранника Р„,„=2тп а!п ~ ° Ъ| — +4 а!п' я =2па1п ~ ° 1|1+4иЛ1пь" л у ~и' ' 2л и 2и' Ясно, что предел этого выражения зависит от того, каким образом мы заставим стремиться к бесконечности числа т и и. Если, например, фиксировать значение и и выполнить предельный переход т-~.со, то площадь Рьм — ьоо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
