1610915373-7884768734f0bfbca2d58f9bd3e55026 (824749), страница 74
Текст из файла (страница 74)
з а. ннтвгяалы эйлвал 1гаммюэгнкция и ввта.в нкциш 847 Действительно, произведение Г(х) на любую периодическую функцню р(х) с пернодом 1 тоже будет решением этого уравнения. С другой стороны, множество функций <р(х) = Г(х) р(х) прн условии р(х+ 1) =р(х) представляет совокупность всех решении нашего функционального уравнения. В самом деле, пусть у(х) есть любое решение; тогда отношение у(х)= —, которое всегда возможно составить, тзк как р (х) Г(х)' Г(х) ~ О, удовлетворяет уравнению г (х+ 1) =У(х). Вместо функция Г(х) часто удобнее рассматривать функцяю и(х)=1п Г(х).
Так как Г(х) определена при х)0 н Г(х))0, то функция и(х)=!пГ(х) тоже определена при х)0. Эта функция удовлетворяет функциональному уравненню (на сей раз разностному уравнению) и(х+ 1) — и(х)=1пх. (1) Очевидно, сумма функции 1пГ(х) с произвольной периодической функцией периода 1 тоже будет решением этого уравнения. Для того чтобы функция 1пГ(х) определялась как решение функционального уравнения (1) однозначно, необходимо поэтому дополнить это уравнение еще какими-то условиямн.
Одно такое простое условие дает так называемая теорема Бора (Н. Воиг), но для ее формулировки необходимо предварнтельно ввести понятве выпуклой функции. 2. Выпуклые функцяи и нх свойства (Рассмотрим дугу А,А, кривой у=г(х), ограниченную точками А,(хь Яхг)) и Аа(хь г(ха)). Если а и р — любые два положительных числа, удовлетворяющих условию а+ р = 1 (см. стр. 26, где ),,=а, 11 — — р), то точка х = «х, + рхя у = а~(х1) + рг (ха) пробегает хорду А1Аь тзк что абсциссе ах~ + рха соответствует точка хорды с ордннатой аг"(х1)+ рг (ха) и точка дуги А~Аз с ординатой г(ах1+ рха) Теперь будет понятно следующее определение.) Функцня у(х) называется выпуклой на отрезке и~х(Ь, если для любых двух точек хг и ха этого отрезка н любых двух положительных чисел а и р, связанных соотношением а+ у = 1, выражение а1'(х,) + ~Дх,) — г («х1 + рха) ни разу не меняет знакм или, выражаясь наглядно, если хорда, соединяющая любые две точки рассматриваемой дуги кривой у=г(х), нигде не лежит ниже либо нигде не лежит выше дуги, стягиваемой этой хордой (рвс, 81).
(Ср. стр. 121.) Прежде всего установим несколько свойств выпуклых функций. Прз этом можно огрзннчиться рассмотрением таких функций ~(х), 348 дополнения к глава ш для которых аУ(х1)+ ~Дха) — У(ах, + рха)» О (2) и которые можно называть выпуклыми книзу, нбо функции, выпуклые кверху, можно всегда превратить умножением на — 1 в функции, выпуклые книзу. 1) Если функция г(х) дважды непрерывно дифференцируема, то азха)+ рг (ха) — У(ахг + рха) = 1 =р(ха — х,)а~В ~у'[х,+(х,— х,)ч[йт, о что нетрудно проверить.
Отсюда вытекает, что если у" (х) сохраняет постоянный знак на отрезке а(х~Ь, то у(х) есть выпуклая функция на этом отрезке, причем она выпукла кннау, если У" (х)»0, н выпукла кверху, если ~'(х)~0. С другой стороны, вычислив предел еУ(х,) + [К(х1) — У (ехс + Рхг) аРГ'(х,) !ип (х, — хй 3 Э обнаружим, что постоянство знака второй производнои является также н необходимым условием выпуклостн функции; стало быть, оно представляет собой характернстиче- У ское свойство дважды непрерывно дифференцируемон выпуклой функции.
аГ~гр рГ(хг! 2) Замечательным н полезным для приложений свойством явйгр ляется тот факт, что нет надобйссг ~рг !! ности особо требовать непрерывг)гй ности какой-либо выпуклой функции г'(х), нбо из определения вый г, аг,+рг гг пуклоп функции уже вытекает ее непрерывность, Более того, можно даже при этом заменять определяюшее неравенство (2) значительно более слабым по виду, но в действительности равносильным неравенством, как это выражено в следуюшей теореме: Если ограниченная функция Р(х) удовлетворяет неравенству Ях + Ь) + Дх — Ь) — 2У(х)» 0 (3) лри всех значениях х и Ь, для которых аргументы х + Ь еиге лежат в интервале определения функции, т. е. если середина любой хорды кривой у=У(х) лежит не ниже дуги кривой, то функция У(х) выпукла (книзу) (ср.
т. 1, стр. 164, упр. 60) Доказательство этой теоремы мы проведем в два этапа, з! а в. интвгазлы эйлвва !гамма-эвикция и вата.огнкцня! 349 а) Сначала докажем, что всякая ограниченная функция у(х), удовлетворяющая неравенству (3), непрерывна. Яля доказательства перепишем неравенство (3) з несколько ином виде: ](х) — У(х — Ь) -- г (х+ й) — г (х). Из этой записи легко вывести следующие неравенства: У(х — Ий) — Я(х — (й + 1) Ь) ( Ц(х+ Ь) — У(х) = ~У(х+(й+ 1) Ь) — Х(х+ ИЬ), справедливые при любом целом й)О. Просуммировавши эти неравенства по А от И=О до Ь=я — 1, получим оценку У(х) — У(х — пИ) + у У(х+пИ) — Р(х) л л так как, в силу ограниченности функции у(х), )Дх)] «= С, то ]у(х+Ь) — Дх))~ —. Правда, при этом и может быть любым положительным целым числом, но только подчиненным условию, что аргументы х+ яй еще лежат в области определения функции У(х).
Однако, если мы заставим Ь стремиться к нулю, то наибольшее возможное значение и будет расти неограниченно, и, значит, выражение г (х+ Ь) — У(х) будет стремиться к нулю, чем и доказывается непрерывность функции у(х). б) Используя непрерывность функции У(х), теперь нетрудно доказать ее выпуклость, т. е. вывести для нее неравенство пУ(х!) + !гг (ха) — г (ах, + рха) ~ О. Для этого из докааанного ранее неравенства ](х) — Ц(х — пй)-- и ] г (х+ Ь) — Дх)], полагая Е = х — пй, выводим соотношение Р(Е+пИ) — Р(Е) У(Е+(п+ !) И) — У(Е) и+1 а яз него более общее неравенство Г(Е+тй) — У(Е) У(Е+ой) — 1(Е) О Ш и Полагая в нем Е+лй=Еь получим после некоторых преобразований (! — — ) У(Е) + — г (Е,) ~ У((1 — — ) Е + — Е,), а это и есть неравенство, подлежавшее доказательству, но для рациональных значений чисел а и р.
Справедливость же этого неравенства ари любых а и р вытекает теперь из непрерывности функции Д(х). ЗБО дополнпния к главе ш 3) Из определения выпуклости вытекает двойное неравенство г(х+а) — У(х) У(х+Ь) — У(х) У(х+с) — У(х) а Ь при любых отличных от нуля значениях а, Ь, с, для которых а~а(с.
Отсюда вытекает, что отношение приращений И ограничено н изменяется монотонно, когда И стремится к нулю по положительным, либо по отрицательным значениям. Следовательно, оно имеет клк правый, тлк и левый предел, и стало быть, выпуклая функцйя имеет в каждой точке правую и левую производную. 4) Наконец, приведем еще для выпуклых (книзу) функций сле- дующее неравенство: т (х + Ь) + у (х — Ь) — !у (х + В) + у (х — В)]» О, коль скоро Ь»В) О. Оно стзновится очевидным прн одном взгляде на график, а доказательство неравенства получается при сложении двух соотношений: 2 '! ! + И) у(» — Ь) + 2 < ! — И)Д»+ Ь) — У(» — В)» О, — <1 — — „) у (х — Ь) + — < 1+ — „) у (х+ Ь) — У (х+ В)» О, вытекающих из определяющего неравенства (2).
3. Теорема Бора Теперь мы можем формулировать и доказать тео- рему Борз, упомянутую в конце пч 1: Всякое выпуклое решение равностного уравнения и(х+ 1) — и(х) =!и х в интервале 0(х(оо может отличаться от функг(ии !и Г(х) только на аддитивную константу (постоянное слагаемое). Прежде всего убедимся, что 1п Г(х) есть выпуклая функция. Для доказательства мы воспользуемся неравенством Шварца для интегралов < ь тз а а у я(») а(х) йх) «бай' (х) гух ~ д'(х) Фх, а я я доказательство которого будет дано в примечании 1 в конце этого номера.
Запишем интеграл, определяющий Г(х), в следующем виде: где Ь вЂ” любое положительное число, а х — любое число, большее чем И„н к этому интегралу применим неравенство Шварца Тогда сразу получится 1Г(х)!т ~ Г(х+ Ь) Г (х — Ь), З1 Э а. интигвалы эйлига 1ГамМЮЭгнКцня и вета-ЭГНКцня1 351 откуда !и Г(х+Й)+1пГ(х — Й) — 21пГ(х)~0, (4) чем и доказывается, что функция 1пГ(х) выпукла книзу. Пусть теперь функции г(х) и л(х) — два ограниченных в любом конечном интервале выпуклых решения функционального уравнения п(х+1) — и(х)=1п х; тогда их разность э(х)=у(х) — д(х) является непрерывной периодической функцией периода 1.
Кроме того, из неравенств г"(х+ 1) — у(х) = 1п х и г"(х) — у(х — 1) =1п(х — 1) вытекает для г (х) соотношение Ях+ 1) +Дх — 1) — 2~(х) = 1п —. Отсюда в сочетании со свойством 4 выпуклой функции (п' 2) получается неравенство г (х+ Й) +Д(х — Й) — 2у(х) (1п справедливое при любом Й из интервала Ос'Й~1. Аналогичное неравенство получается, конечно, и для и(х): л(х+ Ь) + л(х — Й) — 2л(х) ( 1п Следовательно, ~ т (х+ Й) + у (х — Й) — 2т (х)! ~ 2 1п —.
Заставим теперь х безгранично возрастать; тогда 1п 1 будет стремиться к нулю, а следовательно и функция <р(х+ Й)+:р(х — Й)— — 2э(х) будет стремиться к нулю. Так как эта функция является периодической, то неиабежно приходим к выводу, что э (.й + Ь) + р (х — Ь) — 2у (х) = О при всяком хьО.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
